陳定學(xué)(黑光)

內(nèi)容摘要：從符號(hào)組合角度看，每個(gè)自然數(shù)都是由組合碼和元序列碼兩部分組合而成；所有進(jìn)制的數(shù)體系，都遵循著相同的符號(hào)組合原理；自然數(shù)的符號(hào)組合模式有”左組合碼＋右元序列碼”和”左元序列碼＋右組合碼”兩種。

”有限個(gè)實(shí)物構(gòu)成的元序列＋元序列符號(hào)的無(wú)限次組合“是構(gòu)造自然數(shù)體系的方法、邏輯，”實(shí)物元序列”給出了自然數(shù)基序產(chǎn)生的自然之源，”元序列符號(hào)的無(wú)限次組合”則揭示了自然數(shù)體系通過(guò)符號(hào)組合”虛構(gòu)基序”的奧妙，揭示了自然數(shù)體系從有限數(shù)體系演變?yōu)闊o(wú)限數(shù)體系的原因。也解釋了羅馬數(shù)、我國(guó)古數(shù)、巴比倫數(shù)等古數(shù)為什么未能發(fā)展成為合格數(shù)體系的原因。

關(guān)鍵詞：符號(hào)組合規(guī)律；元序列；組合碼；元序列碼；組合模式；

<一>、自然數(shù)的符號(hào)組合之惑

自然數(shù)是通過(guò)符號(hào)表達(dá)”基序”信息的（”基”指自然數(shù)的基數(shù)，”序”指序數(shù)，下文中為了闡述的流暢，常把自然數(shù)的基數(shù)性、序數(shù)性合二為一統(tǒng)稱(chēng)為”自然數(shù)的基序”），從這意義上說(shuō)，自然數(shù)體系是一套符號(hào)體系。當(dāng)前，雖然用阿拉伯?dāng)?shù)字符號(hào)構(gòu)造的十進(jìn)制數(shù)體系已被數(shù)學(xué)界確立為全人類(lèi)的通用數(shù)體系，但是數(shù)學(xué)界對(duì)于自然數(shù)(符號(hào)）體系的構(gòu)造原理卻鮮有論及。

如果在知乎或百度上有獎(jiǎng)提問(wèn)十進(jìn)制數(shù)8，9的后繼為什么是用1和0兩個(gè)符號(hào)的左右組合成的”10”？能不能用”00”組合或”01”組合或”11”組合呢？恐沒(méi)有人能給出明確的回答。

眾所周知，當(dāng)前的十進(jìn)制數(shù)體系是人類(lèi)在漫長(zhǎng)的生活實(shí)踐中摸索著慢慢建立起來(lái)的，8，9的后繼用”10”之所以被廣泛接受，并不是因?yàn)檫@樣組合基于了某種既有的、明確的構(gòu)造邏輯或方法原理，而是因?yàn)檫@樣組合構(gòu)造的序列及數(shù)關(guān)系，能夠被人類(lèi)的生活實(shí)踐驗(yàn)證為正確(譬如人們通過(guò)3個(gè)4相加的和與2個(gè)6相加的和相等，——都等于12，從而判定8，9的后繼序列10，11，12，13……是正確的），所以就這么約定俗成固定下來(lái)了，至于為什么這樣組合，組合的方法原理是什么，是否還有其它組合方法等問(wèn)題，數(shù)學(xué)界至今未見(jiàn)論及。

<二>明確自然數(shù)符號(hào)組合原理的意義

自然數(shù)序列是一套嚴(yán)密的符號(hào)關(guān)系體，具有有序性、傳遞性〔1〕等鮮明的邏輯結(jié)構(gòu)。任意兩個(gè)自然數(shù)之間，必然是”大于”和”小于”的包含與被包含關(guān)系，絕不會(huì)出現(xiàn)”等于”或”無(wú)關(guān)系”的情形，可見(jiàn)，自然數(shù)體系是一套嚴(yán)密的符號(hào)系統(tǒng)，這樣的符號(hào)系統(tǒng)不可能沒(méi)有同一性的構(gòu)造規(guī)律。

從認(rèn)識(shí)論角度明確自然數(shù)及其序列的構(gòu)造性原理是必要的，不僅能從原理上明確十進(jìn)制數(shù)體系中8，9的后繼為什么是10(實(shí)際上也可以是”01”，見(jiàn)4.3章節(jié)），從符號(hào)學(xué)角度弄懂自然數(shù)體系的構(gòu)造性原理，也能明確很多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題。譬如”0是不是自然數(shù)”這個(gè)至今爭(zhēng)議不定[2]的問(wèn)題，在本文視角看來(lái)，0是元序列中的打頭號(hào)，具有“始發(fā)”、”空位“、“觀察點(diǎn)”三種內(nèi)涵[3]，0毫無(wú)疑問(wèn)是自然數(shù)(符號(hào)）體系中的一員。

除了以上顯見(jiàn)的表層意義外，本文還有以下三方面重要意義。

1、本文明確了自然數(shù)及其序列的符號(hào)組合原理，為設(shè)計(jì)各種高進(jìn)制數(shù)體系提供了有力的方法論工具(詳見(jiàn)5.1章節(jié)）；

