你的數(shù)學(xué)直覺怎么樣？你能憑借直覺，迅速地判斷出誰的概率大，誰的概率小嗎？下面就是 26
個這樣的問題。如果你感興趣的話，你可以先掃一遍所有的問題，再逐一閱讀答案，看看你猜對了多少。這篇文章很長，你可以考慮把它加入書簽，每天看幾個問題。
1．A 、 B 、 C 、 D 四人玩撲克牌游戲， A 、 C 兩人同盟， B 、 D 兩人同盟。將除去大小王的 52 張牌隨機(jī)分發(fā)給四人（每人獲得 13
張牌）后，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．A 、 C 兩人手中都沒有梅花
B．A 、 C 兩人手中囊括了所有的梅花
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
A 、 C 兩人手中都沒有梅花，等價于 B 、 D 兩人手中囊括了所有的梅花，它的概率與 A 、 C
兩人手中囊括所有梅花的概率相同。因此，這個問題的答案顯然是 C 。
2．我給 10 個好朋友分別寫了一封信，并把這 10 個人的地址分別寫在了 10 個信封上。如果我隨機(jī)地將這 10 封信裝進(jìn) 10
個信封里（每封信都裝進(jìn)了一個不同的信封里），下面哪種情況的可能性更大一些？
A．恰好有 9 封信裝進(jìn)了正確的信封
B．所有 10 封信都裝進(jìn)了正確的信封
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
你或許會以為，全都裝對的可能性很低，裝錯一個的可能性則略高一些。然而事實上，這道題的答案是 B 。原因非常簡單：恰好有 9
封信裝對，這是根本不可能的——如果其中 9 封信都裝對了，剩下的那一封信肯定也裝對了。
實際上， 10 封信的排列方式一共有 10! = 3628800 種，其中裝對的信有 0, 1, 2, 3, …, 9, 10 封的情況數(shù)分別為
1334961, 1334960, 667485, 222480, 55650, 11088, 1890, 240, 45, 0, 1
?？梢钥吹?，絕大多數(shù)時候，這個數(shù)列里的數(shù)都是不斷遞減的；也就是說，裝對的信越多，概率就越低，這個直覺確實是準(zhǔn)確的。唯一的例外，就是這個數(shù)列的最后兩項，其背后的原因正如剛才所說。
你或許發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象：數(shù)列的第二項正好比第一項小 1 。這并不是巧合。有一個普遍的規(guī)律是，假設(shè)把 n 封信裝進(jìn) n 個信封里，那么當(dāng) n
為偶數(shù)時，裝對 1 封信的情況數(shù)比全都裝錯的情況數(shù)少 1 ，當(dāng) n 為奇數(shù)時，裝對 1 封信的情況數(shù)比全都裝錯的情況數(shù)多 1 。我們下面就來證明這一點。
假設(shè)把 n 封信裝進(jìn) n 個信封里，全都裝錯的情況有 Dn種。那么，數(shù)列 D1, D2, D3, … 滿足一個非常簡單的遞推關(guān)系： Dn= (n – 1) (Dn-1+ Dn-2) 。為什么呢？我們慢慢來分析。由于每封信都裝錯了，因此第 1 封信沒有裝進(jìn) 1 號信封。無妨假設(shè)它裝進(jìn)了 2 號信封。那么，第 2 封信裝到哪兒去了呢？如果第 2 封信正好裝進(jìn)了 1 號信封，那么剩下的 n – 2 封信就有 Dn-2種可能的裝法。如果第 2 封信沒有裝進(jìn) 1 號信封呢？情況就變成了這樣：第 2, 3, 4, …, n 封信裝進(jìn)了編號分別為 1, 3, 4, …, n 的信封里，其中第 2 封信不在 1 號信封里，第 3 封信不在 3 號信封里，第 4 封信不在 4 號信封里……總之，這 n – 1 封信中，每封信都正好有一個禁放的信封。于是，這就構(gòu)成了 Dn-1種可能的裝法。當(dāng)然，第 1 封信也有可能裝進(jìn)了 3 號信封里，也有可能裝進(jìn)了 4 號信封里……因此，我們就有 Dn= (n – 1) (Dn-1+ Dn-2) 。
在這個式子的左右兩邊同時減去 n · Dn-1，于是得到：
Dn– n · Dn-1= – (Dn-1– (n – 1) · Dn-2)
令 An= Dn– n · Dn-1，于是 An滿足遞推關(guān)系式：
An= – An-1
可以驗證：
A2= D2– 2 · D1= 1 – 0 = 1
于是有：
An= (-1)n
即 Dn– n · Dn-1= (-1)n。而 n · Dn-1正好表示把 n 封信裝進(jìn) n 個信封里恰好裝對 1 封信的情況數(shù)。
3．桌子上有 A 、 B 兩個不透明的盒子，盒子 A 里有 m 個白色小球和 1 個黑色小球，盒子 B 里有 n 個白色小球和 1
個黑色小球。你需要先從盒子 A 里隨機(jī)取出一個小球，再從盒子 B
里隨機(jī)取出一個小球。如果兩個小球都是黑色的，那么你就獲勝了。下面哪種情況下，你獲勝的概率更大一些？
A．m = 5，n = 5
B．m = 4，n = 6
C．上述兩種情況的獲勝概率相同
你或許會以為，反正都是 10 個白色小球，怎么放應(yīng)該沒關(guān)系吧。而事實上，在 A 、 B 兩種情況下，獲勝的概率還真的不一樣。在情況 A 中，你獲勝的概率為
(1/6) × (1/6) = 1/36 ；在情況 B 中，你獲勝的概率為 (1/5) × (1/7) = 1/35 。因此，這個題目的答案是 B 。
如果我們把規(guī)則改為，先隨機(jī)選擇其中一個盒子，再從這個盒子中隨機(jī)取出一個小球，取到黑色小球即獲勝，那么情況 B 的獲勝概率仍然會更大一些。在情況 A
中，你獲勝的概率為 (1/2) × (1/6) + (1/2) × (1/6) = 1/6 ；在情況 B 中，你獲勝的概率為 (1/2) × (1/5) +
(1/2) × (1/7) = 6/35 。
如果你可以自己安排每個小球的位置（但黑白小球的總數(shù)不變），那么不管是在原游戲中還是在改版后的游戲中，為了讓自己的勝率達(dá)到最大，你都應(yīng)該在其中一個盒子里只放
1 個黑球，在另一個盒子里放入剩下的 1 個黑球和 10 個白球。這樣的話，在原游戲中，你獲勝的概率將達(dá)到 1 × (1/11) = 1/11
；在改版后的游戲中，你獲勝的概率將達(dá)到 (1/2) × 1 + (1/2) × (1/11) = 6/11 。
4．不透明的盒子里有 10 個白球和 1
個黑球，你的目標(biāo)是從中取出黑球。每次，你可以從中隨機(jī)取出一個小球，并觀察它的顏色：如果是黑球，則達(dá)到目標(biāo)，結(jié)束操作；如果是白球，則將小球放回盒子里，然后繼續(xù)像這樣隨機(jī)取球，直到取出了黑球為止。下面哪種情況的可能性更大一些？
A．第 1 次就取到了黑球
B．到第 4 次才取到黑球
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
這個題目的答案顯然應(yīng)該是 A 。若每次取出黑球的概率為 p ，則第 1 次就取到黑球的概率為 p ，到第 4 次才取到黑球的概率為 (1 – p) · (1 – p) · (1 – p) · p ，后者永遠(yuǎn)比前者更低。如果我們把第 n 次才取到黑球的概率記為 Pn，那么就有：
Pn= (1 – p)n-1· p
然而，把 P1, P2, P3, … 全部累加起來的結(jié)果應(yīng)該為 1 ，于是我們用概率論的方法得到公式：
(1 + (1 – p) + (1 – p)2+ (1 – p)3+ …) · p = 1
即：
1 + (1 – p) + (1 – p)2+ (1 – p)3+ … = 1 / p
令 x = 1 – p ，得到：
1 + x + x2+ x3+ … = 1 / (1 – x)
這正是無窮等比級數(shù)的求和公式。由于實數(shù) p 必須在 0 到 1 之間，而 x = 1 – p ，因此上式中的 x 也必須在 0 到 1 之間。
5．不透明的盒子里有 10 個白球和 1 個黑球。 A 、 B
兩人輪流從盒子里取球，每個人每次只能隨機(jī)從中取出一個小球（取出的小球不再放回）。誰先取到那個黑球，誰就獲得游戲的勝利。如果 A
先取，那么理論上，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．A 獲得游戲的勝利
B．B 獲得游戲的勝利
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
這個題目的答案是 A
。不妨規(guī)定，即使有人取到了黑球，兩人也繼續(xù)往下取，直到把所有的小球都取光。整個游戲就可以等價地看作是，兩人輪流取完所有的小球后，看看誰手中有那個黑球。由于 A
先取，因此最后 A 會取到 6 個小球， B 只能取到 5 個小球。所以，黑球在 A 手中的概率更大，等于 6/11 。
