從簡單過程到伊藤積分

隨機(jī)積分的定義

隨機(jī)積分，類似于普通的黎曼積分，只不過是在積分中添加了一點(diǎn)隨機(jī)性（randomness）。我們希望使得如下的等式有意義：

\Large d X_{t}=m\left(t, X_{t}\right) d t+\sigma\left(t, X_{t}\right) d B_{t}\tag{1}

其中B_t是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，這是一個(gè)隨機(jī)微分方程（SDE）的例子。我們這樣來理解隨機(jī)過程X_t，在時(shí)刻t，它表現(xiàn)的像具有偏移m(t, X_t)和方差\sigma\left(t, X_{t}\right)^2的布朗運(yùn)動(dòng)。

We should read this equation as stating that at time t, X_t is evolving like a Brownian motion with drift m(t, X_t) and variance \sigma(t, X_t)^2.

在微積分中，是先定義導(dǎo)數(shù)再定義積分的。在隨機(jī)微積分，我們是先定義積分再定義微分的。我們說X_t是式(1)的解，如果：

\Large X_{t}=X_{0}+\int_{0}^{t} m\left(s, X_{s}\right) \mathrmu0z1t8os s+\int_{0}^{t} \sigma\left(s, X_{s}\right) \mathrmu0z1t8os B_{s}\tag{2}

包含\mathrmu0z1t8oss的那一項(xiàng)，可以用正常的微積分來定義。盡管m(t,X_t)是隨機(jī)的，但并不妨礙我們定義它。關(guān)鍵在于第二項(xiàng)，這個(gè)問題，歸結(jié)為我們?nèi)绾问沟茫?br> \Large Z_t=\int^t_0 A_s \;\mathrmu0z1t8os B_s \tag{3}

這個(gè)式子有意義！我們將Z_t視作在t時(shí)刻具有方差A_s^2的“布朗運(yùn)動(dòng)”。類似于離散隨機(jī)積分（一個(gè)鞅與可料過程的結(jié)合），A_t可以視作在t時(shí)刻的賭注，那么Z_t就是在t時(shí)刻的總資產(chǎn)。

布朗運(yùn)動(dòng)的軌道不是有界變差的，意味著我們沒有辦法用Riemann積分的方式來定義隨機(jī)積分。

實(shí)變函數(shù)中，定義勒貝格積分的時(shí)候，我們先對(duì)簡單函數(shù)定義勒貝格積分，再將一般函數(shù)的勒貝格積分定義為一列趨近于該函數(shù)的簡單函數(shù)的積分的極限。隨機(jī)積分也是一樣的，先定義什么是簡單隨機(jī)過程，再把一般隨機(jī)過程的隨機(jī)積分定義為一列逐漸逼近的簡單隨機(jī)過程積分的極限。

如果一個(gè)隨機(jī)過程在有限個(gè)時(shí)間段內(nèi)是“固定”著的隨機(jī)變量，也即：

\Large A_{t}=Y_{j}, \quad t_{j} \leq t<t_{j+1}, j=0, 1, ..., n\tag{4}

Y_j是一個(gè)隨機(jī)變量。我們就稱它為簡單過程（simple process）。繼而定義：

\Large Z_{t_{j}}=\sum_{i=0}^{j-1} Y_{i}\left[B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}}\right], \quad Z_{t}=Z_{t_{j}}+Y_{j}\left[B_{t}-B_{t_{j}}\right] \quad \text { if } \;\;\; t_{j} \leq t \leq t_{j+1}\tag{5}

正如我們所希望的，一個(gè)軌道連續(xù)的隨機(jī)過程可以用簡單過程來進(jìn)行（L^2）逼近：

設(shè)A_t是一個(gè)軌道連續(xù)的適應(yīng)過程，如果存在一個(gè)常數(shù)C < \infty，使得\forall t \geq 0, |A_t| \leq C，那么存在一列簡單隨機(jī)過程A_t^{(n)}，使得
\forall t \geq 0, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \mathbb{E}\left[\left|A_{s}-A_{s}^{(n)}\right|^{2}\right] d s=0同時(shí)，\forall n, t 都有A_t^{(n)}\leq C。

