進(jìn)位制/位置計(jì)數(shù)法是一種記數(shù)方式，故亦稱進(jìn)位記數(shù)法/位值計(jì)數(shù)法，可以用有限的數(shù)字符號(hào)代表所有的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號(hào)的數(shù)目稱為基數(shù)(en:radix)或底數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制?，F(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。

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一. 十進(jìn)制和二進(jìn)制互相轉(zhuǎn)換

（1） 十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，分為整數(shù)部分和小數(shù)部分

1.整數(shù)部分

方法：除2取余法，即每次將整數(shù)部分除以2，余數(shù)為該位權(quán)上的數(shù)，而商繼續(xù)除以2，余數(shù)又為上一個(gè)位權(quán)上的數(shù)，這個(gè)步驟一直持續(xù)下去，直到商為0為止，最后讀數(shù)時(shí)候，從最后一個(gè)余數(shù)讀起，一直到最前面的一個(gè)余數(shù)。下面舉例：

例：將十進(jìn)制的168轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

得出結(jié)果 將十進(jìn)制的168轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，（10101000）

分析:

? ? 第一步，將168除以2,商84,余數(shù)為0。

? ? 第二步，將商84除以2，商42余數(shù)為0。

? ? 第三步，將商42除以2，商21余數(shù)為0。

? ? 第四步，將商21除以2，商10余數(shù)為1。

? ? 第五步，將商10除以2，商5余數(shù)為0。

? ? 第六步，將商5除以2，商2余數(shù)為1。

? ? 第七步，將商2除以2，商1余數(shù)為0。

? ? 第八步，將商1除以2，商0余數(shù)為1。

? ? 第九步，讀數(shù)，因?yàn)樽詈笠晃皇墙?jīng)過多次除以2才得到的，因此它是最高位，讀數(shù)字從最后的余數(shù)向前讀，即10101000

2.小數(shù)部分

方法：乘2取整法，即將小數(shù)部分乘以2，然后取整數(shù)部分，剩下的小數(shù)部分繼續(xù)乘以2，然后取整數(shù)部分，剩下的小數(shù)部分又乘以2，一直取到小數(shù)部分

為零為止。如果永遠(yuǎn)不能為零，就同十進(jìn)制數(shù)的四舍五入一樣，按照要求保留多少位小數(shù)時(shí)，就根據(jù)后面一位是0還是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。換句話說就是0舍1入。讀數(shù)要從前面的整數(shù)讀到后面的整數(shù)，下面舉例：

例1：將0.125換算為二進(jìn)制

得出結(jié)果：將0.125換算為二進(jìn)制（0.001）

分析:

? ? 第一步，將0.125乘以2，得0.25,則整數(shù)部分為0,小數(shù)部分為0.25。

? ? 第二步, 將小數(shù)部分0.25乘以2,得0.5,則整數(shù)部分為0,小數(shù)部分為0.5。

? ? 第三步, 將小數(shù)部分0.5乘以2,得1.0,則整數(shù)部分為1,小數(shù)部分為0.0。

? ? 第四步,讀數(shù),從第一位讀起,讀到最后一位,即為0.001。

例2：將0.45轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制（保留到小數(shù)點(diǎn)第四位）

大家從上面步驟可以看出，當(dāng)?shù)谖宕巫龀朔〞r(shí)候，得到的結(jié)果是0.4，那么小數(shù)部分繼續(xù)乘以2，得0.8，0.8又乘以2的，到1.6這樣一直乘下去，最后不可能得到小數(shù)部分為零，因此，這個(gè)時(shí)候只好學(xué)習(xí)十進(jìn)制的方法進(jìn)行四舍五入了，但是二進(jìn)制只有0和1兩個(gè)，于是就出現(xiàn)0舍1入。這個(gè)也是計(jì)算機(jī)在轉(zhuǎn)換中會(huì)產(chǎn)生誤差，但是由于保留位數(shù)很多，精度很高，所以可以忽略不計(jì)。

那么，我們可以得出結(jié)果將0.45轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制約等于0.0111

上面介紹的方法是十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為為二進(jìn)制的方法，需要大家注意的是：

? ? 十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，需要分成整數(shù)和小數(shù)兩個(gè)部分分別轉(zhuǎn)換。

? ? 當(dāng)轉(zhuǎn)換整數(shù)時(shí)，用的除2取余法，而轉(zhuǎn)換小數(shù)時(shí)候，用的是乘2取整法。

? ? 注意他們的讀數(shù)方向。

因此，我們從上面的方法，我們可以得出十進(jìn)制數(shù)168.125轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制為10101000.001,或者十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)約等于10101000.0111。

（2） 二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制 不分整數(shù)和小數(shù)部分

方法：按權(quán)相加法，即將二進(jìn)制每位上的數(shù)乘以權(quán)，然后相加之和即是十進(jìn)制數(shù)。

二進(jìn)制數(shù)的第0位的權(quán)值是2的0次方，第一位的權(quán)值是2的1次方

例1：將二進(jìn)制數(shù)101.101轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。

得出結(jié)果：（101.101）2=(5.625)10

分析：

? ? 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 + 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3

? ? 1 + 0 + 4 + 0.5 + 0 + 0.125 = 5.625

例2：將二進(jìn)制101100100換算為十進(jìn)制

得出結(jié)果：將101100100換算為十進(jìn)制（356）

分析:

? ? 二進(jìn)制數(shù)第0位的權(quán)值是2的0次方，第1位的權(quán)值是2的1次方......