2、本文解決了自然數(shù)體系如何從有限數(shù)體系躍遷為無(wú)限數(shù)體系的認(rèn)識(shí)論問(wèn)題(見(jiàn)5.2章節(jié)）；

3、本文立足自然數(shù)體系的構(gòu)成性原理，從符號(hào)的形體結(jié)構(gòu)上解釋了為什么幾乎所有的古數(shù)體系都未發(fā)展成為合格數(shù)體系的原因(見(jiàn)5.3章節(jié)）。

<三>、”元序列”是自然數(shù)體系是核心要素

在沒(méi)講解自然數(shù)的符號(hào)組合規(guī)律之前，筆者認(rèn)為有必要鋪墊性地提出一些有助于解構(gòu)自然數(shù)體系的概念，先從”元序列”概念說(shuō)起。

3.1、元序列

任何符號(hào)、任何進(jìn)制的自然數(shù)體系的構(gòu)造，最初都是從元序列的構(gòu)造開(kāi)始的。所謂“元序列”，是指構(gòu)造者用自定義選擇的兩個(gè)或兩個(gè)以上的符號(hào)，在一維空間上對(duì)它們的排列位置作定格固定后，所形成的一組靜態(tài)的符號(hào)序列。

(筆者在下文中用單書(shū)名號(hào)”〈〉號(hào)把組成元序列中的符號(hào)括起，作為對(duì)元序列的標(biāo)記）

構(gòu)造元序列的符號(hào)是廣義的，實(shí)物、字符、圖形、圖像等，但凡視覺(jué)上有封閉輪廓的形相物個(gè)體都是符號(hào)，都可以用來(lái)構(gòu)造元序列，譬如用三維空間中排成一排的馬、牛、羊三個(gè)實(shí)物，以及一個(gè)表示空地、空位的字符“0“[4](詳見(jiàn)《自然數(shù)體系的符號(hào)學(xué)原理》4.3章節(jié)、4.4.2.1章節(jié)、第五章節(jié)），就可以構(gòu)造出一個(gè)元序列〈0，馬，牛，羊〉，構(gòu)造者根據(jù)這個(gè)元序列，按照筆者給出的自然數(shù)的符號(hào)組合原理(見(jiàn)本文第四章節(jié)），就可以構(gòu)造出一套四進(jìn)制的數(shù)體系。譬如用陰爻（—）、陽(yáng)爻（- -）二種符號(hào)縱向排列[5]（從上到下還是從下到上，由構(gòu)造者自定義），并可構(gòu)造成元序列”〈二〉”（打不出一下一上格式的陰爻、陽(yáng)爻，用”二”代替），用此元序列并可構(gòu)造一套二進(jìn)制數(shù)體系。這里需要說(shuō)明一下：元序列在一維空間上并非只能橫排列，根據(jù)符號(hào)形態(tài)以及排列意圖，也可以縱向或者斜向排列，只要在一條直線(xiàn)上排列都可以。我國(guó)的易經(jīng)八卦系統(tǒng)由陰爻和陽(yáng)爻兩種符號(hào)構(gòu)成，所以八卦的卦象也可以作二進(jìn)制數(shù)解讀，下圖中的八卦數(shù)是自下而上排列式的（坤卦在下圖中是從下往上縱向排列的，即上面給出的八卦二進(jìn)制數(shù)的元序列〈二〉中，”- -”在下，”—”在上）。由于易經(jīng)八卦在設(shè)計(jì)上前提限制了爻的排列位（只限于三位），所以八卦只能有2^3=8個(gè)卦，這里的2指陰、陽(yáng)二種符號(hào)，3指三個(gè)排列位（相當(dāng)于三個(gè)二進(jìn)制數(shù)的數(shù)階，見(jiàn)下圖）。若給于6個(gè)排列位，陰爻、陽(yáng)爻兩種符號(hào)窮盡組合，并可以組合出2^6=64種不重復(fù)且窮盡的組合型態(tài)，把這些組合型態(tài)按固定的順序有序排列，并是以陰、陽(yáng)爻為元序列構(gòu)成的二進(jìn)制數(shù)序列的前64個(gè)，若把排列位為擴(kuò)充為7位，并可以組合出2^7=128個(gè)二進(jìn)制數(shù)，在易經(jīng)八卦系統(tǒng)意義上說(shuō)，即可構(gòu)造出128卦。

綜上所述可見(jiàn)，元序列是構(gòu)造數(shù)體系的唯一原始材料，元序列舉例：萊布尼茨二進(jìn)制數(shù)體系的元序列是〈0，1〉，當(dāng)前通用十進(jìn)制數(shù)體系的元序列是〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉；十六進(jìn)制的元序列可以是〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，a，b，c，d，e，f〉。

元序列是自然數(shù)體系”生長(zhǎng)展開(kāi)的種子、基因”，自然數(shù)的一切性質(zhì)皆來(lái)自元序列，元序列的性質(zhì)有以下幾方面:

3.1·1、元序列是進(jìn)制數(shù)的定義者

一般而言，元序列中有多少個(gè)符號(hào)，就能構(gòu)造出多少進(jìn)制的自然數(shù)體系〔4〕，譬如0、1二進(jìn)制數(shù)體系用0和1兩個(gè)符號(hào)構(gòu)造的，所以是二進(jìn)制，十進(jìn)制數(shù)用0~9十個(gè)符號(hào)作元序列構(gòu)造的，所以是十進(jìn)制。

