《大話數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》學(xué)習(xí)筆記五

第6章 樹

樹（Tree）是 n（n≥0）個(gè)結(jié)點(diǎn)的有限集。n=0 時(shí)稱為空樹。在任意一棵非空樹中：（1）有且僅有一個(gè)特定的稱為根（Root）的結(jié)點(diǎn)；（2）當(dāng) n>1 時(shí)，其余結(jié)點(diǎn)可分為 m（m>0）個(gè)互不相交的有限集 T1、T2、……、Tm，其中每一個(gè)集合本身又是一棵樹，并且稱為根的子樹（SubTree）。

樹的定義

樹（Tree）是 n（n≥0）個(gè)結(jié)點(diǎn)的有限集。n=0 時(shí)稱為空樹。在任意一棵非空樹中：（1）有且僅有一個(gè)特定的稱為根（Root）的結(jié)點(diǎn)；（2）當(dāng) n>1 時(shí)，其余結(jié)點(diǎn)可分為 m（m>0）個(gè)互不相交的有限集 T1、T2、……、Tm，其中每一個(gè)集合本身又是一棵樹，并且稱為根的子樹（SubTree）。

結(jié)點(diǎn)分類

樹的結(jié)點(diǎn)包含一個(gè)數(shù)據(jù)元素及若干指向其子樹的分支。

結(jié)點(diǎn)擁有的子樹數(shù)稱為結(jié)點(diǎn)的度（Degree）。度為 0 的結(jié)點(diǎn)稱為葉結(jié)點(diǎn)（Leaf）或終端結(jié)點(diǎn)；度不為 0 的結(jié)點(diǎn)稱為非終端結(jié)點(diǎn)或分支結(jié)點(diǎn)。除根結(jié)點(diǎn)之外，分支結(jié)點(diǎn)也稱為內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。樹的度是樹內(nèi)各結(jié)點(diǎn)的度的最大值。

結(jié)點(diǎn)間關(guān)系

結(jié)點(diǎn)的子樹的根稱為該結(jié)點(diǎn)的孩子（Child），相應(yīng)的，該結(jié)點(diǎn)稱為孩子的雙親（Parent）。同一個(gè)雙親的孩子之前互稱兄弟（Sibling）。結(jié)點(diǎn)的祖先是從根到該結(jié)點(diǎn)所經(jīng)分支上的所有結(jié)點(diǎn)。反之，以某結(jié)點(diǎn)為根的子樹中的任一結(jié)點(diǎn)都稱為該結(jié)點(diǎn)的子孫。

樹的其他相關(guān)概念

結(jié)點(diǎn)的層次（Level）從根開始定義起，根為第一層，根的孩子為第二層。若某結(jié)點(diǎn)在第 1 層，則其子樹的根就在第 i+1 層。其雙親在同一層的結(jié)點(diǎn)互為堂兄弟。樹中結(jié)點(diǎn)的最大層次稱為樹的深度（Depth）或高度。

如果將樹中結(jié)點(diǎn)的各子樹看成從左至右是有次序的，不能互換的，則稱該樹為有序樹，否則稱為無序樹。

森林（Forest）是 m（m≥0）棵互不相交的樹的集合。

線性表與樹結(jié)構(gòu)

線性結(jié)構(gòu) 樹結(jié)構(gòu)
第一個(gè)數(shù)據(jù)元素：無前驅(qū) 根結(jié)點(diǎn)：無雙親，唯一
最后一個(gè)數(shù)據(jù)元素：無后繼 葉結(jié)點(diǎn)：無孩子，可以多個(gè)
中間元素：一個(gè)前驅(qū)一個(gè)后繼 中間結(jié)點(diǎn)：一個(gè)雙親多個(gè)孩子

