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有一個(gè)非常重要的定量規(guī)律，所謂 $1/\sqrt N$ 律，這是一個(gè)關(guān)于物理學(xué)定律的不準(zhǔn)確度的期望。首先我們舉一具體例子：在一定的壓力P和溫度T下，某氣體具有一定的密度n，或者說(shuō)在此條件下，某氣體的單位體積內(nèi)正好有N個(gè)氣體分子。假使我們能夠在某一瞬間進(jìn)行檢驗(yàn)，你將會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)說(shuō)法是不準(zhǔn)確的，因?yàn)榇嬖谥睿@個(gè)偏差就是 $1/\sqrt N$ 的量級(jí)。比如N=100，偏差（ $\Delta N$ ）大約是10（ $\frac{1}{\sqrt{100}}$ ），相對(duì)誤差（ $\Delta N / N$ ）為10%。如果N=1000000（ $1 \times 10^6$ ），偏差（ $\Delta N$ ）大約是1000，相對(duì)誤差為0.1%（ $\Delta N / N = 10^{-3}$ ）。

這個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律是普遍成立的，物理學(xué)和物理化學(xué)的定律并不是無(wú)限精確的，存在一定的相對(duì)誤差，這個(gè)相對(duì)誤差的范圍在 $1/ \sqrt N$ 內(nèi)。這里的N是指在理論和實(shí)驗(yàn)的研究中，為了在一定的時(shí)間空間范圍內(nèi)使該定律生效而必須考慮的參與分子的數(shù)目。

因此我們可以看出，有機(jī)體內(nèi)的內(nèi)在生命以及它同外部世界的相互作用，都能被精確的定律所概述，但這個(gè)前提是它自身必須有一個(gè)巨大的結(jié)構(gòu)。如果沒(méi)有足夠的空間結(jié)構(gòu)，參與合作的分子數(shù)目太少的話，“ $1/\sqrt N$ 定律”也就不準(zhǔn)確了。尤其要注意的是這個(gè)定律出現(xiàn)了平方根。比如說(shuō)雖然100萬(wàn)是個(gè)巨大的數(shù)目，但其精確性就只有千分之一。這樣的精確度對(duì)于一條自然定律來(lái)說(shuō)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。

以上摘自薛定諤的《生命是什么》，第一章。 $1/ \sqrt N$ 律可概況為漲落正比于 $1/ \sqrt N$ ：

$\delta \propto 1/\sqrt N$

隨機(jī)行走

我們可以用隨機(jī)行走（random walk）來(lái)定量地證明 $1/\sqrt N$ 律。假設(shè)有一個(gè)醉漢，他走出的任何兩步之間都沒(méi)有相互關(guān)聯(lián)，即沒(méi)法通過(guò)第i步，推測(cè)其第j步怎么走，但醉漢走出的每一步大小都是相同的，假設(shè)都是r，隨機(jī)的只是邁步的方向。

假設(shè)醉漢由原點(diǎn)出發(fā)，走了N步，最后到達(dá)的位置用向量 $\vec R$ 表示：

$\vec R = \sum\limits_{i = 1}^N \vec r_i$

最終的 $\vec R$ 可以是任意方向的，所以 $\vec R$ 的期望值是零：

$\left\langle \vec R \right\rangle = 0$

我們關(guān)心的是 $\vec R$ 的大小：

$|\vec R| = \sqrt{\vec R \cdot \vec R}$

這里：

$\vec R \cdot \vec R =\left( \sum_i \vec r_i \right) \cdot \left( \sum_j \vec r_j \right) = \sum_i \vec r_i \cdot \vec r_i + \sum_{i \neq j} \vec r_i \cdot \vec r_j$

以上求和中，第一項(xiàng)對(duì)應(yīng) $i = j$ 的項(xiàng)，共 $N$ 項(xiàng)，第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)的是 $i \neq j$ 的項(xiàng)，共 $N(N-1)$ 項(xiàng)，即共有 $N^2$ 項(xiàng)。

$N^2 = N + N(N-1)$

求和中第一項(xiàng)：

$\sum_i \vec r_i \cdot \vec r_i = N r^2$

求和中第二項(xiàng)，會(huì)出現(xiàn)：

$\vec r_i \cdot \vec r_j = r_i r_j \cos (\theta_i - \theta_j)$

假設(shè)每一步的方向 $\theta$ 是隨機(jī)的， $\vec r_i$ 和 $\vec r_j$ 的夾角 $(\theta_i - \theta_j)$ 也是隨機(jī)的（或者說(shuō)第i步和第j步不存在任何關(guān)聯(lián)）。

平均而言：

$\left\langle \cos (\theta_i - \theta_j) \right\rangle = 0$

即求和中第二項(xiàng)平均為0?，F(xiàn)在：

$\vec R \cdot \vec R = N r^2$

$\vec R$ 的大小是：

$| \vec R | = \sqrt{N} r$

$1/\sqrt N$ 律

現(xiàn)在考慮不那么隨機(jī)的行走。假設(shè)第i步：

$\vec d_i = \vec d + \vec a_i$

每一步都會(huì)沿某個(gè)固定的方向確定性地走出d（ $\vec d$ 是常向量），然后在此基礎(chǔ)上有個(gè)隨機(jī)的偏離 $\vec a_i$ ，偏離的大小是固定的，但偏離的方向是完全隨機(jī)的，而且對(duì)不同的i和j，第i個(gè)偏離和第j個(gè)偏離不存在任何相關(guān)。