數(shù)列極限

定義

\forall \varepsilon>0,\exist N>0,當(dāng)n>N時，有|x_n-A|<\varepsilon

性質(zhì)

1、唯一性

2、收斂數(shù)列的（整體）有界性：如果{x_n}收斂，那么數(shù)列{x_n}一定有界

3、收斂數(shù)列的（局部）保號性：如果lim_{n \to \infty}x_n=a且a>0(或a<0)，那么存在正整數(shù)N，n>N時，$$都有x_n>0（或x_n<0）

推論：如果數(shù)列{x_n}從某項起有x_n\geq 0（或x_n \leq 0），且lim_{x \to \infty}x_n=a，那么a\geq 0（或a\leq 0）

PS:若lim_{x \to \infty}x_n=a，則lim_{n \to \infty}|x_n|=|a|，反之不成立

數(shù)列與子數(shù)列

子數(shù)列定義：

取X_n=\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},……

雙生子數(shù)列：X_{2n}:\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},……\frac{1}{2n}……

??????X_{2n-1}=\frac{1}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{5}……\frac{1}{2n-1}……

三生子數(shù)列：X_{3n}=\frac{1}{3},\frac{1}{6},\frac{1}{9},……

??????X_{3n-1}=\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{1}{8},……

??????X_{3n-2}=\frac{1}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{7},……

數(shù)列與子數(shù)列的關(guān)系：

1、若{X_n}收斂，則它所有子數(shù)列都收斂

?數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限的依據(jù)，即可以看做數(shù)列極限是函數(shù)極限的子數(shù)列

2、lim_{n \to \infty}X_{2n}=lim_{n \to \infty}X_{2n-1}=A\ \ \ 則lim_{n \to \infty}X_n=A

?lim_{n \to \infty}X_{3n}=lim_{n \to \infty}X_{3n-1}=lim_{n \to \infty}X_{3n-2}=A\ \ \ 則lim_{n \to \infty}X_{n}=A

3、{X_n}的收斂性與前有現(xiàn)象無關(guān)，lim_{n \to \infty}X_{n}=lim_{n \to \infty}X_{x+k}

?應(yīng)用于遞推數(shù)列求極限

數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系

當(dāng)數(shù)列極限是未定式時，可以將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限

數(shù)列極限不適用洛必達

數(shù)列極限存在

夾逼準則：

若y_n \leq x_n \leq z_n，且lim_{n \to \infty}y_n=lim_{n \to \infty}z_n=a，則lim_{n \to \infty}x_n=a

單調(diào)有界準則

適用范圍：遞推數(shù)列

計算方法：

==1、用適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄒ话銜r單調(diào)有界準則）說明極限存在==

PS:若{x_n}單調(diào)且有界，則{x_n}收斂，記做lim_{n \to \infty}x_n=A存在

?{x_n}單調(diào)遞增，證明有上界

?{x_n}單調(diào)遞減，證明有下界

2、對x_{n+1}=f(x_n)兩邊取極限得A=f(A)，解方程得A

證明有界：

1、數(shù)學(xué)歸納法：x_n>a或x_n>a,a一般為極限?x_{n+1}=f(x_n)

2、常見函數(shù)的定義域與值域：lnx\to x>0 \sqrt{f(x)}\geq 0

3、常用不等式：x>0,\frac{x}{1+x}<ln(a+x)<x

???????x>0,x<e^x-1<xe^x

???????0<x<\frac{\pi}{2},sinx<x<tanx

???????x>0,sinx<x

???????a>0,b>0,c>0,\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}

???????x>0,x+\frac{1}{x} \ge 2

證明單調(diào)：

1、作減：x_{n+1}-x_n=f(x_n)-x_n \begin{cases} \ge 0 \ \ \uparrow \\ \le 0 \ \ \downarrow \end{cases}

2、作比：\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{f(s_n)}{x_n}\begin{cases} \ge 1 \ \ \uparrow \\ \le 1 \ \ \downarrow \end{cases}

3、結(jié)論：設(shè)x_{n+1}=f(x_n),x\in I，引入輔助函數(shù)f(x),x \in I

?????(1)若f'(x) >0，x \in I，則{x_n}單調(diào)

??????x_1<x_2\Rightarrow {x_n}\ \ \uparrow

??????x_1>x_2 \rightarrow {x_2} \downarrow

?????(2)若f'(x)<0，x \in I，則{x_n}不單調(diào)

連續(xù)與間斷

連續(xù)定義

f(x)在x_0處連續(xù)：lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)

??????f(x_0^-)=f(x_0)=f(x_0^+)——單側(cè)極限

PS:1、f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)

2、f(x)在[a,b]上連續(xù)：f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，在x=a右連續(xù)，x=b左連續(xù)

連續(xù)性質(zhì)

初等函數(shù)在其定義區(qū)間上必連續(xù)

初等函數(shù)：常數(shù)、反對冪三指經(jīng)過有限次的+-*/復(fù)合變成的一個式子時初等函數(shù)

定義區(qū)間：定義域的子區(qū)間

間斷定義

若lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)不成立，則x=x_0是間斷點

間斷分類

第一類間斷點

可去間斷點

lim_{x \to x_0}f(x)=A，極限存在

補充定義可使之連續(xù)

跳躍間斷點

f(x_0^-)=A \not = f(x_0^+)=B

第二類間斷點

除第一類以外的間斷點（不止無窮、震蕩間斷點）

無窮間斷點

lim_{x \to x_0}f(x)=\infty

==單側(cè)極限為\infty也可以==

震蕩間斷點

lim_{x \to x_0}f(x)震蕩不存在

eg. x=0是sin\frac{1}{x}的一個震蕩間斷點

間斷點分辨

初等函數(shù)的間斷點判別

1、列出無定義點

2、求極限

分段函數(shù)間斷點判別

1、列出分段點

2、求極限，并與函數(shù)值比較

第一章小結(jié)

函數(shù)極限

等價無窮小、極限四則運算、洛必達、泰勒

\frac{0}{0}、\frac{\infty}{\infty}、0*\infty、\infty-\infty、0^0、\infty^0

數(shù)列極限

x_n=f(n)：

未定式時轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限

夾逼準則

x_{n+1}=f(x_n):

單調(diào)有界準則

連續(xù)間斷

間斷的分類

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