樹的抽象數(shù)據(jù)類型

ADT 樹（tree）

Data

樹是由一個(gè)根結(jié)點(diǎn)和若干子樹構(gòu)成。樹中結(jié)點(diǎn)具有相同數(shù)據(jù)類型及層次關(guān)系。

Operation

InitTree(*T):構(gòu)造空樹 T。

DestroyTree(*T):銷毀樹 T。

CreateTree(*T, definition):按 definition 中給出樹的定義來構(gòu)造樹。

ClearTree(*T):若樹 T 存在，則將樹 T 清為空樹。

TreeEmpty(*T):若 T 為空樹，返回 true，否則返回 false。

TreeDepth(T):返回 T 的深度。

Root(T):返回樹的根結(jié)點(diǎn)。

Value(T, cur_e):cur_e 是樹 T 中一個(gè)結(jié)點(diǎn)，返回此結(jié)點(diǎn)的值。

Assign(T, cur_e,value):給樹 T 的結(jié)點(diǎn) cur_e 賦值為 value。

Parent(T, cur_e):若 cur_e 是樹 T 的非根結(jié)點(diǎn)，則返回它的雙親，否則返回空。

LeftChild(T, cur_e):若 cur_e 是樹 T 的非葉結(jié)點(diǎn)，則返回它的最左孩子，否則返回空。

RightSibling(T, cur_e):若 cur_e 有右兄弟，則返回它的右兄弟，否則返回空。

InsertChild(*T, *p, i, c):其中 p 指向樹 T 的某個(gè)結(jié)點(diǎn)，i 為所指結(jié)點(diǎn) p 的度加上1，非空樹 c 與 T 不相交，操作結(jié)果為插入 c 為樹 T 中 p 指結(jié)點(diǎn)的第 i 棵子樹。

DeleteChild(*T, *p, i):其中 p 指向樹 T 的某個(gè)結(jié)點(diǎn)，i 為所指結(jié)點(diǎn) p 的度，操作結(jié)果為刪除 T 中 p 所指結(jié)點(diǎn)的第 i 棵子樹。

endADT

樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

雙親表示法

我們假設(shè)以一組連續(xù)空間存儲(chǔ)樹的結(jié)點(diǎn)，同時(shí)在每個(gè)結(jié)點(diǎn)中，附設(shè)一個(gè)指示器表示其雙親結(jié)點(diǎn)在數(shù)組中的位置。也就是說，每個(gè)結(jié)點(diǎn)除了知道自己是誰以外，還知道它的雙親在哪里。

以下是我們的雙親表示法的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)定義代碼。

/* 樹的雙親表示法結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)定義 */
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType; /* 樹結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)類型，目前暫定為整型 */
typedef struct PTNode /* 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) */
{
  TElemType data; /* 結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù) */
  int parent; /* 雙親位置 */
} PTNode;
typedef struct  /* 樹結(jié)構(gòu) */
{
  PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; /* 結(jié)點(diǎn)數(shù)組 */
  int r,n;  /* 根的位置和結(jié)點(diǎn)數(shù) */
} PTree

存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)是一個(gè)非常靈活的過程。一個(gè)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的是否合理，取決于基于該存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算是否合適、是否方便，時(shí)間復(fù)雜度好不好等。

孩子表示法

由于樹中每個(gè)結(jié)點(diǎn)可能有多棵子樹，可以考慮用多重鏈表，即每個(gè)結(jié)點(diǎn)有多個(gè)指針域，其中每個(gè)指針指向一棵子樹的根結(jié)點(diǎn)，我們把這種方法叫做多重鏈表表示法。

孩子表示法。把每個(gè)結(jié)點(diǎn)的孩子結(jié)點(diǎn)排列起來，以單鏈表作存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，則 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)有 n 個(gè)孩子鏈表，如果是葉子結(jié)點(diǎn)則此單鏈表為空。然后 n 個(gè)頭指針又組成一個(gè)線性表，采用順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，放進(jìn)一個(gè)一維數(shù)組中。

以下是我們的孩子表示法的結(jié)構(gòu)定義代碼。

/* 樹的孩子表示法結(jié)構(gòu)定義 */
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct CTNode /* 孩子結(jié)點(diǎn) */
{
  int child;
  struct CTNode *next;
} *ChildPtr;
typedef struct /* 表頭結(jié)構(gòu) */
{
  TElemType data;
  ChildPtr firstchild;
} CTBox;
typedef struct /* 樹結(jié)構(gòu) */
{
  CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; /* 結(jié)點(diǎn)數(shù)組 */
  int r,n; /* 根的位置和結(jié)點(diǎn)數(shù) */
} CTree;

孩子兄弟表示法

任意一棵樹，它的結(jié)點(diǎn)的第一個(gè)孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我們?cè)O(shè)置兩個(gè)指針，分別指向該結(jié)點(diǎn)的第一個(gè)孩子和此結(jié)點(diǎn)的右兄弟。

結(jié)構(gòu)定義代碼如下。

/* 樹的孩子兄弟表示法結(jié)構(gòu)定義 */
typedef struct CSNode
{
  TElemType data;
  struct CSNode *fistchild,*rightsib;
} CSNode, *CSTree;

二叉樹的定義

二叉樹（Binary Tree）是 n（n≥0）個(gè)結(jié)點(diǎn)的有限集合，該集合或者為空集（稱為空二叉樹），或者由一個(gè)根結(jié)點(diǎn)和兩棵互不相交的、分別稱為根結(jié)點(diǎn)的左子樹和右子樹的二叉樹組成。