3.1.2、元序列是自然數(shù)個(gè)體基序產(chǎn)生的本源

自然數(shù)的基序內(nèi)涵及本質(zhì)，都是基于元序列符號(hào)之間的空間位置關(guān)系推導(dǎo)出的，給出任一元序列(幾個(gè)書(shū)面符號(hào)的固定排列，或自然界中的一排樹(shù)、一排房屋的靜態(tài)排列），就可以按進(jìn)制的數(shù)階倍率關(guān)系，推算出用這種元序列構(gòu)造的任一自然數(shù)個(gè)體(某種組合型態(tài)）所表示的基序內(nèi)涵，譬如在用〈上，中，下〉作元序列構(gòu)造的三進(jìn)制數(shù)體系中，”下中下上”這個(gè)三進(jìn)制自然數(shù)與十進(jìn)制自然數(shù)69是等價(jià)的，——即”下中下上”這個(gè)組合，是元序列〈上，中，下〉按自然數(shù)的符號(hào)組合規(guī)律(見(jiàn)第四章節(jié)），從”上上”組合開(kāi)始，組合、排列到第69次時(shí)所形成的組合型態(tài)，（3^3х2+3^2х1+3^1х2+3^0×0=69)。反之，我們也可以把任一十進(jìn)制自然數(shù)轉(zhuǎn)換為某種元序列的非十進(jìn)制自然數(shù)，譬如隨機(jī)給出一個(gè)十進(jìn)制數(shù)”81”，這個(gè)數(shù)在元序列〈a，b，c，d，e〉的五進(jìn)制數(shù)體系中，相當(dāng)于組合型態(tài)”dbb”(5^2х3+5^1х1+5^0х1=81）；在〈東，西，南，北〉四進(jìn)制數(shù)系中，81則相當(dāng)于組合型態(tài)”西西東西”表示的基序(4^3×1＋4^2×1＋4^1×0＋4^0×1=81）。

3.2、組合碼、元序列碼

自然數(shù)只能以符號(hào)形式被人類(lèi)識(shí)別應(yīng)用，自然數(shù)都是用符號(hào)構(gòu)造的，具體說(shuō)每一個(gè)自然數(shù)都是由”組合碼”和”元序列碼”兩部分組合而成，所謂”元序列碼”，指元序列中的符號(hào)。即在任一自然數(shù)末位上出現(xiàn)的那個(gè)符號(hào)，元序列碼只占用末位一個(gè)數(shù)階，除了末位上的元序列碼，其它數(shù)階上的符號(hào)合在一起統(tǒng)稱(chēng)為”組合碼”(單符號(hào)階段的自然數(shù)，組合碼是元序列中的打頭號(hào)，例如十進(jìn)制數(shù)3的組合形式是”03”），以十進(jìn)制自然數(shù)”5692”為例，它是由組合碼”569”和右側(cè)末位上的元序列碼”2”兩部分組合而成。

元序列碼和組合碼都來(lái)自元序列，組合碼最初借用元序列碼，直至元序列碼用完后，在已經(jīng)生成的自然數(shù)序列中生成了組合碼序列后，組合碼才與元序列碼區(qū)別開(kāi)來(lái)，所以筆者上文說(shuō)元序列是自然數(shù)及其序列產(chǎn)生的母體、生產(chǎn)者。

<四>、自然數(shù)及其序列的構(gòu)造性原理

交代完了元序列概念以及派生的組合碼、元序列碼等概念，就可以通過(guò)這些概念直觀地講解自然數(shù)及其序列構(gòu)造的符號(hào)組合規(guī)律了。

自然數(shù)及其序列的構(gòu)造步驟、法則：先用元序列中的第一個(gè)符號(hào)作為組合碼和元序列中的所有符號(hào)依次左右組合并按序排列，然后再用元序列中的第二個(gè)符號(hào)作為組合碼與元序列中的所有符號(hào)依次組合并依次承接排列，如此反復(fù)操作，當(dāng)元序列中的所有符號(hào)都兩兩組合窮盡后，再用前期已組合生成的自然數(shù)序列（也是組合碼序列），繼續(xù)與元序列中的元序列碼組合并依次承接排列，如此不斷操作，并可依次生成所有自然數(shù)個(gè)體及序列”。

(說(shuō)明：以上陳述的構(gòu)造原理是當(dāng)前自然數(shù)采用的”左組合碼碼＋右元序列碼”組合模式，”左元序列碼＋右組合碼”模式也可以構(gòu)造自然數(shù)，見(jiàn)本文4.3章節(jié)）。

4.1、以0、1二進(jìn)制數(shù)的構(gòu)造為例，講解以上陳述的自然數(shù)體系的構(gòu)造原理

為了便于區(qū)別組合碼和元序列碼，以及直觀呈現(xiàn)組合碼和元序列碼是如何組合構(gòu)造自然數(shù)及其序列的，筆者下文開(kāi)始把組合碼打成黑體作標(biāo)注。