最后，一般地，對(duì)于有界的、軌道連續(xù)的適應(yīng)過程，定義它的積分：

\Large Z_{t}=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} A_{s}^{(n)} \mathrmu0z1t8os B_{s}\tag{6}, \quad A_s^{(n)} \to_{L^2}A_s

Z_t的存在性源于L^2空間的完備性。注意這里和勒貝格積分的區(qū)別，簡單函數(shù)列的收斂是幾乎處處而非L^2的。

我們還可以進(jìn)一步放寬A_t應(yīng)當(dāng)具有的條件。只要A_t的軌道是分段連續(xù)（只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)），哪怕A_t無界，仍然可以給出積分的定義。（在此從略）

這樣定義出的積分有如下性質(zhì)：

  • 線性：\small \int_{0}^{t}\left(a A_{s}+b C_{s}\right) d B_{s}=a \int_{0}^{t} A_{s} d B_{s}+b \int_{0}^{t} C_{s} d B_{s}

  • 區(qū)間可加性：\small \int_{0}^{t} A_{s} d B_{s}=\int_{0}^{r} A_{s} d B_{s}+\int_{r}^{t} A_{s} d B_{s}

  • 鞅性：過程Z_t是一個(gè)鞅，并且\small E[Z_t]=E[Z_0]=0

  • 方差：\small \operatorname{Var}\left[Z_{t}\right]=\mathbb{E}\left[Z_{t}^{2}\right]=\int_{0}^{t} \mathbb{E}\left[A_{s}^{2}\right] d s

  • 二次變差：Z_t具有二次變差\small \int^t_0 A_s^2 \;\mathrmu0z1t8os s

如果\small \int_0^t \mathbb{E}[A^2_s]\mathrmu0z1t8oss無界，那么此時(shí)Z_t是一個(gè)局部鞅（local martingale）

接下來，我們來看一下隨機(jī)積分與黎曼積分的不同。考慮積分\small Z_{t}=\int_{0}^{t} B_{s} \;\mathrmu0z1t8os B_{s}如果我們簡單應(yīng)用微積分基本定理，有：\small Z_{t}=\frac{1}{2}\left[B_{t}^{2}-B_{0}^{2}\right] =\frac{B_{t}^{2}}{2}但是E[Z_t]=0\neq E[\frac{B_t^2}{2}]=\frac{t}{2}，所以，微積分基本定理簡單應(yīng)用在伊藤意義下的隨機(jī)積分中并不成立。事實(shí)上，應(yīng)用下面所述的伊藤公式，我們知道Z_{t}=\frac{1}{2}\left[B_{t}^{2}-t\right]（注意到這個(gè)等式的右邊并不服從正態(tài)分布！）。

隨機(jī)積分的另一種形式：Stratonovich積分，是與微積分基本定理相容的。
關(guān)于Stratonovich積分，參見我寫的一篇知乎文章：Stratonovich 積分初探

伊藤公式

伊藤公式非常類似Taylor展開，當(dāng)然，它本身就是通過Taylor展開來推導(dǎo)的。伊藤公式告訴了我們?nèi)绾稳デ笠粋€(gè)復(fù)雜隨機(jī)過程的微分，如果我們能將一個(gè)隨機(jī)過程表示成式(1)一般的形式，就能更好地了解這個(gè)隨機(jī)過程的性質(zhì)。