類似地，如果不透明的盒子里有 W 個白球和 B 個黑球，不斷從里面取出小球（不再放回），那么不管 i 是多少（0 < i ≤ W + B），第 i
次取到的是白球的概率都是 W / (W + B) ，第 i 次取到的是黑球的概率都是 B / (W + B)
。因為，這本質(zhì)上相當(dāng)于把所有的小球隨機(jī)地排成一排，問第 i 個小球是白色或者黑色的概率。
6．不透明的盒子里有 2 個白球和 5
個黑球。地上還有足夠多的白球和黑球。每次從盒子里隨機(jī)取出兩個小球，放在地上。如果剛才取出的兩個小球都是白球，則從地上拿一個白球放入盒子；如果剛才取出的兩個小球都是黑球，則從地上拿一個白球放入盒子；如果剛才取出的兩個小球是一黑一白，則從地上拿一個黑球放入盒子。不斷重復(fù)，直至盒子里只剩一個小球為止。那么，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．剩下的那個小球是白球
B．剩下的那個小球是黑球
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
這是一個很賴皮的題目。它的答案是 B 。事實上，出現(xiàn)情況 A 的概率為 0 ，出現(xiàn)情況 B 的概率為 100%
。原因很簡單。每次操作后，黑球的數(shù)量要么不變，要么減 2
，所以黑球的奇偶性始終保持相同。初始時盒子里有奇數(shù)個黑球，今后盒子里就永遠(yuǎn)有奇數(shù)個黑球。所以，如果最后盒子里剩了 1 個小球，那它必然是黑球。
7．在一根木棒上隨機(jī)選擇兩個點，并在這兩個點處下刀，把木棒砍成三段。下面哪種情況的可能性更大一些？
A．這三段木棒能拼成一個三角形
B．這三段木棒不能拼成一個三角形
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
這個題目選 B 。我們可以證明，這三段木棒能拼成三角形的概率是 1/4 。不妨把這根木棒的長度設(shè)為 1 ，兩個分割點的位置分別記作 x 、 y ，則 x
和 y 都是 0 到 1 之間的隨機(jī)數(shù)。那么，所有可能的 (x, y) 組合就對應(yīng)了正方形 (0, 1) × (0, 1)
內(nèi)的所有點。三段木棒能拼成三角形，當(dāng)且僅當(dāng) (x, y) 落在了陰影部分。由于陰影部分占了總面積的 1/4 ，因此這三段木棒能拼成三角形的概率就是 1/4
。
這個題目還有很多變種。比如，如果先把木棒隨機(jī)砍成兩段，再把較長的那段木棒隨機(jī)砍成兩段，問這三段木棒能拼成一個三角形的概率是多少。這該怎么解呢？你或許會說，為何不像剛才那樣，把第一個分割點和第二個分割點的位置分別記作
x 、 y ，然后套用剛才的面積大法？這次就不行了，因為 y 的值不再能獨立而均勻地分布在 0 到 1 之間。但是，我們可以令 x
為第一個分割點在整根木棒上的比例，令 y 為第二個分割點在較長的那段木棒上的比例。舉個例子， (x, y) = (1/3, 1/3)
的意思就是，先把整根木棒砍成 1 : 2 兩段，再把較長的那段木棒砍成 1 : 2 兩段。這樣一來，所有可能的 (x, y) 組合就再一次均勻地對應(yīng)了正方形
(0, 1) × (0, 1) 內(nèi)的所有點。最終，三段木棒能拼成三角形，當(dāng)且僅當(dāng) (x, y) 落在由 x · y < 1/2, (1 – x) · y
< 1/2, x · (1 – y) < 1/2, (1 – x) · (1 – y) < 1/2
組成的交集區(qū)域里。利用定積分可以求出，這部分區(qū)域的面積占整個正方形面積的 2 · ln(2) – 1 ≈ 38.63% 。這就是答案。
著名的 Buffon 投針問題，標(biāo)準(zhǔn)解法之一也用到了這種模型。在地板上畫一系列間隔為 1 厘米的平行直線，然后把一根 1
厘米長的針扔到地板上，它與直線有交點的概率是多少？令 x 為這根針的中心到離它最近的那條直線的距離，令 y
為這根針與平行線的夾角。所有可能的針的位置，就可以用所有可能的 (x, y) 組合來表示，它們正好對應(yīng)了矩形 (0, 1/2) × (0, π/2)
內(nèi)的所有點。其中，合法的區(qū)域為 y < arccos(2x) ，它占矩形面積的 2 / π ≈ 63.66% 。這就是答案。
高中數(shù)學(xué)課本把這種解決概率問題的模型叫做“幾何概型”。說到幾何概型，最經(jīng)典的可能要算下面這個例題。 A 、 B 兩人約定好晚上 6:00 到 7:00
之間在公園門口見面。每個人都會從 6:00 到 7:00 這段時間當(dāng)中隨機(jī)挑選一個時間，并在這個時間到達(dá)公園門口。每個人都只愿意等待 15 分鐘，也就是說，如果
15 分鐘之后沒有看見對方，那么就立即離開。那么，兩人最終能見面的概率有多大？答案是 7/16 。
8．圓周上均勻分布著 100 個點。隨便選擇兩個點連一條線段，再隨便選擇另外兩個點連一條線段。那么，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．兩條線段相交
B．兩條線段不相交
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
這個題目的答案是 B 。隨便選擇兩個點，再隨便選擇另外兩個點，本質(zhì)上相當(dāng)于先隨便選擇四個點，再決定把這四個點配成怎樣的兩對。對于任意四個點 A 、 B 、
C 、 D （在圓周上按此順序排列）來說，我們都有三種不同的配對方案：① A – B, C – D ② A – C, B – D ③ A – D, B – C
。其中，只有方案 ② 對應(yīng)的兩條連線才會相交。因此，兩條線段相交的概率是 1/3 。
9．不透明的盒子里有 1000 張紙條，上面分別寫有 1, 2, 3, …, 1000。 A 從盒子里隨機(jī)取出 100 張紙條，并把這 100
張紙條上的數(shù)從小到大排成一排。然后， B 從盒子里剩下的紙條中隨機(jī)取出 1 張紙條，并看看這張紙條上的數(shù)在 A 那里排第幾位。例如，如果 A 手中的數(shù)有 50
個比 B 取出的大，另外 50 個比 B 取出的小，那么 B 手中的數(shù)就排第 51 位。那么，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．B 手中的數(shù)排第 1 位
B．B 手中的數(shù)排第 51 位
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
很多人的直覺都是，排第 1 可能性不大，排中間可能性更大。而實際上，考慮所有 101 個數(shù)的 101! 種排列方案，或者從 1000 個數(shù)里選 101
個數(shù)所產(chǎn)生的 P(1000, 101) 種排列方案， B 選的那個數(shù)將會等可能地出現(xiàn)在各個位置。因此，這個題目的答案是 C 。
如果你還想不明白的話，你干脆直接想成是， A 抽了 100 個數(shù)，然后再幫 B 抽了一個數(shù)，問幫 B
抽的這個數(shù)更有可能排第幾。如果你還想不明白的話，你干脆直接想成是， A 抽了 101
個數(shù)，問最后抽出的這個數(shù)更有可能排第幾。如果你還想不明白的話，你干脆直接想成是， A 選了 101
個數(shù)往空中一撒，問最后一個落地的數(shù)更有可能是排第幾的數(shù)。
10．把一副洗好的牌（共 52 張）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻開每一張牌，直到翻出第一張 A 。那么，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．翻開第 3 張牌時出現(xiàn)了第一張 A
B．翻開第 4 張牌時出現(xiàn)了第一張 A
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
這個題目的答案是 A 。這個答案并不出人意料。你不妨考慮一個非常極端的情況：假設(shè)一副牌里只有三張牌，其中兩張是 A ，另外一張是 2 。那么，洗好牌后，三張牌的順序有 AA2, A2A, 2AA 三種（如果把兩張 A 看作是兩張不同的 A ，那么三張牌的順序有 A1A22, A2A12, A12A2, A22A1, 2A1A2, 2A2A1六種）。翻到第 1, 2, 3 張牌時出現(xiàn)第一張 A 的概率分別是 2/3, 1/3, 0 。
至于原題為什么選 A ，我們給出一個這樣的解釋。洗好牌后，從前往后四張 A 所在的位置一共有 C(52, 4) 種可能的情況，分別為 (1, 2, 3,
4), (1, 2, 3, 5), (1, 2, 3, 6), …, (49, 50, 51, 52) 。其中，形如 (3, ?, ?, ?) 的情況顯然比形如