0、1二進(jìn)制自然數(shù)的元序列是〈0，1〉，構(gòu)造0、1二進(jìn)制自然數(shù)體系的步驟是:先用0作為組合碼分別與〈0，1〉中的0和1作左右組合并依次排列，第一批次可得到組合排列00、01（0是二進(jìn)制數(shù)體系中的空位號(hào)，不表示基序內(nèi)涵，在左側(cè)添加上空位號(hào)并不影響該數(shù)的基序內(nèi)涵，這么添加是為了從整體上呈現(xiàn)自然數(shù)的符號(hào)組合邏輯）；再用1與〈0，1〉中的0、1分別組合，第二批次可得10、11，把兩次的組合排列連貫成一個(gè)序列，并得到二進(jìn)制序列的前四個(gè)00，01，10，11，根據(jù)組合規(guī)律，組合碼1組合完畢，輪到其后繼數(shù)10作組合碼，所以11的后繼是用組合碼10與元序列中的0組合成的100(要把100分解為10和0兩部分來(lái)理解，其中左側(cè)的”10“是組合碼，右側(cè)的那個(gè)0是元序列〈0,1〉中的元序列碼0）。承接第二批次，第三批次組合可得到100、101，第四批次組合得到110、111，第五批次組合得到1000、1001，第六批次組合得到1010、1011，把第一批次至第六批次的組合依次串連起來(lái)得到:00，01，10，11，100，101，110，111，1000，1001，1010，1011，不難看出，這個(gè)序列就是用〈0，1〉作元序列，從”00”組合開(kāi)始，歷經(jīng)六批次共12次組合構(gòu)造出的二進(jìn)制自然數(shù)的前12個(gè)數(shù)(它們分別與十進(jìn)制自然數(shù)0~11對(duì)應(yīng)），通過(guò)上面序列中的組合碼出現(xiàn)的規(guī)律可見(jiàn)，組合成二進(jìn)制前12個(gè)數(shù)的組合碼依次是0，1，10，11，100，101，也不難看出，是這6個(gè)組合碼與元序列中的0、1重復(fù)組合生成了二進(jìn)制的前12個(gè)數(shù)(組合規(guī)律要求每個(gè)組合碼都要與元序列中的符號(hào)分別組合一次，二進(jìn)制元序列只有兩個(gè)符號(hào)，所以6個(gè)組合碼可組合出12個(gè)二進(jìn)制自然數(shù)，若是十進(jìn)制，則組合十次后再換下一個(gè)組合碼繼續(xù)組合并排列，見(jiàn)下文）。

綜上所述可見(jiàn)，是元序列符號(hào)之間的兩兩組合產(chǎn)生了組合碼及其序列，組合碼又繼續(xù)與元序列中的符號(hào)組合生成新的序列，如此不斷組合與承接排列，并構(gòu)造出了〈0，1〉二進(jìn)制數(shù)體系。

4.2、以元序列〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉構(gòu)造十進(jìn)制自然數(shù)體系為例，講解自然數(shù)體系的符號(hào)組合規(guī)律。

十進(jìn)制數(shù)的元序列是〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉，按以上給出自然數(shù)符號(hào)體系的構(gòu)造方法原理，先用以上符號(hào)作為組合碼分別與以上所有符號(hào)作左右組合排列，第一批次可得00，01，02，03，04，05，06，07，08，09；第二批次可得10，11，……18，19；……

十進(jìn)制自然數(shù)序列的組合碼是十次一換，元序列碼一次一換。十進(jìn)制自然數(shù)組合碼出現(xiàn)的規(guī)律圖示如下:

00 01? …… 08? 09(第一批次） ；

10? 11? …… 18? 19(第二批次） ；

20? 21? …… 28? 29 ；

30? 31? …… 38? 39 ；

40? 41? …… 48? 49 ；

50? 51? …… 58? 59 ；

60? 61? …… 68? 69 ；

70? 71? …… 78? 79 ；?

80? 81? …… 88? 89 ；

90? 91? …… 98? 99 ；

100 101 ……? 108? 109 ；

110 111 ……? 118? 119

……

220? …… ? 228 229

? ……

1000? ……? 1008 1009

? ……

由上面列出的黑體標(biāo)記的組合碼與元序列碼在十進(jìn)制自然數(shù)序列中出現(xiàn)的規(guī)律可見(jiàn)，十進(jìn)制自然數(shù)的組合碼依次是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……(即陣列豎看出現(xiàn)的打上黑體標(biāo)記的序列，也即當(dāng)前數(shù)學(xué)教科書(shū)上說(shuō)的自然數(shù)序列，這個(gè)序列也是十進(jìn)制自然數(shù)的組合碼序列，用這個(gè)序列依次與元序列碼0、1、2*、3、4、5、6、7、8、9組合，就可構(gòu)造出所有十進(jìn)制自然數(shù)個(gè)體及序列）。

從自然數(shù)的符號(hào)組合規(guī)律可以看出，任何一個(gè)自然數(shù)(符號(hào)）都是由右側(cè)末位上的一位元序列碼和左側(cè)所有數(shù)位合在一起的組合碼兩部分組合而成，譬如自然數(shù)”15462”，它是由組合碼”1546”和元序列碼”2”左右組合而成。由此規(guī)律可見(jiàn)，五位數(shù)的自然數(shù)組合碼即左邊的四個(gè)數(shù)，四位數(shù)自然數(shù)的組合碼即左邊那三個(gè)數(shù)，兩位數(shù)自然數(shù)的組合碼即左邊的那個(gè)符號(hào)，組合碼和右邊的元序列碼一樣，最初都來(lái)自元序列。

