正弦函數(shù)嵌套迭代收斂到 0，是怎么證明的？

2022.09.21 Wednesday @BJ

考慮數(shù)列 x_{n+1}=\sin(x_n), x_0 \in (0,1), 利用單調有界數(shù)列有極限，\sin 是連續(xù)函數(shù)，以及 x=\sin(x) 只有 x=0 這一個解，可知 x_n 收斂到 0。

參考：https://www.zhihu.com/question/299450122

有沒有直接利用定義來證明的呢？

一個思路是將 \sin(x) 縮放一下，比如利用 \sin(x) \le x - \frac{x^3}{8}, x \in (0,1)。將正弦改成多項式，操作起來會簡單一些。具體思路和下面這個例子的一樣：

a_{n+1}=a_n (1-a_n), a_0 \in (0,1), 收斂到 0。

這是因為
\frac{1}{a_{n+1}} =\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{1-a_{n}} \ge \frac{1}{a_{n}} +1 \ge ... \ge n+1.
所以 a_n \le \frac{1}{n}。利用極限的定義可知 a_n 收斂到 0.

你還有別的證明思路么？歡迎交流~

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