矩陣（matrix）
一、矩陣相乘
一個(gè)最好記的方法就是，如A×B，A矩陣4×4，B矩陣4×3，則結(jié)果是一個(gè)4×3的矩陣，也就是新矩陣的行數(shù)由A決定，列數(shù)由B決定，所以可以用A的每一行去乘B的每一列，最終就是一個(gè)4×3的矩陣（其實(shí)就是每一行點(diǎn)乘每一列）
1、性質(zhì)
（1）不滿足交換律
通常情況下
A×B ≠ B×A
（2）滿足結(jié)合律
(A×B)×C = A×(B×C)
二、特殊的矩陣
1、方塊矩陣
方塊矩陣（square matrix），簡(jiǎn)稱方陣，是指那些行列數(shù)相等的矩陣，游戲中常用的就是3×3，4×4矩陣
2、對(duì)角矩陣
對(duì)角矩陣（diagonal matrix），是指除對(duì)角元素外其他位置都是0的方陣
3、單位矩陣
對(duì)角元素都是1的矩陣被稱為單位矩陣（identity matrix）。
任何能與之相乘的矩陣都會(huì)得到原矩陣
4、轉(zhuǎn)置矩陣
轉(zhuǎn)置矩陣（transposed matrix），實(shí)際上是對(duì)矩陣的一種運(yùn)算名叫做轉(zhuǎn)置運(yùn)算
性質(zhì)
（1）矩陣轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置等于原矩陣
（2）矩陣相乘的轉(zhuǎn)置，等于每個(gè)矩陣的轉(zhuǎn)置反向相乘
5、逆矩陣
逆矩陣（inverse matrix），逆矩陣一定是個(gè)方陣，但是一個(gè)方陣不一定是逆矩陣，一個(gè)矩陣和它的逆矩陣相乘得到的是單位矩陣。
如果一個(gè)矩陣有對(duì)應(yīng)的逆矩陣，我們就說這個(gè)矩陣是可逆的，或是非奇異的，如果一個(gè)矩陣沒有逆矩陣，則說它是不可逆的，或是奇異的。
當(dāng)一個(gè)矩陣的行列式（determinant）不為0，那么這個(gè)矩陣就是可逆的（參見矩陣的行列式）
性質(zhì)
（1）逆矩陣的逆矩陣是原矩陣
（2）單位矩陣的逆矩陣是它本身
（3）轉(zhuǎn)置矩陣的逆矩陣是逆矩陣的轉(zhuǎn)置
（4）矩陣相乘的逆矩陣等于每個(gè)矩陣的逆矩陣反向相乘
幾何意義
逆矩陣是對(duì)某種變換的反向操作，公式可看出
6、正交矩陣
正交矩陣（orthogonal matrix），是一種特殊的方陣，如果一個(gè)矩陣和它的轉(zhuǎn)置相乘得到的是單位矩陣，那么我們就說這個(gè)矩陣是正交的（orthogonal），反過來依然成立。
而矩陣和它的逆矩陣相乘也得到的是單位矩陣，所以如果一個(gè)矩陣是正交的，那么他的逆矩陣就是它的轉(zhuǎn)置。如果一個(gè)矩陣是正交矩陣，那么他的轉(zhuǎn)置也會(huì)是正交矩陣。
如何判定一個(gè)矩陣是不是正交矩陣：
根據(jù)正交矩陣的定義得知矩陣的轉(zhuǎn)置乘原矩陣得到的是單位矩陣：
注：c1,c2,c3其實(shí)是代表矩陣每一行或列，畢竟矩陣相乘其實(shí)完全可以看成是兩個(gè)向量做的點(diǎn)乘操作
從而得知如下9個(gè)等式：
由此而知只需滿足以下條件即為正交矩陣：
（1）矩陣的每一行（列）為單位矩陣，這樣他們的點(diǎn)積才能為1
（2）矩陣的每一行（列）之間相互垂直，這樣他們的點(diǎn)積才能為0（夾角為90度）
三、矩陣的幾何意義
1、變換（transform）
（1）線性變化（linear transform）
線性變換是指那些可以保留矢量加和標(biāo)量乘的變換：
如果對(duì)一個(gè)三維向量做線性變換，那么只需要一個(gè)3×3的矩陣就完全足夠了
（2）仿射變換（affine transform）
僅僅有線性變換是不夠的，還需要考慮平移變換，它不是線性變換，因?yàn)樗鼭M足標(biāo)量乘，但不滿足矢量加，所以需要引入仿射變換。放射變換就是合并線性變換和平移變換的變換類型，用一個(gè)4×4的矩陣表示，即把向量擴(kuò)展到四維空間，也就是齊次坐標(biāo)空間（homogeneouse space）。
2、齊次坐標(biāo)（homogeneous coordinate）
因?yàn)?×3無法表示平移，所以增加了一個(gè)維度來表示平移，即齊次坐標(biāo)。為每個(gè)矢量增加一項(xiàng)w分量：
（a,b,c,w）。對(duì)于一個(gè)點(diǎn)w=1，對(duì)于一個(gè)矢量w=0，這樣在對(duì)點(diǎn)進(jìn)行線性或非線性變換都會(huì)作用于這個(gè)點(diǎn)，如果是矢量，則平移不會(huì)起作用。
3、分解基礎(chǔ)變換矩陣
（1）左上角的3×3的矩陣用于線性變換
（2）右上角的3×1的矩陣用于平移
（3）左下角的1×3矩陣是一個(gè)0矩陣（0,0,0）
（4）右下角是1
4、平移矩陣
從上面的矩陣可看出，相當(dāng)于在x，y，z方向上增加了tx,ty,tz的距離，即發(fā)生了平移。其實(shí)就是4×4的矩陣每一行組成的矢量與原矢量進(jìn)行了的點(diǎn)乘操作：
（1,0,0,tx）·（x,y,z,1）=x+tx，其中w=1，即表示這是一個(gè)點(diǎn)，如果w=0則說明是一個(gè)矢量
我們可以法線如果是矢量平移，則并不會(huì)發(fā)生作用，這就是w的作用。
由此也可以看出平移矩陣并不是正交矩陣，因?yàn)樗⒉粷M足正交矩陣的兩條要求。
5、縮放矩陣
當(dāng)縮放系數(shù)相等（kx=ky=kz）時(shí)，被稱為統(tǒng)一縮放（uniform scale），如果系數(shù)不相等則則稱為非統(tǒng)一縮放。統(tǒng)一縮放不會(huì)改變角度和比例信息，非統(tǒng)一縮放會(huì)改變與模型相關(guān)的角度和比例。
注：以上的矩陣變換只適用于沿坐標(biāo)軸方向進(jìn)行縮放，如果想沿任意方向進(jìn)行縮放，需要進(jìn)行復(fù)合變換，先把縮放軸換成標(biāo)準(zhǔn)的坐標(biāo)軸，然后再沿標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)軸進(jìn)行縮放
6、旋轉(zhuǎn)矩陣
旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣，幾個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣串聯(lián)同樣也是正交的
7、復(fù)合變換
我們可以把平移、旋轉(zhuǎn)、縮放組合起來，因?yàn)榫仃嚥粷M足交換律，所以乘法的順序很重要，在大多數(shù)情況下我們約定變換順序：先縮放，在旋轉(zhuǎn)，最后平移。
變換的順序不同會(huì)得到不同的變換結(jié)果，究其本質(zhì)就是矩陣不滿足交換律。