如何區(qū)別組合碼和元序列碼？二者的區(qū)別在于組合輪換的次數(shù)不同。構(gòu)造數(shù)序列時(shí)，不論多少進(jìn)制數(shù)的序列，元序列碼每次組合都要換一次(元序列碼按元序列順序首尾相連循環(huán)使用），而組合碼則p次組合換一次(p是進(jìn)制數(shù)；p∈+z；p≥2)，譬如構(gòu)造十進(jìn)制自然數(shù)序列時(shí)，組合碼十次一換，元序列碼一次一換；在構(gòu)造十六進(jìn)制數(shù)的序列時(shí)，組合碼則十六次一換，元序列碼仍然是一次一換。

4.3、當(dāng)前通用的”左組合碼＋右元序列碼”的組合模式并不是必然、唯一的

自然數(shù)的組合碼和元序列碼的位置并不是固定不可變的，當(dāng)前人類(lèi)通用的十進(jìn)制數(shù)和二進(jìn)制數(shù)，都是按“左組合碼＋右元序列碼”模式組合構(gòu)造的，筆者通過(guò)大量的組合實(shí)踐表明，把組合碼與元序列碼的位置互換一下（或者說(shuō)把進(jìn)位方向反過(guò)來(lái)），同樣可以構(gòu)造數(shù)，即”左組合碼碼＋右元序列碼”這種組合模式也可以構(gòu)造數(shù)。

下面筆者按”左元序列碼＋右組合碼”模式，用元序列〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉重新構(gòu)造十進(jìn)制數(shù)及其序列(筆者在每個(gè)數(shù)的后面標(biāo)上通用的十進(jìn)制數(shù)，以作對(duì)比區(qū)別）：

00(0），10(1），20(2），30(3），40(4），50(5），60(6），70(7），80(8），90(9），01(10），11(11），21(12），31(13），41(14），51(15），61(16），71(17），81(18），91(19），02(20），12(21），22(22），……，89(98），99(99），001(100），101，201，……899(998），999(999），0001(1000），1001(1001），2001(1002），……

通過(guò)上面列出的序列對(duì)比可見(jiàn)，新組合模式和原”左元序列碼＋右組合碼”模式構(gòu)造出的十進(jìn)制數(shù)，整體的區(qū)別在于”左右顛倒”，原本8，9的后繼組合是左1右0的組合”10”，按筆者提出的新組合模式，8，9的后繼就成了左0右1的組合”01”。

用”左元序列碼＋右組合碼”模式構(gòu)造出的十進(jìn)制數(shù)，兩兩之間的基序關(guān)系當(dāng)然也得隨之變化。新組合模式的十進(jìn)制數(shù)的加乘演繹式選列如下：

加法演繹式(部分）

0＋10=10；0＋20=20；……；0＋90=90；

10＋20=30；……10＋90=01

20＋30=50；……20＋90=11

30＋40=70；……30＋90=21

……

90＋90=81

以30＋90=21為例講解”左元序列碼+右組合碼”模式的自然數(shù)加法過(guò)程，先從左邊加，3＋9=21，過(guò)程可表述為：”本位寫(xiě)2再向右高階上進(jìn)1，右高階上原來(lái)位值是空位號(hào)0，進(jìn)1后位值變成1，故30＋90=21”。見(jiàn)下豎式圖(0右上方的角標(biāo)“1”是對(duì)進(jìn)一的示意）。

說(shuō)明：以上列出的加法演繹式，并不是通過(guò)對(duì)原有自然數(shù)及其演繹式的機(jī)械顛倒得來(lái)的(并不是通過(guò)把原自然數(shù)的0~9加法口訣表作顛倒得來(lái)的），這些演繹式是通過(guò)元序列<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>中各符號(hào)所在的空間位置關(guān)系推導(dǎo)出的，這些演繹式的得來(lái)與原來(lái)的自然數(shù)基序及關(guān)系無(wú)關(guān)。解釋如下：