二叉樹特點(diǎn)

二叉樹的特點(diǎn)有：

  • 每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多有兩棵子樹，所以二叉樹中不存在度大于 2 的結(jié)點(diǎn)。注意不是只有兩棵子樹，而是最多有。沒有子樹或者一棵子樹都是可以的。
  • 左子樹和右子樹是有順序的，次序不能任意顛倒。
  • 即使樹中某個(gè)結(jié)點(diǎn)只有一棵子樹，也要區(qū)分它是左子樹還是右子樹。

二叉樹具有五種基本形態(tài)：

  1. 空二叉樹。
  2. 只有一個(gè)根結(jié)點(diǎn)。
  3. 根結(jié)點(diǎn)只有左子樹。
  4. 根結(jié)點(diǎn)只有右子樹。
  5. 根結(jié)點(diǎn)既有左子樹又有右子樹。

特殊二叉樹

1. 斜樹

所有的結(jié)點(diǎn)都只有左子樹的二叉樹叫左斜樹。所有結(jié)點(diǎn)都是只有右子樹的二叉樹叫右斜樹。這兩者統(tǒng)稱為斜樹。

2. 滿二叉樹

在一棵二叉樹中，如果所有分支結(jié)點(diǎn)都存在左子樹和右子樹，并且所有葉子都在同一層，這樣的二叉樹稱為滿二叉樹。

滿二叉樹的特點(diǎn)有：

（1）葉子只能出現(xiàn)在最下一層。

（2）非葉子結(jié)點(diǎn)的度一定是 2。

（3）在同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)最多，葉子樹最多。

3. 完全二叉樹

對(duì)一棵具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹按層序編號(hào)，如果編號(hào)為 i（1≤i≤n）的結(jié)點(diǎn)與同樣深度的滿二叉樹中編號(hào)為 i 的結(jié)點(diǎn)在二叉樹中位置完全相同，則這棵二叉樹稱為完全二叉樹。

完全二叉樹的特點(diǎn)：

（1）葉子結(jié)點(diǎn)只能出現(xiàn)在最下兩層。

（2）最下層的葉子一定集中在左部連續(xù)位置。

（3）倒數(shù)二層，若有葉子結(jié)點(diǎn)，一定都在右部連續(xù)位置。

（4）如果結(jié)點(diǎn)度為1，則該結(jié)點(diǎn)只有左孩子，即不存在只有右子樹的情況。

（5）同樣結(jié)點(diǎn)的二叉樹，完全二叉樹的深度最小。

判斷某個(gè)二叉樹是否是完全二叉樹的辦法，就是看著樹的示意圖，心中默默給每個(gè)結(jié)點(diǎn)按照滿二叉樹的結(jié)構(gòu)逐層順序編號(hào)，如果編號(hào)出現(xiàn)空擋，就說明不是完全二叉樹，否則就是。

二叉樹的性質(zhì)

二叉樹的性質(zhì)1

性質(zhì)1：在二叉樹的第 i 層上至多有 2i-1 個(gè)結(jié)點(diǎn)（i≥1）。

二叉樹的性質(zhì)2

性質(zhì)2：深度為 k 的二叉樹至多有 2k-1 個(gè)結(jié)點(diǎn)（k≥1）。

二叉樹的性質(zhì)3

性質(zhì)3：對(duì)任何一棵二叉樹 T，如果其終端結(jié)點(diǎn)數(shù)為 n0，度為 2 的結(jié)點(diǎn)數(shù)為 n2，則 n0=n2+1。

二叉樹的性質(zhì)4

性質(zhì)4：具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的深度為 ?log2n?+1 ( ?x?表示不大于 x 的最大整數(shù))。

注：?? 向下取整運(yùn)算。

二叉樹的性質(zhì)5

性質(zhì)5：如果對(duì)于一棵有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹（其深度為 ?log2n?+1）的結(jié)點(diǎn)按層序編號(hào)（從第 1 層到第 ?log2n?+1 層），每層從左到右，對(duì)任一結(jié)點(diǎn) i （1≤i≤n）有：

  1. 如果 i = 1，則結(jié)點(diǎn) i 是二叉樹的根，無雙親；如果 i>1，則其雙親是結(jié)點(diǎn) ?i/2?。
  2. 如果 2i>n，則結(jié)點(diǎn) i 無左孩子（結(jié)點(diǎn) i 為葉子結(jié)點(diǎn)）；否則其左孩子是結(jié)點(diǎn) 2i。
  3. 如果 2i+1>n，則結(jié)點(diǎn) i 無右孩子；否則其右孩子是結(jié)點(diǎn) 2i+1。