(4, ?, ?, ?) 的情況更多，因為前者的問號處可以有更豐富的取值。
11．把一副洗好的牌（共 52 張）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻開每一張牌，直到翻出第一張 A 。那么，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．再下一張牌是黑桃 A
B．再下一張牌是黑桃 2
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
很多人可能會認(rèn)為，下一張牌是黑桃 2 的可能性更大，因為剛才翻出的首張 A 可能就是黑桃 A 。其實這種直覺是錯誤的。令人吃驚的是，這道題的答案是 C
。下一張牌是黑桃 A 的概率與下一張牌是黑桃 2 的概率一樣大，它們都等于 1/52 。
為了說明這一點，我們不妨來看一種同樣能實現(xiàn)絕對隨機(jī)的另類洗牌方式：先把一副牌中的黑桃 A 抽出來，隨機(jī)洗牌打亂剩下 51 張牌的順序，然后把黑桃 A
插回這摞牌中（包括最頂端和最底端在內(nèi)，共有 52 個可以插入的位置）。顯然，黑桃 A 正好插到了這摞牌的首張 A 下面有 1/52
的可能性。根據(jù)同樣的道理，首張 A 下面是黑桃 2 的概率也是 1/52 。事實上，任何一張牌都有可能出現(xiàn)在首張 A 的下面，它們出現(xiàn)的概率是相等的，都等于
1/52 。
12．把一副洗好的牌（共 52
張）背面朝上地摞成一摞。翻開最上面的那張牌，記住這張牌是什么顏色（紅色還是黑色），然后將它背面朝上地放回原處。隨機(jī)切一次牌（即把撲克牌隨機(jī)分成上下兩摞，把下面這摞牌疊在上面這摞牌的上面），然后再次翻開最上面的那張牌，記住這張牌是什么顏色（紅色還是黑色）。那么，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．兩次看到的牌的顏色相同
B．兩次看到的牌的顏色不同
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
答案很簡單：選 B 。這是因為，切了一次牌之后，你剛才翻開的那張牌就不可能在最上面了。換句話說，再次翻開的牌將會等可能地是剩余的 51
張牌中的任何一張，其中有 26 張牌和你第一次翻開的牌顏色不同，但只有 25 張牌和你第一次翻開的牌顏色相同。
13．同時拋擲 10 枚硬幣，出現(xiàn)下面哪種情況的可能性更大一些？
A．正面朝上的硬幣數(shù)量為偶數(shù)
B．正面朝上的硬幣數(shù)量為奇數(shù)
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
答案是 C 。事實上，把 10 換成任意正整數(shù)，這個問題的答案都不會變——正面朝上的硬幣個數(shù)是奇是偶的概率一樣大。
讓我們把這個問題先修改一下：同時拋擲 5
枚硬幣，正面朝上的硬幣數(shù)量為偶數(shù)的概率大，還是為奇數(shù)的概率大？有趣的是，新的問題突然有了一種非常簡單的解法。我們可以把同時拋擲 5 枚硬幣的結(jié)果分成六大類： 0
個正面 5 個反面、 1 個正面 4 個反面、 2 個正面 3 個反面、 3 個正面 2 個反面、 4 個正面 1 個反面、 5 個正面 0
個反面。我們把這六類情況分成三組：
0 正 5 反， 5 正 0 反
2 正 3 反， 3 正 2 反
4 正 1 反， 1 正 4 反
注意到，每一組里的前后兩類情況出現(xiàn)的概率總是相同的，然而前面那類總是屬于有偶數(shù)個正面的情況，后面那類總是屬于有奇數(shù)個正面的情況。因而總的來說，有偶數(shù)個正面的情況和有奇數(shù)個正面的情況將會概率均等地出現(xiàn)。
回到原問題。如果是 10 枚硬幣的話，又該怎么辦呢？大家或許想要故技重施，但卻發(fā)現(xiàn)這回不管用了。雖然 0 正 10 反和 10 正 0
反出現(xiàn)的概率仍然相等，但它們都是有偶數(shù)個正面的情況，這樣就沒法推出奇偶兩種情況各占一半的結(jié)論了。不過，我們另有奇招。把這 10 枚硬幣分成兩組，每一組各有 5
枚硬幣。根據(jù)剛才的結(jié)論，每組硬幣里面出現(xiàn)偶數(shù)個正面和出現(xiàn)奇數(shù)個正面的概率是相同的，因而，同時拋擲這兩組硬幣后，檢查兩組硬幣正面朝上的數(shù)量分別有多少，會產(chǎn)生“偶偶”、“偶奇”、“奇偶”、“奇奇”這四種等概率的組合。在第一種情況和最后一種情況中，最終正面朝上的硬幣數(shù)量為偶數(shù)；在第二種情況和第三種情況中，最終正面朝上的硬幣數(shù)量為奇數(shù)?？梢钥吹?，正面朝上的硬幣數(shù)量是奇是偶的概率相等。
我們還有另一種更簡單的方法來說明，同時拋擲 10 枚硬幣后，正面朝上的硬幣數(shù)量是奇是偶的概率的確相同。假設(shè)你已經(jīng)拋擲了 9
枚硬幣，正準(zhǔn)備拋擲最后一枚硬幣。不管前 9 枚硬幣拋擲成啥樣，最后這枚硬幣的正反都將會起到?jīng)Q定性的作用，具體情況分為兩種，視前 9
枚硬幣的拋擲結(jié)果而定：
如果最后一枚硬幣是正面，總的正面?zhèn)€數(shù)就是偶數(shù)；如果最后一枚硬幣是反面，總的正面?zhèn)€數(shù)就是奇數(shù)；
如果最后一枚硬幣是正面，總的正面?zhèn)€數(shù)就是奇數(shù)；如果最后一枚硬幣是反面，總的正面?zhèn)€數(shù)就是偶數(shù)。
容易看出，不管是上述兩種情況中的哪種情況，總的正面?zhèn)€數(shù)是奇是偶的概率都是相等的。因此，即使上述兩種情況出現(xiàn)的概率不相等（當(dāng)然，事實上是相等的），最終總的正面?zhèn)€數(shù)是奇是偶的概率也是相等的。
14．A 、 B 兩人在玩擲硬幣游戲，每個人都拋擲 10 次硬幣，最后誰拋出的正面更多，誰就獲勝。幾輪游戲下來后， A 都獲勝了， B 有些沮喪。 A
說：“要不這樣吧，我們把游戲規(guī)則改一下。我允許你多拋擲一次硬幣。也就是說，我仍然拋擲 10 次硬幣，你卻能拋擲 11
次硬幣。但是，只有你拋擲出的正面次數(shù)嚴(yán)格大于我拋擲出的正面次數(shù)，才算你獲勝；如果我們拋擲出的正面次數(shù)相同，那也算我獲勝。”新的一輪游戲開始了，按照約定， A
拋擲了 10 次硬幣， B 拋擲了 11 次硬幣。理論上，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．A 獲得游戲的勝利
B．B 獲得游戲的勝利
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
題目的答案是 C 。這是一個非常經(jīng)典的問題，解決它的方法也有很多。我們介紹兩種方法。
第一種方法如下。在新版游戲中，假設(shè)兩人各自都已經(jīng)拋擲了 10 次硬幣，只待 B 拋擲最后一次了。此時，如果 B
的正面更多，那他就勝定了，游戲可以提前結(jié)束了。如果 B
的正面更少，那他就輸定了，游戲也可以提前結(jié)束了。顯然，這兩種情況出現(xiàn)的概率相同?，F(xiàn)在，只剩一種情況有待分析，即此時 B 的正面數(shù)量與 A
相同。那么，游戲結(jié)果將完全取決于 B 的最后一次拋擲：如果 B 拋擲出正面，勝；如果 B
拋擲出反面，敗。而這兩種情況出現(xiàn)的概率也是相同的。綜上所述，新的游戲是公平的。
第二種方法如下。既然 B 比 A 多拋擲一次，那這就說明， B 的正面和反面不可能都沒 A 多（否則 B 的硬幣總數(shù)不可能比 A 多）。另外，由于 B
只比 A 多拋擲一次，那這就說明， B 的正面和反面不可能都比 A 多（否則 B 的硬幣總數(shù)至少比 A 大 2 ）。綜上所述，要么 B 的正面比 A 更多，要么
B 的反面比 A 更多。由于硬幣本身是公正的，因此這兩種情況出現(xiàn)的幾率相等，它們各為 1/2 。但是， B 的正面比 A 更多就意味著 B 獲勝了， B
的反面比 A 更多就意味著 B 的正面數(shù)量不比 A 多，即 A 獲勝了（別忘了，平局算 A 獲勝）。所以，兩人各自獲勝的概率都是 1/2 。
15．魔術(shù)師把一枚正常的硬幣展示給觀眾看，然后說：“接下來，我會拋擲這枚硬幣，每次它都將正面朝上?！庇^眾聽聞后議論紛紛，魔術(shù)師趁機(jī)迅速地把這枚正常的硬幣換成了一枚兩面都是正面的硬幣。魔術(shù)師連擲
10
次硬幣，次次正面朝上，贏得觀眾雷鳴般的掌聲。其中一個觀眾不服氣地說：“該不會你趁我們不注意，把硬幣換成了兩面都是正面的特殊硬幣吧！如果你有本事的話，你給我們擲出一個‘正反正反……’的序列出來！”為了保住自己的顏面，魔術(shù)師只好把那枚正常的硬幣變回手中，硬著頭皮開始拋擲硬幣。倘若魔術(shù)師拋擲硬幣沒有任何技巧，每次是正是反的概率相同，那么魔術(shù)師無限地拋擲下去，第一次出錯更有可能出在什么地方？