? ? 用橫式計(jì)算（從右往左算）

? ? 0*2^0 + 0*2^1 +1*2^2 + 0*2^3 + 0*2^4 + 1*2^5 + 1*2^6 + 0*2^7 + 1*2^8

? ? 0乘以多少都是0，所以我們也可以直接跳過值為0的位：

? ? 1*2^2 + 1*2^5 + 1*2^6 + 1*2^8 = 356

? ? 4 + 32 + 64 + 256 = 356

大家在做二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制需要注意的是：

? ? 要知道二進(jìn)制每位的權(quán)值。

? ? 要能求出每位的值。

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二. 二進(jìn)制與八進(jìn)制互相轉(zhuǎn)換

? ? 首先，我們需要了解一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系，即2^3=8，2^4=16，而八進(jìn)制和十六進(jìn)制是用這關(guān)系衍生而來的，即用三位二進(jìn)制表示一位八進(jìn)制，用四位二進(jìn)制表示一位十六進(jìn)制數(shù)。

? ? 接著，記住4個(gè)數(shù)字8、4、2、1（2^3=8、2^2=4、2^1=2、2^0=1）。

? ? 現(xiàn)在我們來練習(xí)二進(jìn)制與八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換。

（1）? 二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制

方法：取三合一法，即從二進(jìn)制的小數(shù)點(diǎn)為分界點(diǎn)，向左（向右）每三位取成一位，接著將這三位二進(jìn)制按權(quán)相加，得到的數(shù)就是一位八位二進(jìn)制數(shù)，然后，按順序進(jìn)行排列，小數(shù)點(diǎn)的位置不變，得到的數(shù)字就是我們所求的八進(jìn)制數(shù)。如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位時(shí)候，如果無法湊足三位，可以在小數(shù)點(diǎn)最左邊（最右邊），即整數(shù)的最高位（最低位）添0，湊足三位。

每一個(gè)三位表示一個(gè)八位，所以要三三分組，這里需要注意的是，在向左（或向右）取三位時(shí)，取到最高位（最低位）如果無法湊足三位，就可以在小數(shù)點(diǎn)的最左邊（或最右邊）補(bǔ)0，進(jìn)行換算。 分好組以后，對照二進(jìn)制與八進(jìn)制數(shù)的對應(yīng)表，將三位二進(jìn)制按權(quán)相加，得到的數(shù)就是一位八進(jìn)制數(shù)，然后按順序排列，小數(shù)點(diǎn)的位置不變哦，最后得到的就是八進(jìn)制數(shù)哦。

這里需要注意的是大家在做添0補(bǔ)位的時(shí)候，是在小數(shù)點(diǎn)最左邊或最右邊才能添0。

例1：將二進(jìn)制數(shù)101110.101轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制

得到結(jié)果：將101110.101轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制為56.5

例2：將二進(jìn)制數(shù)1101.1轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制

得到結(jié)果：將1101.1轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制為15.4

例3：將二進(jìn)制數(shù)010100.011101轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制

得到結(jié)果：將010100.011101轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制為24.35

例4：將二進(jìn)制數(shù)1011.11轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制

得到結(jié)果：將1011.11轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制為13.6

（2）? 二進(jìn)制與八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換

? ? ? 首先，我們需要了解一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系，即2^3=8，2^4=16，而八進(jìn)制和十六進(jìn)制是用這關(guān)系衍生而來的，即用三位二進(jìn)制表示一位八進(jìn)制，用四位二進(jìn)制表示一位十六進(jìn)制數(shù)。

接著，記住4個(gè)數(shù)字8、4、2、1（2^3=8、2^2=4、2^1=2、2^0=1）?，F(xiàn)在我們來練習(xí)二進(jìn)制與八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換。

1. 將八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

方法：取一分三法，即將一位八進(jìn)制數(shù)分解成三位二進(jìn)制數(shù)，用三位二進(jìn)制按權(quán)相加去湊這位八進(jìn)制數(shù)，小數(shù)點(diǎn)位置照舊。

例1:將八進(jìn)制數(shù)67.54轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

因此，將八進(jìn)制數(shù)67.54轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)為110111.101100，即110111.1011

大家從上面這道題可以看出，計(jì)算八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

首先，將八進(jìn)制按照從左到右，每位展開為三位，小數(shù)點(diǎn)位置不變

然后，按每位展開為22，21，20（即4、2、1）三位去做湊數(shù)，即a×22+ b×21 +c×20=該位上的數(shù)（a=1或者a=0，b=1或者b=0，c=1或者c=0）,將abc排列就是該位的二進(jìn)制數(shù)

接著，將每位上轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)按順序排列

最后，就得到了八進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的數(shù)字。

例2:將八進(jìn)制數(shù)543.01轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

5 4 3. 0 1

101 100 011. 000 001

以上的方法就是二進(jìn)制與八進(jìn)制的互換，大家在做題的時(shí)候需要注意的是：

1） 他們之間的互換是以一位與三位轉(zhuǎn)換，這個(gè)有別于二進(jìn)制與十進(jìn)制轉(zhuǎn)換

2） 大家在做添0和去0的時(shí)候要注意，是在小數(shù)點(diǎn)最左邊或者小數(shù)點(diǎn)的最右邊（即整數(shù)的最高位和小數(shù)的最低位）才能添0或者去0，否則將產(chǎn)生錯(cuò)誤

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三. 二進(jìn)制與十六進(jìn)制互相轉(zhuǎn)換

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四. 八進(jìn)制與十六進(jìn)制互相轉(zhuǎn)換

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五. 八進(jìn)制與十進(jìn)制互相轉(zhuǎn)換

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六. 十六進(jìn)制與十進(jìn)制互相轉(zhuǎn)換