下面我們從簡單形式的伊藤公式一步步走向完整形式的伊藤公式：

先考慮布朗運(yùn)動(dòng)的函數(shù)。設(shè)f是一個(gè)光滑函數(shù)，那么：
\small d f\left(B_{t}\right)=f^{\prime}\left(B_{t}\right) d B_{t}+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(B_{t}\right) d t因?yàn)椋?strong>布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差不為0，所以上面的公式，與我們熟悉的f(t)=f(0)+\int_{0}^{t} f^{\prime}(s) \mathrmu0z1t8os s還是有所不同的。

接下來我們通過Taylor公式推導(dǎo)。不失一般性，我們只考慮t=1，把f(B_1)-f(B_0)寫成 telescoping 的形式：
\Large f\left(B_{1}\right)-f\left(B_{0}\right)=\sum_{j=1}^{n} \left[f\left(B_{j / n}\right)-f\left(B_{(j-1) / n}\right)\right] \tag{7}

再利用Taylor公式：

\Large \begin{array}{l} f\left(B_{j / n}\right)-f\left(B_{(j-1) / n}\right) =f^{\prime}\left(B_{(j-1) / n}\right) \Delta_{j, n}+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(B_{(j-1) / n}\right) \Delta_{j, n}^{2}+o\left(\Delta_{j, n}^{2}\right) \\ \text{where }\quad\Delta_{j, n}=B_{j / n}-B_{(j-1) / n} \end{array} \tag{8}

于是，我們可以把f(B_1)-f(B_0)寫成三項(xiàng)的和：

\large \begin{array}{l} \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{n} f^{\prime}\left(B_{(j-1) / n}\right)\left[B_{j / n}-B_{(j-1) / n}\right] \\ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} f^{\prime \prime}\left(B_{(j-1) / n}\right)\left[B_{j / n}-B_{(j-1) / n}\right]^{2} \\ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{n} o\left(\left[B_{j / n}-B_{(j-1) / n}\right]^{2}\right) \end{array}\tag{9}

第一項(xiàng)，就是\int_{0}^{1} f^{\prime}\left(B_{t}\right) d B_{t}，第二項(xiàng)，就是\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f^{\prime \prime}\left (B_{t}\right) d t（要用到二次變差！即(dB_t)^2=dt），第三項(xiàng)，可以說明它是一個(gè)無窮小量。

至此，我們簡略說明了伊藤公式的證明。

例：

  • 令f(x)=x^2，就得到了\int_{0}^{t} B_{s} \;\mathrmu0z1t8os B_{s}=\frac{1}{2}\left[B_{t}^{2}-t\right]

  • 令f(x)=e^{\sigma x}, \sigma >0, X_t=f(B_t)=e^{\sigma B_t}，根據(jù)伊藤公式，我們有：\Large d X_{t}=f^{\prime}\left(B_{t}\right) d B_{t}+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(B_{t}\right) d t=\sigma X_{t} d B_{t}+\frac{\sigma^{2}}{2} X_{t} d t \tag{10}

這個(gè)X_t叫做幾何布朗運(yùn)動(dòng)（geometric Brownian motion），它具有非常重要的應(yīng)用價(jià)值。

上面的公式中f僅是B_t的函數(shù)，如果f還是時(shí)間t的函數(shù)，那么就有：
d f\left(t, B_{t}\right)=\partial_{x} f\left(t, B_{t}\right) d B_{t}+\left[\partial_{t} f\left(t, B_{t}\right)+\frac{1}{2} \partial_{x x} f\left(t, B_{t}\right)\right] d t這里類似于二元函數(shù)的Taylor展開：

\large f(t+\Delta t, x+\Delta x)-f(t, x)=\\ \large \partial_{t} f(t, x) \Delta t+o(\Delta t)+\partial_{x} f(t, x) \Delta x+\frac{1}{2} \partial_{x x} f(t, x)(\Delta x)^{2}+o\left((\Delta x)^{2}\right) \tag{11}