——自然數(shù)的加乘演繹式都是通過(guò)”形相物的空間關(guān)系”推導(dǎo)出的，這里可以把元序列〈0、1、2、3、4、5、6、7、8、9〉中的十個(gè)數(shù)符號(hào)與排成一排的十棵樹(shù)或者十根手指頭相互映射，可以把這十個(gè)符號(hào)視為是對(duì)這些樹(shù)所在空間位置的標(biāo)記或指代，先把0位置的那棵樹(shù)”拔掉”作空位處理〔6〕(用實(shí)物構(gòu)造元序列時(shí)，需要額外添加一個(gè)打頭的空位號(hào)，若打算構(gòu)造一套十進(jìn)制數(shù)體系，則只需要9個(gè)實(shí)物，詳見(jiàn)《自然數(shù)的符號(hào)學(xué)原理》4.3章節(jié)、第五章節(jié)），0位置那棵樹(shù)拔掉后的空地用空位號(hào)”0”補(bǔ)充，這樣，元序列中的第二個(gè)符號(hào)“1”則指代黑樹(shù)”0?”(樹(shù)的位置用替代，由于簡(jiǎn)書(shū)不能輸入顏色，故用下角標(biāo)號(hào)對(duì)十種顏色作標(biāo)記，這里的下角標(biāo)號(hào)1～9僅表示9種不同的顏色，與自然數(shù)序列中的1～9的位置以及大小關(guān)系無(wú)關(guān)，讀者應(yīng)把這些下角標(biāo)號(hào)想象成9種顏色的指代、標(biāo)示），第三個(gè)符號(hào)“2”則指代紅樹(shù)”0，?，?”，第四個(gè)符號(hào)”3”指代藍(lán)樹(shù)”0，?，?，?”，…第十個(gè)符號(hào)”9“指代草綠色樹(shù)”0，?，?，?，?，?，?，?，?，?”，這樣，我們就可以根據(jù)1~9九棵樹(shù)與空位號(hào)0處的位置關(guān)系，推導(dǎo)出它們各自所在的基、序位，再根據(jù)符號(hào)基、序位置的統(tǒng)一性(序數(shù)可指代基數(shù)），推導(dǎo)出這些樹(shù)指代的基數(shù)以及它們兩兩之間的基數(shù)關(guān)系。筆者提出的”左元序列碼＋右組合碼”組合模式，只是把8，9之后的組合”10”變成”01”，區(qū)別僅在于符號(hào)組合模式的不同，它們的基序內(nèi)涵都是從元序列〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉的位置關(guān)系各自獨(dú)立推導(dǎo)得出的。

乘法演繹式(部分）

根據(jù)以上建構(gòu)出的加法演繹式和乘法的意涵(m×n表示n個(gè)m相加），運(yùn)用累數(shù)法可一次性地建構(gòu)出新組合數(shù)的元序列符號(hào)(數(shù)）兩兩之間的乘法演繹式(即0~9十個(gè)數(shù)之間的乘法口訣表）。

0乘以1、2、3、4、5、6、7、8、9中的任何其數(shù)，積都=0，略；

1乘以任何數(shù)的積都是那個(gè)數(shù)，略；

2×2=4，2×3=6……2×5=01；2×9=81；

3×4=21；……；3×9=72；

4×4=61；4×5=02，……，4×9=63；

5×5=52；……，5×9=54；

6×6=63；……，6×9=45；

7×7=94；7×8=65；7×9=36；

8×8=46；8×9=27；

9×9=18

運(yùn)用以上的新數(shù)加乘演繹式作四則運(yùn)算演繹：

例一、51×3=54

該乘法過(guò)程講解：自左向右逐個(gè)相乘，先算3×5，根據(jù)乘法演繹式可知3×5=51，在本位寫(xiě)5再向左上階進(jìn)1(高階在左！），再根據(jù)乘法演繹式1×3=3，加上右低階上進(jìn)的1，可算出右高階上的位值是4，于是得出51×3=54。

例二、9÷52=63.0，豎式如下：

該除法過(guò)程講解：9是一位數(shù)，顯然沒(méi)有52大，需要在9的左側(cè)補(bǔ)上0，用09除52，上3合適，因?yàn)?2×3=57，52×4=001，所以只能上3，09-57=51(0向右高階借1當(dāng)十，減5剩5，右上階的9被借去1后是8，8-7=1）；51比52小，不夠除，再在左邊添加上0，用051除52，上6正好除盡(52×6=051）。

驗(yàn)算：63.0×52=9

驗(yàn)算過(guò)程講解：第一次乘；6×5=03，本位寫(xiě)0向右高位進(jìn)3，3×5=51，加上進(jìn)的3，得81(51＋3=81，3與5同階對(duì)位），這樣，第一次得乘積081。第二次乘；6×2=21，本位寫(xiě)2向右階進(jìn)1，2×3=6，加上進(jìn)的1得7，第二次得乘積27，把兩次的乘積對(duì)位相加：081＋27=009(2與8同階對(duì)位），再去掉63.0這個(gè)數(shù)上的兩個(gè)小數(shù)點(diǎn)位，得63.0×52=9，驗(yàn)算顯示，用新組合法構(gòu)造的數(shù)及其加乘演繹式，乘、除逆運(yùn)算都能得出自洽、統(tǒng)一的結(jié)果(用原自然數(shù)檢驗(yàn)：9÷25=0.36），說(shuō)明用新組合法構(gòu)造的自然數(shù)和原自然數(shù)加乘演繹式具有相同的運(yùn)算功能，說(shuō)明用新組合法構(gòu)造的自然數(shù)和原組合法構(gòu)造的自然數(shù)，具有相同的數(shù)學(xué)性質(zhì)和邏輯完備性，

<五>、本文數(shù)學(xué)意義解讀

筆者首先要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：本文耗費(fèi)大量篇幅講解用”左元序列碼＋右組合碼”模式構(gòu)造自然數(shù)體系的可行性，目的并不是要革新現(xiàn)有的十進(jìn)制自然數(shù)體系及其組合模式，而是在論證自然數(shù)體系的符號(hào)性、人造性，是在解構(gòu)自然數(shù)體系的構(gòu)造性原理。