A．該擲正面的時候擲出了反面
B．該擲反面的時候擲出了正面
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
這個題目的答案是 A 。下面我們證明，因為該擲反面的時候擲出了正面而掛掉的概率，也就是在第偶數(shù)次拋擲時掛掉的概率，精確地等于 1/3 。容易得出，第 2 次就掛了的概率就是前 2 次精確地擲出“正正”序列的概率，它等于 1 / 22。類似地，到第 4 次才掛的概率就是前 4 次精確地擲出“正反正正”序列的概率，它等于 1 / 24；而到第 6 次才掛的概率則是前 6 次精確地擲出“正反正反正正”序列的概率，它等于 1 / 26……所以，在第偶數(shù)次掛掉的概率是：
1 / 22+ 1 / 24+ 1 / 26+ 1 / 28+ …
= 1 / 4 + 1 / 42+ 1 / 43+ 1 / 44+ …
= (1 + 1 / 4 + 1 / 42+ 1 / 43+ 1 / 44+ …) – 1
= 1 / (1 – 1 / 4) – 1
= 1 / 3
倒數(shù)第二步用到了無窮等比級數(shù)的求和公式（見本文中的第 4 題）。
其實，這個答案有一個非常直觀的解釋。想象 A 、 B 兩人玩一個擲硬幣游戲。兩人輪流拋擲硬幣，但 A 必須擲出正面， B
必須擲出反面，誰擲錯了誰就立即輸?shù)粲螒颉Ｈ绻?A 先拋硬幣，誰輸?shù)舻母怕矢?？那?dāng)然是 A 輸?shù)舻母怕矢?，因為他先擲嘛！
事實上，設(shè) A 輸?shù)舻母怕蕿?p ，我們可以巧妙地求出 p 來。怎樣的情況下 A 才會輸?shù)裟?？如?A 第一次就擲錯了，他就直接輸了，這有 1/2
的概率。如果 A 第一次擲對了，那么 B 必須也跟著擲對，走到這一步有 (1/2) × (1/2) = 1/4 的概率。此時，游戲又回到了出發(fā)點， A
輸?shù)舻母怕视肿兓亓?p 。于是，我們得到：
p = 1/2 + (1/4) · p
把它當(dāng)作一個關(guān)于 p 的一元一次方程，解得 p = 2/3 。這就是我們想要的答案。我們將會在很后面的幾個題目里繼續(xù)用到這種技巧。
我們還有一種非常帥的方法來說明，為什么魔術(shù)師首次出錯更容易錯在把正面擲成了反面。把正面看作數(shù)字 1 ，反面看作數(shù)字 0 ，那么觀眾要求的目標(biāo)序列就變成了
101010… 。如果在前面加一個小數(shù)點，這就變成了一個 0 到 1 之間的二進(jìn)制小數(shù) 0.101010… ，它等于十進(jìn)制中的 2/3
。而魔術(shù)師拋擲的硬幣序列，則構(gòu)成了一個 0 到 1 之間的隨機(jī)數(shù)。如果某一次把 0 擲成了 1 ，就說明擲出的是一個比 2/3 更大的數(shù)；如果某一次把 1
擲成了 0 ，就說明擲出的是一個比 2/3 更小的數(shù)。顯然，前者的概率是 1/3 ，后者的概率是 2/3 。
你意識到了嗎？我們相當(dāng)于用一枚公正的硬幣，模擬出了一枚不公正的硬幣。如果你想要一枚硬幣，它有 2/3 的概率正面朝上，有 1/3
的概率反面朝上，但你手中只有一枚公正的硬幣，你該怎么辦呢？你可以像剛才那樣，不斷拋擲硬幣，得出一個 0 到 1 之間的隨機(jī)二進(jìn)制小數(shù)。一旦發(fā)現(xiàn)這個二進(jìn)制小數(shù)小于
2/3 ，就視最終結(jié)果為“正”；一旦發(fā)現(xiàn)這個二進(jìn)制小數(shù)大于 2/3 ，就視最終結(jié)果為“反”。
當(dāng)然，模擬這樣一枚不公正的硬幣，其實遠(yuǎn)不需要這么麻煩。我們可以連續(xù)拋擲 2
次硬幣，拋出“正反”或者“反正”都視最終結(jié)果為“正”，拋出“正正”則視最終結(jié)果為“反”，拋出“反反”則此輪拋擲作廢，重頭再來。這種“分類討論法”能成的原因是，
2/3 是一個有理數(shù)。如果我們要模擬一枚不公正的硬幣，它有 1 / π 的概率正面朝上，有 1 – 1 / π
的概率反面朝上呢？此時，“分類討論法”就不管用了。但是，剛才的“二進(jìn)制小數(shù)法”依舊有效。不斷拋擲硬幣并記錄拋擲結(jié)果， 1 代表正面， 0
代表反面，直至某次擲出的結(jié)果與 1 / π 的二進(jìn)制小數(shù)不符。如果是 1 被擲成 0 了，則視最終結(jié)果為“正”；如果是 0 被擲成 1
了，則視最終結(jié)果為“反”。
如何用一種硬幣去模擬另一種硬幣，這是一個非常有趣的話題，里面大有文章可作。比方說，我們完全可以提出一個和剛才的問題正好相反的問題：如果你手里有一枚不公正的硬幣（你不知道它的正反兩面朝上的概率各是多少，你甚至不知道它的哪一面朝上的概率更大），如何才能把它當(dāng)作一枚公正的硬幣來使？辦法有很多。比方說，考慮連續(xù)拋擲兩次硬幣后的結(jié)果：如果結(jié)果是一正一反，那么先正后反和先反后正的概率一定是相同的（即使這枚硬幣是不公平的）。借助這一點，我們就有了下面這個方案：連續(xù)拋擲兩次硬幣，如果兩次拋擲的結(jié)果是“正反”，就視最終結(jié)果為“正”；如果兩次拋擲的結(jié)果是“反正”，就視最終結(jié)果為“反”；如果是其他情況，就重新再來。
如果把兩種甚至更多種不同的硬幣組合起來使用，在某些限制條件下模擬出某些特定的概率事件，這里面的水就更深了。這里有一個與此相關(guān)的問題，感興趣的話不妨去看看：http://www.matrix67.com/blog/archives/6151。
16． A 、 B
兩人為一件小事爭執(zhí)不休，最后決定用拋擲硬幣的辦法來判斷誰對誰錯。不過，為了讓游戲過程更刺激，兩人決定采用這樣一種方案：連續(xù)拋擲硬幣，直到最近三次硬幣拋擲結(jié)果是“正反反”或者“反反正”。如果是前者，那么
A 獲勝；如果是后者，那么 B 獲勝。理論上，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．A 獲得游戲的勝利
B．B 獲得游戲的勝利
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
乍看上去， B 似乎沒有什么不同意這種玩法的理由，畢竟“正反反”和“反反正”的概率是均等的。連續(xù)拋擲三次硬幣可以產(chǎn)生 8 種不同的結(jié)果，上述兩種各占其中的
1/8 。況且，序列“正反反”和“反反正”看上去又是如此對稱，獲勝概率怎么看怎么一樣。
不過，實際情況究竟如何呢？實際情況是，這個游戲并不是公平的—— A 的獲勝概率是 B 的 3
倍！雖然“正反反”和“反反正”在一串隨機(jī)硬幣正反序列中出現(xiàn)的頻率理論上是相同的，但別忘了這兩個序列之間有一個競爭的關(guān)系，它們要比賽看誰先出現(xiàn)。一旦拋擲硬幣產(chǎn)生出了其中一種序列，游戲即宣告結(jié)束。這樣一來，
B 就處于了一個非常窘迫的位置：不管什么時候，只要擲出了一個正面，如果 B 沒贏的話， B 就贏不了了——在出現(xiàn)“反反正”之前， A
的“正反反”必然會先出現(xiàn)。
事實上，整個游戲的前兩次硬幣拋擲結(jié)果就已經(jīng)決定了兩人最終的命運。只要前兩次拋擲結(jié)果是“正正”、“正反”、“反正”中的一個， A 都必勝無疑， B
完全沒有翻身的機(jī)會；只有前兩次擲出的是“反反”的結(jié)果， B 才會贏得游戲的勝利。因此， A 、 B 兩人的獲勝概率是三比一， A
的優(yōu)勢絕不止是一點。所以說，這道題目的正確選項為 A 。
這里有對此游戲更加深入的討論：http://www.matrix67.com/blog/archives/6015。
似乎是還嫌游戲雙方的勝率差異不夠驚人， 2010 年， Steve Humble 和 Yutaka Nishiyama
提出了上述游戲的一個加強(qiáng)版。去掉一副撲克牌中的大小王，洗好剩下的 52 張牌后，一張一張翻開。一旦出現(xiàn)連續(xù)三張牌，花色依次是紅黑黑，那么玩家 A
加一分，同時把翻開了的牌都丟掉，繼續(xù)一張張翻沒翻開的牌；類似地，一旦出現(xiàn)連續(xù)三張牌恰好是黑黑紅，則玩家 B 得一分，棄掉已翻開的牌后繼續(xù)。
容易看到，加強(qiáng)版游戲相當(dāng)于是重復(fù)多次的擲硬幣游戲，因而毫無疑問，在這個新游戲中，玩家 A 的優(yōu)勢還會進(jìn)一步放大。電腦計算顯示， A 獲勝的概率高達(dá)
93.54% ， B 獲勝的概率則只有可憐的 2.62% 。另外 3.84%
則是兩人平手的概率。然而，即使是這樣，這個游戲看上去也會給人一種公平的錯覺！
這個例子告訴我們，在賭博游戲中，直覺并不是準(zhǔn)確的，求助概率論是很有必要的。
其實，概率論的誕生本來就和賭博游戲是緊緊聯(lián)系在一起的。提到概率論的誕生，不得不提一位名叫 Antoine Gombaud 的法國作家。這人出生于 1607