二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

二叉樹順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)一般只用于完全二叉樹。

二叉鏈表

二叉樹每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多有兩個(gè)孩子，所以為它設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)據(jù)域和兩個(gè)指針域是比較自然的想法，我們稱這樣的鏈表叫做二叉鏈表。

以下是我們的二叉鏈表的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)定義代碼。

/* 二叉樹的二叉鏈表結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)定義 */
typedef struct BitNode /* 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) */
{
  TElemType data; /* 結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù) */
  struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指針 */
} BiTNode, *BiTree;

遍歷二叉樹

二叉樹遍歷原理

二叉樹的遍歷（traversing biary tree）是指從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)，按照某種次序依次訪問二叉樹中所有結(jié)點(diǎn)，使得每個(gè)結(jié)點(diǎn)被訪問一次且僅被訪問一次。

二叉樹遍歷方法

1. 前序遍歷

規(guī)則是若二叉樹為空，則空操作返回，否則先訪問根結(jié)點(diǎn)，然后前序遍歷左子樹，再前序遍歷右子樹。

2. 中序遍歷

規(guī)則是若樹為空，則空操作返回，否則從根結(jié)點(diǎn)開始（注意不是先訪問根結(jié)點(diǎn)），中序遍歷根結(jié)點(diǎn)的左子樹，然后是訪問根結(jié)點(diǎn)，最后中序遍歷右子樹。

3. 后序遍歷

規(guī)則是若樹為空，則空操作返回，否則從左到右先葉子后結(jié)點(diǎn)的方式遍歷訪問左右子樹，最后是訪問根結(jié)點(diǎn)。

4. 層序遍歷

規(guī)則是若樹為空，則空操作返回，否則從樹的第一層，也就是根結(jié)點(diǎn)開始訪問，從上而下逐層遍歷，在同一層中，按從左到右的順序?qū)Y(jié)點(diǎn)逐個(gè)訪問。

前序遍歷算法

/* 二叉樹的前序遍歷遞歸算法 */
void PreOrderTraverse (BiTree T)
{
  if (T==NULL)
    return;
  printf("%c",T->data); /* 顯示結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以更改為其他對(duì)結(jié)點(diǎn)操作 */
  PreOrderTraverse (T->lchild); /* 再先序遍歷左子樹 */
  PreOrderTraverse (T->rchild); /* 最后先序遍歷右子樹 */
}

中序遍歷算法

/* 二叉樹的中序遍歷遞歸算法 */
void InOrderTraverse (BiTree T)
{
  if (T==NULL)
    return;
  InOrderTraverse (T->lchild); /* 中序遍歷左子樹 */
  printf("%c",T->data); /* 顯示結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以更改為其他對(duì)結(jié)點(diǎn)操作 */
  InOrderTraverse (T->rchild); /* 最后中序遍歷右子樹 */
}

后序遍歷算法

/* 二叉樹的后序遍歷遞歸算法 */
void PostOrderTraverse (BiTree T)
{
  if (T==NULL)
    return;
  PostOrderTraverse (T->lchild); /* 先后序遍歷左子樹 */
  PostOrderTraverse (T->rchild); /* 再后序遍歷右子樹 */
  printf("%c",T->data); /* 顯示結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以更改為其他對(duì)結(jié)點(diǎn)操作 */
}

推導(dǎo)遍歷結(jié)果

  • 已知前序遍歷序列和中序遍歷序列，可以唯一確定一棵二叉樹。
  • 已知后序遍歷序列和中序遍歷序列，可以唯一確定一棵二叉樹。
  • 已知前序和后序遍歷，是不能唯一確定一棵二叉樹的。

二叉樹的建立

/* 按前序輸入二叉樹中結(jié)點(diǎn)的值（一個(gè)字符） */
/* #表示空樹，構(gòu)造二叉鏈表表示二叉樹 T。 */
void CreateBiTree (BiTree *T)
{
  TElemType ch;
  scanf("%c",&ch);
  if (ch=='#')
    *T=NULL;
  else
  {
    *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
    if (!*T)
      exit (OVERFLOW);
    (*T)->data=ch; /* 生成根結(jié)點(diǎn) */
    CreateBiTree(&(*T)->lchild); /* 構(gòu)造左子樹 */
    CreateBiTree(&(*T)->rchild); /* 構(gòu)造右子樹 */
  }
}

