? ? ? ? 連分?jǐn)?shù)是一個(gè)有趣的數(shù)論問題，不僅在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域有很多值得探討的東西，還有著廣泛的應(yīng)用。在此，對連分?jǐn)?shù)的幾何意義進(jìn)行一些討論，不僅比抽象的算術(shù)方法更直觀、簡明，還能引發(fā)一些有趣的思考。

? ? ? ? 連分?jǐn)?shù)的幾何表示，只需舉一個(gè)無理數(shù) ω=（√5+1）/2的例子說明。下圖是ω=（√5+1）/2的連分?jǐn)?shù)展開式：

? ? ? ? 如果我們在第零、一、二、三、四、五……個(gè)偏分母之后停止展開，就會(huì)得到一系列有理分?jǐn)?shù)1、2、3/2、5/3、8/5、13/8……這些有理分?jǐn)?shù)稱作收斂子，最一般的表示記作pn/qn。

? ? ? ? 為了用幾何圖形把連分?jǐn)?shù)展開表示出來，我們不妨在xy平面第一象限內(nèi)畫出“網(wǎng)格”，“網(wǎng)格”的那些交點(diǎn)就是一切有整坐標(biāo)的點(diǎn)。同時(shí)，把收斂子pn/qn換一種表示方法，分子作為橫坐標(biāo)，分母作為縱坐標(biāo)，即（pn,qn），這樣，任意有理數(shù)都和網(wǎng)格的交點(diǎn)一一對應(yīng)。很容易把以上收斂子在“網(wǎng)格”上標(biāo)出，如下圖所示：

? ? ? ? 然后，我們把ω=（√5+1）/2表示為一條無理射線ω=x/y，所謂無理射線，除了原點(diǎn)o之外，射線上沒有一個(gè)橫縱坐標(biāo)同為整數(shù)的整點(diǎn)。從圖中可以看到，（p0,q0）、（p2,q2）、（p4、q4）…從射線左側(cè)越來越趨近于射線ω=x/y；（p1,q1）、（p3,q3）、（p5、q5）…從右側(cè)趨近ω=x/y。這就是幾何化的連分?jǐn)?shù)定義，十分簡明直觀，其中也有許多值得討論的東西：

? ? ? ? 首先，我們在圖中畫出的是無理射線，所以收斂子不可能落在該射線上，趨近過程會(huì)左右交替無限進(jìn)行下去。反之，如果畫出的是有理射線，當(dāng)一個(gè)收斂子落在射線上時(shí)，這個(gè)過程也就在有限步之后終止，對應(yīng)的算術(shù)過程就是反復(fù)相除得到的余數(shù)為零。關(guān)于分別趨近有理數(shù)和無理數(shù)，可以舉兩個(gè)經(jīng)典的例子：

? ? ? ? 一個(gè)是關(guān)于歷法。眾所周知，平日里用的陽歷每隔四年一個(gè)閏年，即增加一天，一個(gè)回歸年是365天5小時(shí)48分46秒，對其進(jìn)行連分?jǐn)?shù)展開如下：

? ? ? ? ? 進(jìn)行連分?jǐn)?shù)運(yùn)算后，可知分?jǐn)?shù)部分的收斂子分別是1/4、7/29、8/33、31/128、163/673、10463/43200。這說明每4年加1天是最方便的逼近，而每29年加7天則更精密些，每33年加8天精密程度更高……依次進(jìn)行，可以不斷把歷法制定得更精確。例如，每33年加8天，每99年就是加24天，所以雖然每四年一閏，到了第一百年卻要少閏一天。

? ? ? ? 我國傳統(tǒng)的歷法所謂“陰歷”、“農(nóng)歷”，其實(shí)是以回歸年范導(dǎo)月相周期的陰陽混合歷。為了解決前者非后者整數(shù)倍的問題，先民們想出了巧妙的“置閏”。月亮繞地球一周的時(shí)間是29.5306天，用連分?jǐn)?shù)展開閏月的問題一目了然：

? ? ? ? 如圖，計(jì)算可得收斂子依次為1/2、1/3、3/8、7/19、10/27。由于是左右交替逼近，也就是說，設(shè)置閏月，兩年一閏太多，三年一閏太少，八年三閏太多，十九年七閏太少……。