年法國西部的一個小城市，他并不是貴族出身，但他卻有著“騎士”的光輝頭銜——不過那只是他自封的而已。他借用了一個自己筆下的人物形象名稱，自封為 de Méré
騎士。后來，這個名字便逐漸取代了他的真名 Antoine Gombaud 。不過， de Méré
騎士并沒有憑借自己的文學(xué)作品名揚天下，真正讓他聲名遠(yuǎn)揚的是他的賭博才能。而足以讓他在歷史上留名的，則是他對一個賭博游戲的思考。
在 17 世紀(jì)，法國賭徒間流行著一個賭博游戲：連續(xù)拋擲一顆骰子 4 次，賭里面是否會出現(xiàn)至少一個 6 點。這個游戲一直被視為是一個公平的賭博游戲，直到
1650 年左右， de Méré 在另一個類似的游戲中莫名其妙地輸?shù)盟膫€荷包一樣重。當(dāng)時， de Méré
參加了這個賭博游戲的一個“升級版”：把兩顆骰子連續(xù)拋擲 24 次，賭是否會擲出一對 6 點來。
de Méré 自己做了一番思考。同時拋擲兩顆骰子出現(xiàn)一對 6 ，比拋擲一顆骰子出現(xiàn) 6 點要困難得多，前者的概率是后者的 1/6
。要想彌補(bǔ)這個減小了的概率，我們應(yīng)當(dāng)把兩顆骰子連續(xù)拋擲 6 次。為了追上連續(xù)拋擲 4 次骰子出現(xiàn)一個 6 的概率，則應(yīng)當(dāng)把兩顆骰子拋擲 24 次才行。 de
Méré 果斷地得出結(jié)論：在升級版游戲中出現(xiàn)一對 6 的概率，與傳統(tǒng)游戲中出現(xiàn)一個 6 的概率是相等的，升級版游戲換湯不換藥，與原來的游戲本質(zhì)完全一樣。
不過，這畢竟是不嚴(yán)格的直覺思維，事實情況如何還得看實戰(zhàn)。在以前的游戲中， de Méré 總是賭“會出現(xiàn) 6
點”，經(jīng)驗告訴他這能給他帶來一些細(xì)微的優(yōu)勢。于是這一回， de Méré 也不斷押“會出現(xiàn)一對 6”。不料，這次他卻賠得多賺得少，最終輸了個精光。
這是怎么一回事兒呢？作為一個業(yè)余數(shù)學(xué)家， de Méré
感到里面有玄機(jī)。但是，憑借自己的數(shù)學(xué)知識，他沒有能力解決這個難題。無奈之下，他只好求助當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家 Blaise Pascal 。
Pascal 可是真資格的數(shù)學(xué)家。他很快便意識到，這種問題的計算不能想當(dāng)然，事實和直覺的出入可能會相當(dāng)大。比方說， de Méré
的直覺就是有問題的：重復(fù)多次嘗試確實能增大概率，但這并不是成倍地增加。拋擲一顆骰子出現(xiàn) 6 點的概率為 1/6 ，但這并不意味著拋擲骰子 4 次會出現(xiàn)一個 6
點的概率就是 1/6 的 4 倍。無妨想一個更極端的例子：按此邏輯，拋擲一顆骰子 6 次，出現(xiàn)至少一次 6 點的概率似乎就該是 6/6 ，也即 100%
，但這顯然是不對的。如果拋擲骰子 6 次以上，出現(xiàn)一個 6 點的概率就會超過 100% ，這就更荒謬了。
看來，概率不能簡單地加加減減，每一步推理都要有憑有據(jù)。 Pascal 考慮了游戲中所有可能出現(xiàn)的情況，算出了在新舊兩種版本的游戲中，會出現(xiàn)一個（或一對）
6 點的概率分別是多少。
連續(xù)拋擲 4 次骰子，總共會產(chǎn)生 64，也就是 1296 種可能。不過在這里面，一個 6 點都沒有的情況共有 54，也就是 625 種。反過來，至少有一個 6 點就有 1296 – 625 = 671 種情況，它占所有情況的 671 / 1296 ≈ 51.77% ，恰好比 50% 高出那么一點點。看來， de Méré 的經(jīng)驗是對的——眾人公認(rèn)的公平游戲并不公平，賭 6 點會出現(xiàn)確實能讓他有機(jī)可乘。
那么，連續(xù)拋擲兩顆骰子 24 次，能出現(xiàn)一對 6 的概率又是多少呢？這回計算的工程量就有點大了。兩顆骰子的點數(shù)有 36 種組合，連拋 24 次則會有 3624，大約是 2.245 × 1037種情況。而 24 次拋擲中，從沒產(chǎn)生過一對 6 點的情況數(shù)則為 3524，大約為 1.142 × 1037?？梢运愠?，如果賭 24 次拋擲里會出現(xiàn)一對 6 ，獲勝的概率是 49.14% 。又一個非常接近 50% 的數(shù)，只不過這次是比它稍小一些。
原來，升級版游戲并不是換湯不換藥。兩種游戲勝率雖然接近，但正好分居 50% 兩邊。這看似微不足道的差別，竟害得我們的“騎士”馬失前蹄。
后來，這個經(jīng)典的概率問題就被命名為“de Méré 問題”。在解決這個問題的過程中， Pascal 提出了不少概率的基本原理。因此， de Méré
問題常被認(rèn)為是概率論的起源。
當(dāng)然， de Méré
的故事多少都有一些杜撰的成分，大家或許會開始懷疑，在現(xiàn)今世界里，有沒有什么還能玩得到的“偽公平游戲”呢？答案是肯定的。為了吸引玩家，賭場想盡各種花樣精心設(shè)計了一個個迷魂陣一般的賭局。在那些最流行的賭博游戲中，莊家一方總是會稍占便宜；但游戲規(guī)則設(shè)計得如此之巧妙，以至于乍看上去整個游戲是完全公平，甚至是對玩家更有利的。“骰子擲好運”（chuck-a-luck）便是一例。
“骰子擲好運”的規(guī)則看上去非常誘人。每局游戲開始前，玩家選擇 1 到 6 之間的一個數(shù)，并下 1
塊錢的賭注。然后，莊家同時拋擲三顆骰子。如果這三顆骰子中都沒有你選的數(shù)，你將輸?shù)裟?1 塊錢；如果有一顆骰子的點數(shù)是你選的數(shù)，那么你不但能收回你的賭注，還能反贏
1 塊錢；如果你選的數(shù)出現(xiàn)了兩次，你將反贏 2 塊錢；如果三顆骰子的點數(shù)都是你選的數(shù)，你將反贏 3
塊錢。用賭博的行話來說，你所押的數(shù)出現(xiàn)了一次、兩次或者三次，對應(yīng)的賠率分別是 1:1 、 1:2 、 1:3 。
用于拋擲三顆骰子的裝置很有創(chuàng)意。它是一個沙漏形的小鐵籠子，三顆骰子已經(jīng)預(yù)先裝進(jìn)了這個籠子里。莊家“拋擲”骰子，就只需要把整個沙漏來個 180
度大回旋，倒立過來放置即可。因此，“骰子擲好運”還有一個別名——“鳥籠”（birdcage）。
18 世紀(jì)英國皇家海軍的水手間流行過一種叫做“皇冠和船錨”（Crown and
Anchor）的賭博游戲，其規(guī)則與“骰子擲好運”一模一樣。唯一不同之處只是骰子而已。普通骰子的六個面分別是 1 點到 6
點，而“皇冠和船錨”所用骰子的六個面則是六種不同的圖案——撲克牌的黑、紅、梅、方，再加上皇冠和船錨兩種圖案。之后，“賭博風(fēng)”又蔓延到了商船和漁船上，“皇冠和船錨”也就逐漸走出了皇家海軍的圈子。一般認(rèn)為，這也就是“骰子擲好運”的起源了?，F(xiàn)在，很多賭場都提供了“骰子擲好運”的賭博項目。
對玩家而言，這個游戲看上去簡直是在白送錢：用三顆骰子擲出 6 個數(shù)中的一個，怎么也會有一半的概率砸中吧，那玩家起碼有一半的時間是在賺錢，應(yīng)當(dāng)是穩(wěn)賺不賠呀。其實，這是犯了和 de Méré 一樣的錯誤——一顆骰子擲出玩家押的數(shù)有 1/6 的概率，并不意味著三顆骰子同時拋擲就會有 3/6 的概率出現(xiàn)此數(shù)。在拋擲三顆骰子產(chǎn)生的所有 63種情況中，玩家押的數(shù)一次沒出現(xiàn)有 53種情況，所占比例大約是 57.87% 。也就是說，大多數(shù)時候玩家都是在賠錢的。
不過，考慮到賺錢時玩家有機(jī)會成倍地贏錢，這能否把輸?shù)舻腻X贏回來呢？一些更為細(xì)致的計算可以告訴我們，即使考慮到這一點，游戲?qū)ν婕胰匀皇遣焕模浩骄抠€ 1
塊錢就會讓玩家損失大約 8 分錢。不過，我們還有另一種巧妙的方法，無需計算便可看出這個游戲?qū)ν婕沂遣焕摹?/p>
這顯然是一個沒有任何技巧的賭博游戲，不管押什么勝率都是一樣的。因此，不妨假設(shè)有 6 名玩家同時在玩這個游戲，這 6 個人分別賭 6
個不同的點數(shù)。此時玩家聯(lián)盟的輸贏也就足以代表單個玩家的輸贏了。
假設(shè)每個人都只下注 1 塊錢。拋擲骰子后，如果三顆骰子的點數(shù)都不一樣，莊家將會從完全沒猜中點數(shù)的三個人手中各賺 1 塊，但同時也會賠給另外三人各 1
塊錢；如果有兩顆骰子點數(shù)一樣，莊家會從沒猜中點數(shù)的四個人那里贏得共 4 塊，但會輸給另外兩人 3 塊；如果三顆骰子的點數(shù)全一樣，莊家則會贏 5 塊但虧 3
塊。也就是說，無論拋擲骰子的結(jié)果如何，莊家都不會賠錢！雖然一輪游戲下來有的玩家賺了，有的玩家虧了，但從整體來看這 6
名玩家是在賠錢的，因此平均下來每個玩家也是在不斷輸錢的。