例：

  • 令f(t, x)=e^{at+bx}，X_t=f(t,B_t)=e^{at+bB_t}，從而：\large\begin{aligned} d X_{t} & =\left[\partial_{t} f\left(t, B_{t}\right)+\frac{1}{2} \partial_{x x} f\left(t, B_{t}\right)\right] d t+\partial_{x} f\left(t, B_{t}\right) d B_{t} \\ & =\left(a+\frac{b^{2}}{2}\right) X_{t} d t+b X_{t} d B_{t} \end{aligned} \tag{12}

類似于微積分，我們引入隨機(jī)分析中的記號(hào)：

\left(d B_{t}\right)^{2}=d t, \quad\left(d B_{t}\right)(d t)=0, \quad(d t)^{2}=0

接下來我們將伊藤公式再做推廣，并得到伊藤公式的最終形式。
如果f是t和隨機(jī)過程X_t的函數(shù)。假設(shè)X_t滿足：d X_{t}=R_{t} d t+A_{t} d B_{t}用\langle X \rangle_t表示X_t的二次變差，那么：d\langle X\rangle_{t}=A_{t}^{2} d t。利用上面的記號(hào)：

\small \begin{aligned} \left(d X_{t}\right)^{2} &=\left(R_{t} d t+A_{t} d B_{t}\right)^{2} \\ &=R_{t}^{2}(d t)^{2}+2 R_{t} A_{t}(d t)\left(d B_{t}\right)+A_{t}^{2}\left(d B_{t}\right)^{2}=A_{t}^{2} d t \end{aligned}

于是，在(13)式的基礎(chǔ)上，f(t,x)對(duì)t連續(xù)可微，對(duì)x二階連續(xù)可微，那么：

\begin{aligned} d f\left(t, X_{t}\right)&=\partial_{t} f\left(t, X_{t}\right) d t+\partial_{x} f\left(t, X_{t}\right) d X_{t}+\frac{1}{2} \partial_{x x} f\left(t, X_{t}\right) d\langle X\rangle_{t} \\& =\left[\partial_{t} f\left(t, X_{t}\right)+R_{t} \partial_{x} f\left(t, X_{t}\right)+\frac{A_{t}^{2}}{2} \partial_{x x} f\left(t, X_{t}\right)\right] d t +A_{t} \partial_{x} f\left(t, X_{t}\right) d B_{t} \end{aligned}

這就是伊藤公式的最終版本。

例：

  • 令 Y_t=t/B_t^2, T=\inf\{t: B_t=0\}，對(duì)t<T，成立：

dY_t=\left[B_{t}^{-2}+3 t B_{t}^{-4}\right] d t-2 t B_{t}^{-3} d B_{t}

協(xié)變差與乘積法則

假設(shè)：d X_{t}=H_{t} d t+A_{t} d B_{t}, \quad d Y_{t}=K_{t} d t+C_{t} d B_{t}

定義X_t, Y_t的協(xié)變差：
\langle X, Y\rangle_{t}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{j \leq t n}\left[X\left(\frac{j}{n}\right)-X\left(\frac{j-1}{n}\right)\right]\left[Y\left(\frac{j}{n}\right)-Y\left(\frac{j-1}{n}\right)\right]

應(yīng)用之前的理論：
\begin{aligned} \left[d X_{t}\right]\left[d Y_{t}\right] &=\left[H_{t} d t+A_{t} d B_{t}\right]\left[K_{t} d t+C_{t} d B_{t}\right] \\ &=A_{t} C_{t} d t+O\left((d t)^{2}\right)+O\left((d t)\left(d B_{t}\right)\right) \end{aligned}

我們有：
\langle X, Y\rangle_{t}=\int_{0}^{t} A_{s} C_{s} d s\quad ;\;d\langle X, Y\rangle_{t}=A_{t} C_{t} d t

