2021年全國新高考（Ⅱ）數(shù)學(xué)卷

\begin{align} &一、單項(xiàng)選擇： (本是共 8 小題, 每小題 5 分, 共 40 分 。 在 每 小 是 給 出 的 四 個 選 項(xiàng) 中 , 只 有 一 個 項(xiàng) 是 符 合 題 目要求。\\ &1. (5 分) 復(fù)數(shù) \frac{2-i}{1-3 i} 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所在的象限為 (\quad ) \\ &A. 第一象限 \qquad B. 第二象限 \qquad C. 第三象限 \qquad D. 第四象限 \end{align}

\begin{align} &2. (5 分) 若全集 U = \{1,2,3,4,5,6\} , 集合 A = \{1,3,6\}, B = \{2,3,4\} , 則 A \cap C_{\cup} B = (\quad) \\ &A. \{3\} \qquad B. \{1,6\} \qquad C. \{5,6\} \qquad D. \{1,3\} \\ \end{align}

\begin{align} &3. (5 分) 若拋物線 y^{2} = 2 p x(p>0) 的焦點(diǎn)到直線 y = x+1 的距離為 \sqrt{2} , 則 p = () \\ &A. 1 \qquad B. 2 \qquad C. 2 \sqrt{2} \qquad D. 4 \\ \end{align}

\begin{align} &4. (5 分) 北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果. 在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中, 地球靜止同步軌道\\& 衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面, 軌道高度為 36000 \mathrm{~km} (軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離). 將地\\& 球看作是一個球心為 O , 半徑 r 為 6400 \mathrm{~km} 的球, 其上點(diǎn) A 的緯度是指 O A 與赤道平面所成角的度數(shù). 地\\& 球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為 \alpha , 該衛(wèi)星信號覆蓋\\&地球表面的表 面積 S = 2 \pi r^{2}(1-\cos \alpha) (單位: \left.\mathrm{km}^{2}\right) , 則 S 占地球表面積的百分比約為 ( \quad )\end{align}
A. 26 \% \qquad B. 34 \% \qquad C. 42 \% \qquad D. 50 \%

\begin{align} &5. (5 分) 正四棱臺的上、下底面的邊長分別為 2,4 , 側(cè)棱長為 2 , 則其體積為（） \\ &A. 20+12 \sqrt{3} \qquad B. 28 \sqrt{2} \qquad C. \frac{56}{3} \qquad D. \frac{28 \sqrt{2}}{3} \\ \end{align}

\begin{align} &6.（5分) 某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布 N\left(10, \sigma^{2}\right) , 則下列結(jié)論中不正確的是（） \\ &A. \sigma 越小, 該物理量在一次測量中落在 (9.9,10.1) 內(nèi)的概率越大 \\ &B. 該物理量在一次測量中大于 10 的概率為 0.5 \\ &C. 該物理量在一次測量中小于為 9.99 與大于 10.01 的概率相等 \\ &D. 該物理量在一次測量中結(jié)果落在 (9.9,10.2) 與落在 (10,10.3) 的概率相等 \\ \end{align}

\begin{align} &7. (5 分) 已知 a = \log _{5} 2, b = \log _{8} 3, c = \frac{1}{2} , 則下列判斷正確的是 ( ) \\ &A. c<b<a \qquad B. b<a<c \qquad C. a<c<b \qquad D. a<b<c \end{align}

\begin{align} &8. (5分) 已知函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)?\mathbf{R}, f(x+2) 為偶函數(shù), f(2 x+1) 為奇函數(shù), 則(\quad) \\ &A. f\left(-\frac{1}{2}\right) = 0 \qquad B. f(-1) = 0 \qquad C. f(2) = 0 \qquad D. f(4) = 0 \\ \end{align}

二、多項(xiàng)選擇題： (本是共 4 小題, 每小題 5 分, 共 20 分 。 在每小是給出的四個選項(xiàng) 中 , 有多個項(xiàng)是符合題目要求。全對得5分。選對但不全得2分。有錯誤答案得0分。)

\begin{align} &9. (5 分) 下列統(tǒng)計(jì)量中, 能度量樣本 x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} 的離散程度的有 ( ) \\ &A. 樣本 x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} 的標(biāo)準(zhǔn)差 \\ &B. 樣本 x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} 的中位數(shù) \\ &C. 樣本 x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} 的極差 \\ &D. 樣本 x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} 的平均數(shù) \\ \end{align}

\begin{align} &10. (5 分) 如圖, 下列正方體中, O 為底面的中心, P 為所在棱的中點(diǎn), \\ & M, N 為正方體的頂點(diǎn), 則滿足M N \perp O P 的是(\quad) \end{align}