17．同時拋擲 6 顆骰子，出現(xiàn)下面哪種情況的可能性更大一些？
A．不同數(shù)字的個數(shù)恰好為 4 個
B．不同數(shù)字的個數(shù)為 1 、 2 、 3 、 5 或 6 個
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
這個題目的答案竟然是 A ，沒想到吧！賭博游戲的勝率常常違反直覺，這道題目又是一個經(jīng)典的例子。同時拋擲 6 顆骰子，一共會產(chǎn)生 66= 46656 種情況。其中，不同數(shù)字的個數(shù)恰好為 4 個的情況有多少種呢？如果 6 顆骰子里只有 4 個不同的數(shù)字，那么有的數(shù)字出現(xiàn)了至少 2 次。事實上，各個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)只有以下兩種可能的分布類型：
其中 1 個數(shù)字出現(xiàn)了 3 次，另外 3 個數(shù)字各出現(xiàn)了 1 次
其中 2 個數(shù)字各出現(xiàn)了 2 次，另外 2 個數(shù)字各出現(xiàn)了 1 次。
前者一共有 C(6, 3) × C(6, 4) × 4! = 7200 種具體的情況，其中 C(6, 3) 表示出現(xiàn)了 3 次的數(shù)字究竟出現(xiàn)在了哪 3
次， C(6, 4) 表示這 4 個數(shù)字究竟是哪 4 個數(shù)字。后者一共有 C(6, 2) × C(4, 2) × C(6, 4) × 4! / 2 =
16200 種具體的情況，其中 C(6, 2) 表示第一個出現(xiàn)了 2 次的數(shù)字究竟出現(xiàn)在了哪 2 次， C(4, 2) 表示第二個出現(xiàn)了 2
次的數(shù)字究竟出現(xiàn)在了哪 2 次， C(6, 4) 表示這 4 個數(shù)字究竟是哪 4 個數(shù)字，最后的結(jié)果除以 2 的原因是，第一個出現(xiàn)了 2 次的數(shù)和第二個出現(xiàn)了
2 次的數(shù)有可能分別是我和你，也有可能分別是你和我，這被算重了。
因此，不同數(shù)字的個數(shù)恰好為 4 個的情況一共有 7200 + 16200 = 23400 種，它占總數(shù)的 23400 / 46656 ≈
50.154321% 。
18．小明走進(jìn)一家賭場，來到了輪盤賭跟前。輪盤賭的轉(zhuǎn)盤上有 38 個格子，上面分別標(biāo)著 0, 00, 1, 2, 3, …, 36
。游戲開始后，一個白色小球會逆著輪盤旋轉(zhuǎn)的方向滾動，最終等概率地落入 38 個格子中的一個。小明每次可以在任意一個格子上下 1
元的賭注。如果小球落入了小明所選的格子里，則小明贏得 36 元（但那 1 元錢的賭注仍然歸賭場）；如果小球落入了別的格子里，則小明什么也得不到（那 1
元也就打水漂了）。小明身上只有 105 元錢，于是，他連續(xù)賭了 105 次。那么，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．小明賺著離開了賭場
B．小明虧著離開了賭場
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
花 1 元賭某一個格子，中簽的概率是 1/38 ，但卻只能贏來 36 元。毫無疑問，輪盤賭是一個赤裸裸的對賭場更有利的賭博游戲。所以，這道題應(yīng)該選 B
咯？不對！這道題的正確答案其實是 A 。在這道題中， 105 這個數(shù)起到了比較關(guān)鍵的作用。讓我們來實際計算一下。
由于每贏一次會得到 36 元，因此小明只需要贏 3 次或 3 次以上，便能實現(xiàn)賺著離開賭場了。小明一次沒贏的概率為 (37/38)105≈ 0.0608 ，恰好贏 1 次的概率為 C(105, 1) × (1/38) × (37/38)104≈ 0.1725 ，恰好贏 2 次的概率為 C(105, 2) × (1/38)2× (37/38)103≈ 0.2425 ，上述三個值加起來約為 0.4758 。所以，反過來，小明贏了 3 次或 3 次以上的概率就是 0.5242 ，這超過了 1/2 。
為什么在玩一個明顯對賭場更有利的賭博游戲中，精確地花費 105
元錢，就能做到賺時多虧時少？如果每個人都這么做，賭場豈不是會被搞垮？這不跟游戲?qū)€場更有利的結(jié)論相矛盾嗎？其實，賺的時候更多，并不意味著期望收益為正。雖然賺的時候多，虧的時候少，但賺的時候往往是賺小錢，虧的時候往往是虧大錢，平均算下來，玩家仍然是在不斷送錢的。
19．法國有法國的輪盤賭，俄羅斯也有俄羅斯的輪盤賭。不過，戰(zhàn)斗民族的賭博方式可不一樣——不是賭錢，而是賭命。俄羅斯輪盤賭可謂是史上最酷的決斗方式。左輪手槍的轉(zhuǎn)輪中有六個彈槽。在其中一個彈槽中放入一顆子彈，然后快速旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)輪，再把它合上。參與決斗的兩個人輪流對準(zhǔn)自己的頭部扣動扳機(jī)，直到其中一方死亡。這是一場真男人游戲，雙方勝負(fù)的概率各占
50%
，游戲沒有任何技巧可言，命運決定了一切。為了讓游戲更加刺激，這一回我們稍微改變一下游戲規(guī)則。在轉(zhuǎn)輪的連續(xù)三個彈槽中放入子彈，然后旋轉(zhuǎn)并合上轉(zhuǎn)輪。這一次，理論上，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．先開槍的人死亡
B．后開槍的人死亡
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
或許有些出人意料的是，這個題目的答案為 A 。為了算出雙方存活的概率，我們只需要考慮所有 6 種可能的子彈位置即可。不妨用符號 ⊙
來表示有子彈的彈槽，用符號 ○ 來表示空的彈槽。我們便能列出下面這張表：
⊙⊙⊙○○○ → 先開槍者死
⊙⊙○○○⊙ → 先開槍者死
⊙○○○⊙⊙ → 先開槍者死
○○○⊙⊙⊙ → 后開槍者死
○○⊙⊙⊙○ → 先開槍者死
○⊙⊙⊙○○ → 后開槍者死
可見，先開槍者死亡的概率高達(dá) 2/3 ，是后開槍者死亡概率的兩倍。
可以算出，當(dāng)轉(zhuǎn)輪里位置相連的子彈數(shù)分別為 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 時，先開槍者死亡的概率分別為 1/2 、 2/3 、 2/3 、
5/6 、 5/6 、 1 ?？磥?，并不是所有游戲都是先下手為強(qiáng)啊。
20．小明參加某電視臺的選秀節(jié)目。 A 、 B 、 C 三位導(dǎo)師欣賞了小明的一番激情演唱后，需要投票決定小明能否晉級。小明的表演征服了 A 、 B
兩位導(dǎo)師，每位導(dǎo)師都有 4/5 的概率投出贊成票，支持小明晉級。但 C
導(dǎo)師則猶豫不決，不知道該如何選擇。怎么辦呢？節(jié)目組給出了兩種方案供小明選擇。第一種方案是， A 、 B 兩位導(dǎo)師獨立作出決定， C
則拋擲一枚公正的硬幣，如果硬幣正面朝上，則晉級與否完全以 A 的決定為準(zhǔn)，如果硬幣反面朝上，則晉級與否完全以 B 的決定為準(zhǔn)。第二種方案是，A 、 B
兩位導(dǎo)師獨立投出贊成票或反對票， C
則拋擲一枚公正的硬幣，如果硬幣正面朝上，則投出贊成票，如果硬幣反面朝上，則投出反對票，最后晉級與否則取決于三人中的多數(shù)票。為了提高晉級的概率，小明應(yīng)該選擇哪種方案？
A．選擇第一種方案
B．選擇第二種方案
C．兩種方案的晉級概率相同
這個題目的答案是 C 。兩種方案中，小明晉級的概率是相同的，都是 4/5 。即使把題目中 4/5 這個比例換一換，答案也依舊如此。不妨假設(shè) A 、 B 兩位導(dǎo)師投出贊成票的概率都是 p ，那么第一種方案中小明晉級的概率顯然是 (1/2) · p + (1/2) · p = p 。第二種方案呢？兩位導(dǎo)師都投出贊成票的概率是 p2，此時小明必然晉級； A 投出贊成票 B 投出反對票的概率是 p · (1 – p) ，此時小明有 1/2 的概率晉級（這取決于 C ）； A 投出反對票 B 投出贊成票的概率是 (1 – p) · p ，此時小明有 1/2 的概率晉級（這取決于 C ）；其他情況下小明都無法晉級。因此，第二種方案中小明晉級的概率為 p2+ (1/2) · p · (1 – p) + (1/2) · (1 – p) · p ，化簡的結(jié)果是一樣的： p 。
21．小明上了幾次象棋課，回到家得意地要和爸爸媽媽一比高低。爸爸說：“好啊，那我們來搞一次家庭挑戰(zhàn)賽吧。比賽分三輪進(jìn)行，爸爸媽媽將會作為你的對手輪番上場。如果你在任意連續(xù)的兩輪比賽中獲勝，你就能得到一大筆零花錢。對了，挑戰(zhàn)賽開始前，你可以指定爸爸媽媽的出場順序哦。”小明深知，戰(zhàn)勝爸爸的概率更低，戰(zhàn)勝媽媽的概率更高（事實上也的確如此）。為了提高得到零花錢的概率，小明應(yīng)該怎樣安排爸爸媽媽的出場順序？