一般的，在微積分中，d(fg)=(d f) g+(d g) f+(d f)(d g)，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=d(f)d(g)" alt="d(f)d(g)" mathimg="1">是二階小量，所以在微積分可以被省略，但是隨機(jī)微積分中，卻必須要考慮這一項(xiàng)。

d\left(X_{t} Y_{t}\right)=X_{t} d Y_{t}+Y_{t} d X_{t}+\left(d X_{t}\right)\left(d Y_{t}\right)

于是有了乘積法則：d\left(X_{t} Y_{t}\right)=X_{t} d Y_{t}+Y_{t} d X_{t}+d\langle X, Y\rangle_{t}通過乘積法則還可以推導(dǎo)除法法則。

  • 假設(shè)d X_{t}=m X_{t} d t+\sigma X_{t} d B_{t}，那么計(jì)算可得：\begin{aligned} d\left(B_{t} X_{t}\right) &=B_{t} d X_{t}+X_{t} d B_{t}+d\langle B, X\rangle_{t} \\ &=B_{t}\left[m X_{t} d t+\sigma X_{t} d B_{t}\right]+X_{t} d B_{t}+\sigma X_{t} d t \\ &=X_{t}\left[\left(m B_{t}+\sigma\right) d t+\left(\sigma B_{t}+1\right) d B_{t}\right] \end{aligned}

初等函數(shù)的伊藤公式

微分：

  • d X^{n}=n X^{n-1} d X+\frac{n(n-1)}{2} X^{n-2} d X^{2}
  • d e^{X}=e^{X} d X+\frac{1}{2} e^{X} d X^{2}
  • d \ln X=\frac{1}{X} d X-\frac{1}{2} \frac{1}{X^{2}} d X^{2}
  • d \cos X=-\sin X d X-\frac{1}{2} \cos X d X^{2}
  • d \sin X=\cos X d X-\frac{1}{2} \sin X d X^{2}

積分：

  • \int_{0}^{t} B_{u}^{n} d B_{u}= \frac{B_{t}^{n+1}}{n+1}-\frac{n}{2} \int_{0}^{t} B_{u}^{n-1} d B_{u}^{2}
  • \int_{0}^{t} e^{B_{v}} d B_{u}=e^{B_{t}}-1-\frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{B_{v}} d u
  • \int_{0}^{t} \cos B_{u} d B_{u}= \sin B_{t}+\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \sin B_{u} d u
  • \int_{0}^{t} \sin B_{u} d B_{u}= -\cos B_{t}+1-\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \cos B_{u} d u

四則運(yùn)算：

  • d(X \pm Y)=d X \pm d Y
  • d(X Y)=Y d X+X d Y+d X d Y
  • d\left(\frac{X}{Y}\right)=\frac{1}{Y} d X-\frac{X}{Y^{2}} d Y+\frac{X}{Y^{3}} d Y^{2}-\frac{1}{Y^{2}} d X d Y

總結(jié)：本文從定義隨機(jī)微積分的motivation講起，介紹了隨機(jī)微積分的定義方式、伊藤積分與一般黎曼積分的差異、伊藤公式的推導(dǎo)。正如學(xué)習(xí)微積分不需要懂實(shí)分析，學(xué)習(xí)隨機(jī)微積分并不需要很深入的隨機(jī)分析的知識(shí)，但還是必須熟記隨機(jī)微積分的各類記號(hào)。

最后編輯于 ：
?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者
【社區(qū)內(nèi)容提示】社區(qū)部分內(nèi)容疑似由AI輔助生成，瀏覽時(shí)請(qǐng)結(jié)合常識(shí)與多方信息審慎甄別。
平臺(tái)聲明：文章內(nèi)容（如有圖片或視頻亦包括在內(nèi)）由作者上傳并發(fā)布，文章內(nèi)容僅代表作者本人觀點(diǎn)，簡書系信息發(fā)布平臺(tái)，僅提供信息存儲(chǔ)服務(wù)。
禁止轉(zhuǎn)載，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)通過簡信或評(píng)論聯(lián)系作者。

友情鏈接更多精彩內(nèi)容