線索二叉樹

線索二叉樹原理

指向前驅(qū)和后繼的指針稱為線索，加上線索的二叉鏈表稱為線索鏈表，相應(yīng)的二叉樹就稱為線索二叉樹（Threaded Binary Tree）。

對(duì)二叉樹以某種次序遍歷使其變?yōu)榫€索二叉樹的過程叫做是線索化。

線索二叉樹結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)

/* 二叉樹的二叉線索存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)定義 */
typedef enum (Link, Thread) PointerTag; /* Link==0 表示指向左右孩子指針 Thread==1 表示指向前驅(qū)或后繼的線索 */
typedef struct BiThrNode /* 二叉線索存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu) */
{
  TElemType data; /* 結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù) */
  struct BiThrNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指針 */
  PointerTag LTag;
  PointerTag RTag; /* 左右標(biāo)志 */
} BiThrNode, *BiThrTree;

線索化的過程就是在遍歷的過程中修改空指針的過程。

如果所用的二叉樹需經(jīng)常遍歷或查找結(jié)點(diǎn)時(shí)需要某種遍歷序列中的前驅(qū)和后繼，那么采用線索二叉鏈表的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)就是非常不錯(cuò)的選擇。

樹、森林與二叉樹的轉(zhuǎn)換

樹轉(zhuǎn)換為二叉樹

將樹轉(zhuǎn)換為二叉樹的步驟如下

  1. 加線。在所有兄弟結(jié)點(diǎn)之間加一條連線。
  2. 去線。對(duì)樹中每個(gè)結(jié)點(diǎn)，只保留它與第一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)的連線，刪除它與其他孩子結(jié)點(diǎn)之間的連線。
  3. 層次調(diào)整。以樹的根結(jié)點(diǎn)為軸心，將整棵樹順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使之結(jié)構(gòu)層次分明。注意第一個(gè)孩子是二叉樹結(jié)點(diǎn)的左孩子，兄弟轉(zhuǎn)換過來的孩子是結(jié)點(diǎn)的右孩子。

森林轉(zhuǎn)換為二叉樹

步驟如下：

  1. 將每個(gè)樹轉(zhuǎn)換為二叉樹。
  2. 第一棵二叉樹不動(dòng)，從第二棵二叉樹開始，依次把后一棵二叉樹的根結(jié)點(diǎn)作為前一棵二叉樹的根結(jié)點(diǎn)的右孩子，用線連接起來。當(dāng)所有的二叉樹連接起來后就得到了由森林轉(zhuǎn)換來的二叉樹。

二叉樹轉(zhuǎn)換為樹

  1. 加線。
  2. 去線。
  3. 層次調(diào)整。

二叉樹轉(zhuǎn)換為森林

  1. 從根結(jié)點(diǎn)開始，若右孩子存在，則把右孩子結(jié)點(diǎn)的連線刪除，再查看分離后的二叉樹，若右孩子存在，則連線刪除……，直到所有右孩子連線都刪除為止，得到分離的二叉樹。
  2. 再將每棵分離的二叉樹轉(zhuǎn)換為樹即可。

樹與森林的遍歷

樹的遍歷分為兩種方式。

  1. 一種是先根遍歷樹，即先訪問樹的根結(jié)點(diǎn)，然后依次先根遍歷根的每棵子樹。
  2. 另一種是后根遍歷，即先依次后根遍歷每棵子樹，然后再訪問根結(jié)點(diǎn)。

森林的遍歷也分為兩種方式：

  1. 前序遍歷
  2. 后序遍歷

赫夫曼樹及其應(yīng)用

赫夫曼樹定義與原理

從樹中一個(gè)結(jié)點(diǎn)到另一個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的分支構(gòu)成兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的路徑，路徑上的分支數(shù)目稱做路徑長(zhǎng)度。

樹的路徑長(zhǎng)度就是從樹根到每一個(gè)結(jié)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度之和。

帶權(quán)路徑長(zhǎng)度 WPL 最小的二叉樹稱做赫夫曼樹。

赫夫曼編碼

一般地，設(shè)需要編碼的字符集為{d1,d2,…,dn}，各個(gè)字符在電文中出現(xiàn)的次數(shù)或頻率集合為 {w1,w2,…,wn}，以 d1,d2,…,dn 作為葉子結(jié)點(diǎn)，以 w1,w2,…,wn 作為相應(yīng)葉子結(jié)點(diǎn)的權(quán)值來構(gòu)造一棵赫夫曼樹。規(guī)定赫夫曼樹的左分支代表 0，右分支代表 1，則從根結(jié)點(diǎn)到葉子結(jié)點(diǎn)所經(jīng)過的路徑分支組成的 0 和 1 的序列便為該結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)字符的編碼，這就是赫夫曼編碼。

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