A．爸爸、媽媽、爸爸
B．媽媽、爸爸、媽媽
C．兩種情況下得到零花錢的概率相同
這是一個非常經(jīng)典的問題。你或許會覺得，方案 B 更好，因為小明會更多地面對較弱的對手。而實際上，這個題的答案是 A
。這背后有一個很簡單的直覺：中間那個人一定不能太強(qiáng)，因為中間那場輸了，整個兒就沒機(jī)會了。
我們可以定量地分析一下。假設(shè)戰(zhàn)勝爸爸的概率是 p ，戰(zhàn)勝媽媽的概率是 q ，根據(jù)題目假設(shè)， p < q
。如果采用爸爸、媽媽、爸爸的順序，則得到零花錢的概率等于贏了前兩場輸了最后一場的概率，加上贏了后兩場輸了第一場的概率，再加上三場都贏了的概率。最后結(jié)果是：
p · q · (1 – p) + (1 – p) · q · p + p · q · p = 2 · p · q – p2· q
類似地，如果采用媽媽、爸爸、媽媽的順序，則得到零花錢的概率就是：
q · p · (1 – q) + (1 – q) · p · q + q · p · q = 2 · p · q – p · q2
由于 p < q ，因此前一個式子一定比后一個式子更大。
22．一架客機(jī)上有 100 個座位， 100
個人排隊依次登機(jī)。第一個乘客把登機(jī)牌搞丟了，但他仍被允許登機(jī)。由于他不知道他的座位在哪兒，他就隨機(jī)選了一個座位坐下。以后每一個乘客登機(jī)時，如果他自己的座位是空著的，那么他就在他自己的座位坐下；否則，他就隨機(jī)選一個仍然空著的座位坐下。當(dāng)最后一個人登機(jī)時，發(fā)生下面哪種情況的可能性更大一些？
A．他發(fā)現(xiàn)剩下的空位正好就是他的
B．他發(fā)現(xiàn)剩下的空位不是他的
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
你或許會以為情況 A 出現(xiàn)的概率很小，但實際上，這個概率是 50% 。換句話說，這個題目的答案是 C
。我們可以通過一些嚴(yán)格而復(fù)雜的計算來說明這一點，但在這里，我更愿意給出一些直觀的解釋。注意到，當(dāng)最后一名乘客登機(jī)時，最后一個空位要么就是他的，要么就是第一個乘客的（其他的座位如果沒被別人搶占，最終也會被它真正的主人占據(jù)）。這兩個位置會面對
98
個人的選擇，它們的“地位”是相等的，它們的“命運”是相同的，不存在哪個概率大哪個概率小的問題。因此，它們成為最后一個空位的概率是均等的。也就是說，最后一個人發(fā)現(xiàn)剩下的空位正好是他的，其概率為
50% 。
下面是另一個有趣的解釋。我們可以把問題等價地修改為，如果一個人發(fā)現(xiàn)自己的座位被別人占據(jù)后，他就叫這個人重新去找一個位置，自己則在這里坐下。結(jié)果你會發(fā)現(xiàn)，真正在飛機(jī)上跑來跑去不斷換座位的人其實只有一個，就是第一個人。我們可以干脆叫他直接站在旁邊，等他后面的
98 個人全部入座后，他再選個座位坐下。容易看出，他選中的座位要么是他自己的，要么是最后一個人的，這各占 50%
的概率。因此，最后一個人上來之后，正好能對號入座的概率也就是 50% 。
23．在每一代的繁殖中，每個阿米巴原蟲都有 2/3 的概率分裂成兩個，有 1/3
的概率死亡（而不產(chǎn)生下一代）。初始時只有一個阿米巴原蟲，那么下面哪種情況的可能性更大一些？
A．阿米巴原蟲在有限代之后滅絕
B．阿米巴原蟲無限地繁殖下去
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
注意到，這個問題是有意義的。阿米巴原蟲要么在有限代之后滅絕，要么無限地繁殖下去。我們的問題就是，究竟發(fā)生哪種情況的可能性更大。
實際上，這個題的答案選 C 。不妨把一個阿米巴原蟲能無限繁殖下去的概率設(shè)為 p
。初始時的那個阿米巴原蟲怎樣才能無限繁殖下去呢？首先，它得分裂為兩個阿米巴原蟲，這有 2/3
的概率；然后，其中至少一個阿米巴原蟲要無限繁殖下去。于是，我們得到式子：
p = (2/3) · (1 – (1 – p)2)
其中， (1 – p)2表示兩個阿米巴原蟲都沒能無限繁殖下去的概率。把上面的式子當(dāng)作一個關(guān)于 p 的一元二次方程，可解得 p = 0 或 p = 1/2 。舍去 p = 0 ，于是得到 p = 1/2 。這就說明， A 、 B 兩種情況的出現(xiàn)概率是相同的。
為什么我們可以舍去 p = 0 呢？要想說服自己這一點，這還真不容易。下面是一個不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃悸?。如果我們把每個阿米巴原蟲分裂成兩個的概率記作 p0（原題則相當(dāng)于 p0= 2/3 時的特例），那么阿米巴原蟲無限繁殖下去的概率 p 就會滿足：
p = p0· (1 – (1 – p)2)
解得 p = 0 或 p = (2 · p0– 1) / p0。那么， p 究竟是多少呢？注意到以下三點：
當(dāng) p0= 1 時，問題的答案顯然應(yīng)該為 1 ；
不管 p0是多少，問題的答案顯然都應(yīng)該是正數(shù)；
在 p0連續(xù)變化的過程中，問題的答案也應(yīng)該發(fā)生連續(xù)的變化（這個猜測是合理的，我們姑且假設(shè)它正確，不再進(jìn)行論證）。
為了同時滿足上述三點，只有這樣一種可能：當(dāng) p0= 1/2 時，問題的答案為 0 ；當(dāng) p0< 1/2 時，舍去后面那個解，即問題的答案一直都是 0 ；當(dāng) p0> 1/2 時，舍去前面那個解，即問題的答案為 (2 · p0– 1) / p0。
24．一斤白酒下肚后，我醉醺醺地來到了懸崖邊上。如果我再往前邁一步，就會掉下懸崖。我每過一分鐘都會往前或者往后邁一步，每次有 1/3 的概率往前邁一步，有
2/3 的概率往后邁一步。假設(shè)懸崖邊是一條直線，我每步方向都嚴(yán)格垂直于懸崖邊，且步長保持一致。如果我無限地走下去，那么下面哪種情況的可能性更大一些？
A．我在有限步之后將會掉下懸崖
B．我永遠(yuǎn)不會掉下懸崖
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
注意到，這個問題是有意義的。我要么在有限步之后掉下懸崖，要么永遠(yuǎn)不會掉下懸崖。我們的問題就是，究竟發(fā)生哪種情況的可能性更大。
實際上，這個題的答案也是 C 。不妨假設(shè)我在有限步之后將會掉下懸崖的概率為 p 。那么， p 等于多少呢？如果我第一步就往前邁，那就直接掉下去了。這有
1/3 的概率。在另外 2/3
的情況下，我的第一步是往后邁的。如果我最后還是掉下懸崖了，那么在此期間，我一定回過出發(fā)點?；氐匠霭l(fā)點，本質(zhì)上就相當(dāng)于往前凈走一步，這和從出發(fā)點出發(fā)最終掉下去了一樣，概率都是
p ；回到出發(fā)點后，要想真的掉下去，這又有一個 p 的概率。于是，我們得到：
p = 1/3 + (2/3) · p2
解得 p = 1/2 或 p = 1 。舍去 p = 1 ，于是得到 p = 1/2 。這就說明， A 、 B 兩種情況的出現(xiàn)概率是相同的。
為什么我們可以舍去 p = 1 呢？這里，我們可以使用和上一題類似的思路。如果用 p0代替題目中的 2/3 ，則上面的式子變?yōu)榱耍?/p>
p = (1 – p0) + p0· p2
解得 p = (1 – p0) / p0或 p = 1 。為了保證連續(xù)性，當(dāng) p0> 1/2 時，我們需要舍去 p = 1 。
你或許已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，這一題和上一題非常相似。進(jìn)一步考察兩個問題的答案，你還會有更驚人的發(fā)現(xiàn)：在有限步之后掉下懸崖的概率是 (1 – p0) / p0，因此永遠(yuǎn)不會掉下懸崖的概率是 1 – (1 – p0) / p0= (2 · p0– 1) / p0。這正是上一題中阿米巴原蟲無限繁殖下去的概率的表達(dá)式。
其實，這兩道題的本質(zhì)就是完全一樣的。讓我們把阿米巴原蟲數(shù)量的變化想象成是數(shù)軸上不斷左右移動的點。剛開始，這個點在 x = 1
的位置?？紤]某個阿米巴原蟲：如果它分裂了，那么數(shù)軸上的點會向右移動一個單位，這有 2/3 的概率；如果它死亡了，那么數(shù)軸上的點會向左移動一個單位，這有 1/3
的概率。上一題就相當(dāng)于是問，數(shù)軸上的點更有可能會在有限步之后到達(dá) x = 0 的位置，還是更有可能永遠(yuǎn)都到不了 x = 0
的位置。如果你把數(shù)軸上的點左移右移想成是在懸崖外前進(jìn)后退，把 x = 0 的位置想象成掉下懸崖的位置，這就瞬間變成這一題的背景了。
