? ? ? ? 連分數是一個有趣的數論問題，不僅在純數學領域有很多值得探討的東西，還有著廣泛的應用。在此，對連分數的幾何意義進行一些討論，不僅比抽象的算術方法更直觀、簡明，還能引發(fā)一些有趣的思考。

? ? ? ? 連分數的幾何表示，只需舉一個無理數 ω=（√5+1）/2的例子說明。下圖是ω=（√5+1）/2的連分數展開式：

? ? ? ? 如果我們在第零、一、二、三、四、五……個偏分母之后停止展開，就會得到一系列有理分數1、2、3/2、5/3、8/5、13/8……這些有理分數稱作收斂子，最一般的表示記作pn/qn。

? ? ? ? 為了用幾何圖形把連分數展開表示出來，我們不妨在xy平面第一象限內畫出“網格”，“網格”的那些交點就是一切有整坐標的點。同時，把收斂子pn/qn換一種表示方法，分子作為橫坐標，分母作為縱坐標，即（pn,qn），這樣，任意有理數都和網格的交點一一對應。很容易把以上收斂子在“網格”上標出，如下圖所示：

? ? ? ? 然后，我們把ω=（√5+1）/2表示為一條無理射線ω=x/y，所謂無理射線，除了原點o之外，射線上沒有一個橫縱坐標同為整數的整點。從圖中可以看到，（p0,q0）、（p2,q2）、（p4、q4）…從射線左側越來越趨近于射線ω=x/y；（p1,q1）、（p3,q3）、（p5、q5）…從右側趨近ω=x/y。這就是幾何化的連分數定義，十分簡明直觀，其中也有許多值得討論的東西：

? ? ? ? 首先，我們在圖中畫出的是無理射線，所以收斂子不可能落在該射線上，趨近過程會左右交替無限進行下去。反之，如果畫出的是有理射線，當一個收斂子落在射線上時，這個過程也就在有限步之后終止，對應的算術過程就是反復相除得到的余數為零。關于分別趨近有理數和無理數，可以舉兩個經典的例子：

? ? ? ? 一個是關于歷法。眾所周知，平日里用的陽歷每隔四年一個閏年，即增加一天，一個回歸年是365天5小時48分46秒，對其進行連分數展開如下：

? ? ? ? ? 進行連分數運算后，可知分數部分的收斂子分別是1/4、7/29、8/33、31/128、163/673、10463/43200。這說明每4年加1天是最方便的逼近，而每29年加7天則更精密些，每33年加8天精密程度更高……依次進行，可以不斷把歷法制定得更精確。例如，每33年加8天，每99年就是加24天，所以雖然每四年一閏，到了第一百年卻要少閏一天。

? ? ? ? 我國傳統(tǒng)的歷法所謂“陰歷”、“農歷”，其實是以回歸年范導月相周期的陰陽混合歷。為了解決前者非后者整數倍的問題，先民們想出了巧妙的“置閏”。月亮繞地球一周的時間是29.5306天，用連分數展開閏月的問題一目了然：

? ? ? ? 如圖，計算可得收斂子依次為1/2、1/3、3/8、7/19、10/27。由于是左右交替逼近，也就是說，設置閏月，兩年一閏太多，三年一閏太少，八年三閏太多，十九年七閏太少……。

? ? ? ? 對于圖中無理射線的情況，最有名的例子當屬圓周率的連分數展開：

? ? ? ? 收斂子22/7、355/113分別就是祖沖之用來近似表達圓周率的約率和密率。

? ? ? ? 除前述例子之外，涉及幾個不同的周期相遇或者說重迭的問題，比如天體的相沖、合璧、聯珠，各種波動的疊加甚至齒輪的嵌合等等，連分數都可能作為一個有用的工具。從這些例子中，我們可以抽象出一個稱為丟番圖逼近的逼近論問題，表述如下：

? ? ? ? 給定一正實數r，再給定一個自然數N，求一個分母不大于N的有理數p/q，使r-p/q的絕對值最小。

? ? ? ? 需要特別指出的是，每個收斂子都比任何一個分母不比它大的有理數更接近實數r，這是連分數有重大應用價值的前提。用代數或者算術的方法詳細探討丟番圖逼近，過程十分繁瑣且不易理解，有興趣的話可以參考相關的數論教科書。反之，如果用剛才討論過的幾何表示，則十分直觀易懂。

? ? ? ? 如圖，我們可以假想在所有整點上都釘上釘子，用兩根細線從射線ω=x/y出發(fā)分別向左和向右拉緊，則形成一系列圍繞左右兩個整點集的凸多邊形的頂點。在拉緊的過程中，細線最先碰到的釘子就是對無理數ω的最近似的逼近，依次變得粗疏。而且容易直觀到，對于凸多邊形的這些頂點，縱坐標（即分母）相同或者更小的所有釘子，都不可能比頂點更接近射線ω=x/y。

? ? ? ? 我們可以從更高的數學觀點來看待丟番圖逼近的問題。該逼近論的深刻之處在于指出，任何一個實數（當然包括無理數）可以表為一個有理數序列的極限，換個角度講，有理數域對于極限運算不是自封的。從數域擴張的角度看，這也給了我們把有理數域擴張到實數域的理由。而以實數為元素的序列就不可能通過取極限而得出實數以外的新數來，也就是說一旦擴張到實數域，對極限運算就是自封的了。數的連續(xù)統(tǒng)是極限概念的基礎，也相互成就，從17世紀以來就成了解析幾何和分析學的基礎，不過當時并不是在經過嚴格的審查和分析之后才被接受的。

? ? ? ? 在連分數幾何表示的圖中，一直沒有被我們注意到的是，射線ω=x/y上除了o之外沒有一個整點，這其實足以讓人驚訝。我們知道，把無理數定義為有理數的一個分割的所謂戴德金分割，是數學史上具有里程碑意義的一個經典定義。在這個幾何表示中，射線ω=x/y就是整點即有理數對場上的一個分割，左右兩側的點集向著該分割收斂。一維的戴德金分割十分抽象，一旦擴展到如此的二維情形，就豁然開朗很多，甚至可以直觀到其中的過程。這和許多模糊而模棱兩可的數學問題——例如，泰勒展開中，為何在函數完全解析的地方冪級數卻突然不再收斂——一旦拓展到復平面就豁然開朗異曲同工。

? ? ? ? 最后需要指出，數論大家高斯和狄利克萊都是通過幾何圖形研究數論的高手，可后來越來越依靠抽象的算術方法。很多問題如果從數學史的自然發(fā)展順序來理解，不僅順理成章、水到渠成，而且還更容易挖掘出背后的數學甚至哲學思想，縱橫發(fā)散，融會貫通，連分數就是一個經典的例子。