? ? ? ? 對于圖中無理射線的情況，最有名的例子當(dāng)屬圓周率的連分?jǐn)?shù)展開：

? ? ? ? 收斂子22/7、355/113分別就是祖沖之用來近似表達(dá)圓周率的約率和密率。

? ? ? ? 除前述例子之外，涉及幾個(gè)不同的周期相遇或者說重迭的問題，比如天體的相沖、合璧、聯(lián)珠，各種波動(dòng)的疊加甚至齒輪的嵌合等等，連分?jǐn)?shù)都可能作為一個(gè)有用的工具。從這些例子中，我們可以抽象出一個(gè)稱為丟番圖逼近的逼近論問題，表述如下：

? ? ? ? 給定一正實(shí)數(shù)r，再給定一個(gè)自然數(shù)N，求一個(gè)分母不大于N的有理數(shù)p/q，使r-p/q的絕對值最小。

? ? ? ? 需要特別指出的是，每個(gè)收斂子都比任何一個(gè)分母不比它大的有理數(shù)更接近實(shí)數(shù)r，這是連分?jǐn)?shù)有重大應(yīng)用價(jià)值的前提。用代數(shù)或者算術(shù)的方法詳細(xì)探討丟番圖逼近，過程十分繁瑣且不易理解，有興趣的話可以參考相關(guān)的數(shù)論教科書。反之，如果用剛才討論過的幾何表示，則十分直觀易懂。

? ? ? ? 如圖，我們可以假想在所有整點(diǎn)上都釘上釘子，用兩根細(xì)線從射線ω=x/y出發(fā)分別向左和向右拉緊，則形成一系列圍繞左右兩個(gè)整點(diǎn)集的凸多邊形的頂點(diǎn)。在拉緊的過程中，細(xì)線最先碰到的釘子就是對無理數(shù)ω的最近似的逼近，依次變得粗疏。而且容易直觀到，對于凸多邊形的這些頂點(diǎn)，縱坐標(biāo)（即分母）相同或者更小的所有釘子，都不可能比頂點(diǎn)更接近射線ω=x/y。

? ? ? ? 我們可以從更高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來看待丟番圖逼近的問題。該逼近論的深刻之處在于指出，任何一個(gè)實(shí)數(shù)（當(dāng)然包括無理數(shù)）可以表為一個(gè)有理數(shù)序列的極限，換個(gè)角度講，有理數(shù)域?qū)τ跇O限運(yùn)算不是自封的。從數(shù)域擴(kuò)張的角度看，這也給了我們把有理數(shù)域擴(kuò)張到實(shí)數(shù)域的理由。而以實(shí)數(shù)為元素的序列就不可能通過取極限而得出實(shí)數(shù)以外的新數(shù)來，也就是說一旦擴(kuò)張到實(shí)數(shù)域，對極限運(yùn)算就是自封的了。數(shù)的連續(xù)統(tǒng)是極限概念的基礎(chǔ)，也相互成就，從17世紀(jì)以來就成了解析幾何和分析學(xué)的基礎(chǔ)，不過當(dāng)時(shí)并不是在經(jīng)過嚴(yán)格的審查和分析之后才被接受的。

? ? ? ? 在連分?jǐn)?shù)幾何表示的圖中，一直沒有被我們注意到的是，射線ω=x/y上除了o之外沒有一個(gè)整點(diǎn)，這其實(shí)足以讓人驚訝。我們知道，把無理數(shù)定義為有理數(shù)的一個(gè)分割的所謂戴德金分割，是數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義的一個(gè)經(jīng)典定義。在這個(gè)幾何表示中，射線ω=x/y就是整點(diǎn)即有理數(shù)對場上的一個(gè)分割，左右兩側(cè)的點(diǎn)集向著該分割收斂。一維的戴德金分割十分抽象，一旦擴(kuò)展到如此的二維情形，就豁然開朗很多，甚至可以直觀到其中的過程。這和許多模糊而模棱兩可的數(shù)學(xué)問題——例如，泰勒展開中，為何在函數(shù)完全解析的地方冪級數(shù)卻突然不再收斂——一旦拓展到復(fù)平面就豁然開朗異曲同工。

? ? ? ? 最后需要指出，數(shù)論大家高斯和狄利克萊都是通過幾何圖形研究數(shù)論的高手，可后來越來越依靠抽象的算術(shù)方法。很多問題如果從數(shù)學(xué)史的自然發(fā)展順序來理解，不僅順理成章、水到渠成，而且還更容易挖掘出背后的數(shù)學(xué)甚至哲學(xué)思想，縱橫發(fā)散，融會(huì)貫通，連分?jǐn)?shù)就是一個(gè)經(jīng)典的例子。