25．A 、 B 兩支球隊之間要打 100 場比賽。初始時，兩支球隊的經(jīng)驗值都為 1
。在每一場比賽中，兩支球隊各自的獲勝概率與它們的經(jīng)驗值成正比，隨后獲勝一方的經(jīng)驗值將會加 1 。那么，當(dāng) 100
場比賽全部打完之后，下面哪種情況的可能性更大一些？
A．球隊 A 在所有 100 場比賽中全部獲勝
B．球隊 A 在所有 100 場比賽中恰好有 50 場獲勝
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
這是一個強(qiáng)者愈強(qiáng)，弱者愈弱的過程，因此其中一支球隊完勝另一支球隊的概率并不會太低，兩支球隊最終打成平手的概率也并不會太高。事實上，兩種情況發(fā)生的概率是相同的，都是
1/101 。也就是說，這個題目的答案是 C 。
讓我們把 A 、 B 兩支球隊打比賽的過程進(jìn)一步抽象成下面這樣：從字符串 AB 出發(fā)，不斷選擇某個字母并把它分裂成兩個。也就是說，初始時的字符串為 AB
，每一次你需要隨機(jī)選擇一個字母，如果選中了 A ，就把它變成 AA ，如果選中了 B ，就把它變成 BB 。第一次操作之后， AB 有可能變成 AAB
，也有可能變成 ABB ；如果第一次操作之后的結(jié)果是 AAB ，那么第二次操作之后，結(jié)果就會概率均等地變成 AAAB 、 AAAB 和 AABB
之一。容易看出，字母 A 、 B 數(shù)量增加的模式，與原問題中 A 、 B 兩支球隊經(jīng)驗值增加的模式是完全一致的，因而我們要求的概率值就等價地變?yōu)榱耍?100
次操作之后，字符串變成 AAA…AAB 的概率是多少，字符串變成 AA…AABB…BB （兩種字母各半）的概率又是多少。下面我們來說明，這兩個概率值都是
1/101 。
先來看一個似乎與此無關(guān)的東西：把 0 到 100 之間的數(shù)隨機(jī)排成一行的另類方法。首先，在紙上寫下數(shù)字 0 ；然后，把數(shù)字 1 寫在數(shù)字 0
的左邊或者右邊；然后，把數(shù)字 2 寫在最左邊，最右邊，或者 0 和 1 之間……總之，把數(shù)字 k 概率均等地放進(jìn)由前面 k
個數(shù)產(chǎn)生的（包括最左端和最右端在內(nèi)的）共 k + 1 個空位中的一個。寫完 100 之后，我們就得到了所有數(shù)的一個隨機(jī)排列。
現(xiàn)在，讓我們假設(shè)初始時的字符串是 A0B ，并且今后每次分裂時，都在分裂得到的兩個字母之間標(biāo)注這是第幾次分裂。也就是說，下一步產(chǎn)生的字符串就是 A1A0B 或者 A0B1B 之一。如果下一步產(chǎn)生的字符串是 A1A0B ，那么再下一步產(chǎn)生的字符串就會是 A2A1A0B 、 A1A2A0B 、 A1A0B2B 之一……聯(lián)想前面的討論，你會發(fā)現(xiàn)，第 100 次操作結(jié)束后，所有數(shù)字實際上形成了一個 0 到 100 的隨機(jī)排列，也就是說最開始的數(shù)字 0 最后出現(xiàn)在各個位置的概率是均等的。因此，最右邊那個位置上的數(shù)字就是 0 的概率是 1/101 ，正中間那個位置上的數(shù)字就是 0 的概率也是 1/101 。這其實就是我們要比較的那兩個概率值。
26．從全體正整數(shù)中隨機(jī)選出兩個正整數(shù)，則下面哪種情況的可能性更大一些？
A．這兩個正整數(shù)互質(zhì)（沒有大于 1 的公約數(shù)）
B．這兩個正整數(shù)不互質(zhì)（有大于 1 的公約數(shù)）
C．上述兩種情況的出現(xiàn)概率相同
這個問題的說法很不嚴(yán)謹(jǐn)。我們給出一個更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄⑹龇椒?。讓我們?PN來表示，從 1 到 N 中隨機(jī)取出兩個正整數(shù)，它們互質(zhì)的概率是多少。我們的問題就是，當(dāng) N 趨于無窮時， PN的值究竟是大于 1/2 ，等于 1/2 ，還是小于 1/2 。
這是一個非常非常經(jīng)典的問題。下面是最常見的一種解法。假設(shè)我們從全體正整數(shù)中隨機(jī)選出了兩個正整數(shù) a 、 b 。其中， a 能被 2 整除的概率是 1/2 ， b 能被 2 整除的概率是 1/2 。因而，它們都能被 2 整除的概率就是 1 / 22。反過來，它們不都能被 2 整除的概率就是 1 – 1 / 22。類似地，它們不都能被 3 整除的概率就是 1 – 1 / 32，它們不都能被 5 整除的概率就是 1 – 1 / 52……于是，它們互質(zhì)的概率就是：
(1 – 1 / 22) · (1 – 1 / 32) · (1 – 1 / 52) · (1 – 1 / 72) …
注意，這里用到了一個假設(shè)：如果 p 和 q 是兩個質(zhì)數(shù)，那么能否被 p 整除和能否被 q 整除，這是互相獨立的。事實上也確實如此：一個數(shù)能被 p
整除的概率是 1 / p ，一個數(shù)能被 q 整除的概率是 1 / q ；一個數(shù)能同時被兩個質(zhì)數(shù) p 和 q 整除，當(dāng)且僅當(dāng)它能被 p · q 整除，其概率是 1
/ (p · q)。
為了求出上面這個式子的值，我們考慮它的倒數(shù)。 1 – 1 / 22的倒數(shù)是 1 / (1 – 1 / 22) ，而由無窮等比級數(shù)的求和公式（見本文中的第 4 題），它又可以被我們寫成 1 + 1 / 22+ 1 / 24+ 1 / 26+ … 。類似地，其他幾項也都變成了 1 + 1 / 32+ 1 / 34+ 1 / 36+ … ，1 + 1 / 52+ 1 / 54+ 1 / 56+ … ，等等?，F(xiàn)在，想象一下，如果把所有的括號全都展開，把所有的項全都乘開來，會得到什么？我們會既無遺漏又無重復(fù)地得到所有的 1 / n2！
(1 + 1 / 22+ 1 / 24+ 1 / 26+ … ) · (1 + 1 / 32+ 1 / 34+ 1 / 36+ … )
· (1 + 1 / 52+ 1 / 54+ 1 / 56+ … ) · …
= 1 + 1 / 22+ 1 / 32+ 1 / 42+ 1 / 52+ …
比方說， 40 = 2 × 2 × 2 × 5 ，那么等式右邊的 1 / 402這一項，就是由等式左邊的第一個括號里的 1 / 26，乘以第二個括號里的 1 ，乘以第三個括號里的 1 / 52，乘以其余所有括號里的 1 得到的。
1 + 1 / 22+ 1 / 32+ 1 / 42+ 1 / 52+ … 究竟等于多少呢？我們來證明，它小于 2 。這是因為：
1 + 1 / 22+ 1 / 32+ 1 / 42+ 1 / 52+ …
< 1 + 1 / (1 × 2) + 1 / (2 × 3) + 1 / (3 × 4) + 1 / (4 × 5) + …
= 1 + 1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + 1/4 – 1/5 + …
= 2
別忘了， 1 + 1 / 22+ 1 / 32+ 1 / 42+ 1 / 52+ … 是我們把所求的概率值取了倒數(shù)后的結(jié)果。因此，我們所求的概率值就應(yīng)該大于 1/2 了。也就是說，這道題目的正確答案是 A 。
可以證明， 1 + 1 / 22+ 1 / 32+ 1 / 42+ 1 / 52+ … 實際上等于 π2/ 6 。因此，任意兩個正整數(shù)互質(zhì)的概率就是 6 / π2≈ 0.608 。神奇的數(shù)學(xué)常數(shù) π 經(jīng)常會出現(xiàn)在一些與圓形八竿子打不著的地方，比如我們之前提過的 Buffon 投針問題。而大家剛才看到互質(zhì)概率問題，才是我覺得最為經(jīng)典的例子之一。
這篇文章中的題目是我長期收集而來的。大部分題目都是非常經(jīng)典的題目，它們可以在 The Colossal Book of Short Puzzles and
Problems 、 Mathematical Puzzles: A Connoisseur’s Collection 、 Mathematical
Mind-Benders 、 Problems for Mathematicians, Young and Old 、 40 Puzzles and
Problems in Probability and Mathematical Statistics 、 Fifty Challenging Problems
in Probability 等書中找到。有些題目是我很早以前就寫過的，此處有所改寫。部分文字直接摘自《浴缸里的驚嘆： 256
道讓你恍然大悟的趣題》。
4月
27, 2016|