本文的思想意義集中體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

5.1、本文明確給出了自然數(shù)的符號(hào)組合規(guī)律，為構(gòu)造高進(jìn)制數(shù)及其計(jì)算機(jī)提供了積極的方法論工具和信息技術(shù)理論基礎(chǔ)

從數(shù)字的信息技術(shù)角度看，掌握了自然數(shù)體系的符號(hào)組合規(guī)律，才能熟練、正確地構(gòu)造各種符號(hào)、各種進(jìn)制數(shù)的數(shù)體系(正確的組合方法，是不同進(jìn)制數(shù)之間能夠?qū)崿F(xiàn)準(zhǔn)確換算的保障），為未來(lái)構(gòu)造高進(jìn)制數(shù)體系以及制造高進(jìn)制計(jì)算機(jī)打造理論基礎(chǔ)。

5.2、本文提出的”元序列＋元序列符號(hào)的無(wú)限次組合延伸”的自然數(shù)構(gòu)造論，從認(rèn)識(shí)論角度打通了自然數(shù)體系從有限基數(shù)體系演變?yōu)闊o(wú)限基數(shù)體系的邏輯路徑

基于元序列符號(hào)的空間位置(這里的符號(hào)應(yīng)作實(shí)物符號(hào)理解，見(jiàn)4.3章節(jié)說(shuō)明二部分），就可推導(dǎo)出每個(gè)符號(hào)所在的基序位，推導(dǎo)出每個(gè)符號(hào)指代的基數(shù)，而承接在元序列之后的，用元序列符號(hào)組合”虛構(gòu)的基序”(這里的元序列符號(hào)則指圖樣、字符等書(shū)面符號(hào)，相對(duì)于自然界中的實(shí)物的基序來(lái)說(shuō)，用字符在紙張平面上的左右組合表示的基序相當(dāng)于”虛構(gòu)的基序”），則能從邏輯上無(wú)限延伸元序列的基序(理論上元序列符號(hào)可以按固定的組合規(guī)律在一維空間中無(wú)限組合排列下去），從而讓自然數(shù)體系從有限數(shù)體系升級(jí)為可涵蓋所有有限數(shù)的無(wú)限數(shù)體系，滿(mǎn)足了數(shù)的運(yùn)算需要。

附加闡述：本理論對(duì)目前數(shù)學(xué)界用集合概念定義自然數(shù)及其體系的方法是批判的，顯然，只有把元素符號(hào)化，才能進(jìn)一步通過(guò)符號(hào)組合無(wú)限次的”虛構(gòu)基序”，才能構(gòu)造出無(wú)限的自然數(shù)體系，才能解釋數(shù)體系是如何從有限演變?yōu)闊o(wú)限的。而元素和集合概念并不能解釋自然數(shù)體系的符號(hào)組合之妙，當(dāng)然也不能解釋自然數(shù)體系是如何從有限基數(shù)體系演變?yōu)闊o(wú)限基數(shù)體系的。

5.3、本文提出的”元序列＋元序列符號(hào)的無(wú)限次組合延伸”自然數(shù)體系構(gòu)造論，從原理上解釋了為什么羅馬數(shù)、巴比倫數(shù)等眾多古數(shù)不能發(fā)展為合格數(shù)體系的原因

上文(5.2）對(duì)自然數(shù)體系從有限基數(shù)向無(wú)限數(shù)升級(jí)的認(rèn)識(shí)論分析表明，用純符號(hào)組合”虛構(gòu)基序”的方法才能讓自然數(shù)體系從有限走向無(wú)限，這就對(duì)造數(shù)的理念和數(shù)符號(hào)的視覺(jué)型態(tài)提出了要求，不僅要求每個(gè)構(gòu)造數(shù)體系的元序列符號(hào)結(jié)構(gòu)要簡(jiǎn)單緊湊(不容易被增減筆畫(huà))，要求元序列中符號(hào)相互之間有較高的視覺(jué)區(qū)別性(不易混淆），還要求構(gòu)造者要摒棄人類(lèi)歷史上絕大多數(shù)古數(shù)采用的”基數(shù)圖示法”造數(shù)理念（”基數(shù)圖示法”是筆者對(duì)用等量元素、筆畫(huà)直觀構(gòu)造數(shù)的方法的描述，詳見(jiàn)下文），因?yàn)橐坏┰跀?shù)符號(hào)中直觀呈現(xiàn)了數(shù)的基數(shù)信息，要么會(huì)面臨某個(gè)基數(shù)大到無(wú)法在一維空間上排列因而無(wú)法繼續(xù)造數(shù)的局面，出現(xiàn)學(xué)生寫(xiě)”萬(wàn)”字畫(huà)萬(wàn)筆的困境〔7〕，要么就得被迫中斷基數(shù)圖示法造數(shù)邏輯，改用符號(hào)意義約定法繼續(xù)造數(shù)，這樣就會(huì)破壞整個(gè)數(shù)體系的邏輯同一性，導(dǎo)致該數(shù)體系無(wú)法執(zhí)行進(jìn)制邏輯，進(jìn)而失去算術(shù)功能。