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\begin{align} 11. &(5 分) 已知直線 l: a x+b y-r^{2} = 0 與圓 C: x^{2}+y^{2} = r^{2} , 點(diǎn) A(a, b) \\& , 則下列說法正確的是 (\quad ) \end{align}
A. 若點(diǎn) A 在圓 C 上, 則直線 l 與圓 C 相切
B. 若點(diǎn) A 在圓 C 內(nèi), 則直線 l 與圓 C 相離
C. 若點(diǎn) A 在圓 C 外, 則直線 l 與圓 C 相離
D. 若點(diǎn) A 在直線 l 上, 則直線 l 與圓 C 相切

\begin{align}12. &(5 分) 設(shè)正整數(shù) n=a_{0} \cdot 2^{0}+a_{1} \cdot 2^{1}+\cdots+a_{k-1} \cdot 2^{k-1}+a_{k} \cdot 2^{k} , \\&其中 a_{i} \in\{0,1\} , 記 \omega(n)=a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{k} , 則 ( )\end{align}
\begin{align} &A. \omega(2 n)=\omega(n) \\ &B. \omega(2 n+3)=\omega(n)+1 \\ &C. \omega(8 n+5)=\omega(4 n+3) \\ &D. \omega\left(2^{n}-1\right)=n \end{align}

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13. (5分) 已知雙曲線 \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) 的離心率 e=2 , 則該雙曲線的漸近線方程為 ______________________。

14. (5 分) 寫出一個同時具有下列性質(zhì)(1) (2) (3) 的函數(shù) f(x) : ____________________。
(1) f\left(x_{1} x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right) ; (2) 當(dāng) x \in(0,+\infty) 時, f^{\prime} (x)>0 ; (3) f^{\prime} (x) 是奇函數(shù).

15. (5 分) 已知向量 \vec{a}+\vec+\vec{c}=\overrightarrow{0},|\vec{a}|=1,|\vec|=|\vec{c}|=2 , 則 \vec{a} \cdot \vec+\vec \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}= ___________________________________________。

\begin{align}&16. (5 分) 已知函數(shù) f(x)=\left|e^{x}-1\right|, x_{1}<0, x_{2}>0 , 函數(shù) f(x) 的圖象在點(diǎn)\\ &A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right) 和點(diǎn) B\left(x_{2}\right. , \left.f\left(x_{2}\right)\right) 的兩條切線互相垂直 , 且分別交 y 軸于 M, N 兩點(diǎn), \\&則 \frac{|\mathrm{AM}|}{|\mathrm{BN}|} 的取值范圍是\end{align}___________________________。

四、解答題(本題共6小題,共90分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。把答案填在答題卡上)
17.(10分)記 S_ {n} 是公差不為0的等差數(shù)列{ a_ {n} }的前n項(xiàng)和,若 a_ {3} = S_ {5} , a_ {2} a_ {4} = S_ {4} .
(1)求數(shù)列{ a_ {n} }的通項(xiàng)公式 a_ {n} ；
(2)求使 S_ {n} > a_ {n} 成立的n的最小值.

18. (12 分) 在 \triangle A B C 中, 角 A, B, C 所對的邊長為 a, b, c, b=a+1, c=a+2 .
(1) 若 2 \sin C=3 \sin A , 求 \triangle A B C 的面積;
(2) 是否存在正整數(shù) a , 使得 \triangle A B C 為鈍角三角形? 若存在, 求出 a 的值; 若不存在, 說明理由.

19. (12 分) 在四棱雉 Q-A B C D 中, 底面 A B C D 是正方形, 若 A D=2, Q D=Q A=\sqrt{5}, Q C=3 .
(I) 求證：平面 Q A D \perp 平面 A B C D ;
(II) 求二面角 B-Q D-A 的平面角的余弦值. a

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\begin{align}20. (12 分) 已知橢圓 C 的方程為 \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(a>b>0) , 右焦點(diǎn)為 F(\sqrt{2}, 0) , 且離心率為 \frac{\sqrt{6}}{3} .\end{align}
(I) 求橢圓 C 的方程;
\begin{align}(II) &設(shè) M, N 是橢圓 C 上的兩點(diǎn), 直線 M N 與曲線 x^{2}+y^{2}=b^{2}(x>0) 相切. \\& 證明: M, N, F 三點(diǎn)共 線的充要條件是 \mid M N=\sqrt{3} .\end{align}

\begin{align} 21. &(12分) 一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來, 設(shè)一個這種微生物為第 0 代, 經(jīng)過一次繁殖\\ & 后為第 1 代, 再經(jīng)過一次繁殖后為第 2 代, \cdots \cdots , 該微生物每代?殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的\\ &分 布列, 設(shè) X 表示 1 個微生物個體鯀殖下一代的個數(shù), P(X = i) = p_{i}(i = 0,1,2,3) . \end{align}
(1) 已知 p_{0} = 0.4, p_{1} = 0.3, p_{2} = 0.2, p_{3} = 0.1 , 求 E(X) ;
\begin{align}(2 ) &設(shè) p 表示該種微生物經(jīng)過多代敏殖后臨近滅絕的概率, \\& p 是關(guān)于 x 的方程: p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+p_{3} x^{3} = x \\& 的一個最小正實(shí)根,求證:當(dāng)E(X)?1時,p=1,當(dāng)E(X)>1時,p<1; \end{align}
\left(3\right)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=(x-1) e^ {x} - ax^ {2} +b.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)從下面兩個條件中選一個,證明:f(x)恰有一個零點(diǎn).
①\quad \dfrac{1}{2} <a\leq \dfrac{e^{2}}{2},b >2a; \qquad ②\quad 0 <a <\dfrac{1}{2},b\leq 2a.

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