以我國(guó)”甲骨文數(shù)字～南宋算籌數(shù)”期間的古數(shù)和羅馬數(shù)為例，我國(guó)古數(shù)和羅馬數(shù)的1、2、3分別寫(xiě)為一、二、三和|、||、|||，顯見(jiàn)的，這些古數(shù)符號(hào)中都直觀地圖示了1、2、3三個(gè)自然數(shù)所表示的基數(shù)。顯然，按這樣的造數(shù)邏輯，稍大點(diǎn)的數(shù)就無(wú)法書(shū)寫(xiě)排列了，所以羅馬數(shù)到4時(shí)，就中斷了一開(kāi)始的基數(shù)圖示法造數(shù)邏輯(羅馬數(shù)把4寫(xiě)成”Ⅳ”，與前繼”|||”失去了構(gòu)造上的邏輯聯(lián)系。見(jiàn)圖7），而我國(guó)甲骨文～南宋古數(shù)前四個(gè)一、二、三、”sì”（四橫打不出，見(jiàn)圖4、圖5、圖6），都是執(zhí)行基數(shù)圖示法造數(shù)原則的，到了第五個(gè)數(shù)中斷了，所以我國(guó)古數(shù)和羅馬數(shù)都不能執(zhí)行進(jìn)制邏輯，都沒(méi)有完備的算術(shù)功能，只能作為一套簡(jiǎn)單的記數(shù)用數(shù)(只能記錄簡(jiǎn)單基數(shù)或標(biāo)記簡(jiǎn)單序數(shù)）。不難想象，按基數(shù)圖示法構(gòu)造的數(shù)不僅會(huì)局限于大數(shù)的圖示，也會(huì)局限于數(shù)的有限性，這樣的數(shù)體系必然不能滿(mǎn)足數(shù)的運(yùn)算對(duì)于數(shù)的無(wú)限性的要求，這樣的數(shù)顯然發(fā)展不出有理數(shù)、無(wú)理數(shù)，也不會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)這門(mén)課。

（圖2，部分上古數(shù)及出現(xiàn)的時(shí)間順序表）

（圖3，我國(guó)河圖、洛書(shū)古數(shù)）

（圖4，甲骨文數(shù)字）

（圖5，我國(guó)春秋算籌數(shù)碼）

（圖6，我國(guó)南宋算籌數(shù)碼）

（圖7，羅馬數(shù)）

（圖8，巴比倫數(shù)字）

（圖9，古埃及象形數(shù)）

（圖10，印度古數(shù)）

5.4、為什么印度數(shù)能夠發(fā)展成世界通用數(shù)體系？

我們知道，數(shù)體系有記數(shù)和算術(shù)兩方面功能，對(duì)比以上世界上不同歷史時(shí)期出現(xiàn)的古數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，除了印度古數(shù)外，包括我國(guó)不同歷史時(shí)期古數(shù)在內(nèi)的所有國(guó)家的古數(shù)體系都沒(méi)有設(shè)置空位號(hào)（圖6我國(guó)南宋算籌數(shù)有空位號(hào)，但可惜基數(shù)被圖示了，這樣的數(shù)體系也不能執(zhí)行進(jìn)制法則，有空位號(hào)也無(wú)法發(fā)揮算術(shù)功能），且數(shù)符號(hào)的型態(tài)也不符合進(jìn)制數(shù)的進(jìn)制要求（要刻畫(huà)的基數(shù)信息被圖示化了、所以數(shù)字之間存在包含現(xiàn)象，譬如我國(guó)古數(shù)”三”和羅馬數(shù)字”|||”，數(shù)中都包含前兩個(gè)數(shù)字的筆畫(huà)），所以這些古數(shù)不僅都有大基數(shù)局限，也無(wú)法執(zhí)行進(jìn)制數(shù)的進(jìn)制邏輯，這些古數(shù)體系只具有記數(shù)功能，并不具有完備的算術(shù)功能。從圖10上看（圖9中給出的符號(hào)及其排列組合啥時(shí)候出現(xiàn)的筆者無(wú)法確認(rèn)，只能以這張圖評(píng)析印度古數(shù)），印度古數(shù)不僅有空位號(hào)設(shè)置，且數(shù)符號(hào)的形態(tài)也符合進(jìn)制要求，組合方法也是正確的（通過(guò)10和150這兩個(gè)數(shù)的組合可見(jiàn)），所以印度數(shù)字才得以發(fā)展成為當(dāng)今人類(lèi)通用的十進(jìn)制數(shù)體系。

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參考文獻(xiàn)：

1、百度，“自然數(shù)”；

2、黃燕，李祎. ”0真的應(yīng)該成為自然數(shù)嗎”，〔J〕數(shù)學(xué)通報(bào).2015年第2期；

3、陳定學(xué).”自然數(shù)的符號(hào)學(xué)原理”4.1.章節(jié).〔N〕

4、陳定學(xué)，”自然數(shù)的符號(hào)學(xué)原理”.4.1.1章節(jié).N

6、陳定學(xué)，”自然數(shù)的符號(hào)學(xué)原理”第五章·；〔N〕

7、韓雪濤.”數(shù)的故事”.第21頁(yè)，〔M〕.湖南科學(xué)出版社，2014年1月出版；