中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

微分中值定理

羅爾定理

以法國(guó)數(shù)學(xué)家米歇爾·羅爾命名的羅爾中值定理（英語(yǔ)：Rolle's theorem）是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，敘述如下：

如果函數(shù)f(x)滿足：

（1）、在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù)（沒有斷點(diǎn)）

（2）、在開區(qū)間[a, b]上可導(dǎo)（光滑的）

（3）、f(a) = f(b)

則\exists\xi\in (a, b)，使得f’(\xi ) = 0（也就是說平行于X軸）

注意

若是有給出了f’(x) = 0可以優(yōu)先考慮一下，用羅爾定理

證明題解法

步驟:

? ? ? ? （1）、構(gòu)造函數(shù)f(x)

? ? ? ? （2）、驗(yàn)證3個(gè)條件

? ? ? ? （3）、由羅爾定理可知，\exists\xi\in (a, b)，使得f’(\xi ) = 0? ? ? ? ?


例題一

思路：若是細(xì)膩一點(diǎn)，就可以看出下面那條是上面那條方程的的導(dǎo)數(shù)函數(shù)，即是：f’(x) = 0。所以，最終也是讓你證明是羅爾定理，最終得出結(jié)論從而證明出這題。

例題二

思路：我們可以看到，這個(gè)f’(x)又是連續(xù)又是可導(dǎo)，可以猜出這可能又是與羅爾定理有關(guān)的。但是呢這里的f’(x) = \frac{1}{x} ，又不符合的樣子？別急，我可以把式子變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=F%E2%80%99(x)%20%20%3D%20f%E2%80%99(x)%20%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%3D%200%20" alt="F’(x) = f’(x) - \frac{1}{x} = 0 " mathimg="1">.這樣的話又符合了。最后按照一步步證明得，這是一個(gè)羅爾定理，最后證明得結(jié)果?



拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，也簡(jiǎn)稱均值定理，是以法國(guó)數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日命名，為羅爾中值定理的推廣，同時(shí)也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。

如果{\displaystyle f(x)}滿足：

1、在{\displaystyle [a,b]}上連續(xù);

2、在{\displaystyle (a,b)}內(nèi)可微分（可導(dǎo)）；0

那么至少有一點(diǎn) {\displaystyle \xi ,\;a<\xi} < b?使下面等式成立

{\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)}即是 K_{切} = {f^{\prime }(\xi )} = \frac{\displaystyle f(b)-f(a)}{(b-a)}


圖像


證明題解法

步驟：

? ? ? ? 構(gòu)造函數(shù)f(x)

? ? ? ? 驗(yàn)證2個(gè)條件

????????由拉爾定理可知，下結(jié)論，對(duì)結(jié)論式子變形

例題1

解法：我第一次看這種題型的時(shí)候也是一臉的懵逼的，不知如何下手。但是在仔細(xì)觀察的話，可以發(fā)現(xiàn)，只要把\ln \frac{m}{n} ,可以變形一下，然后再再把不不等式左右兩邊改變一下。最后就可以看出是一個(gè)拉格朗日中值定理函數(shù)，最后在進(jìn)行運(yùn)算 ，得出結(jié)果。


例題2

思路：下看到這種題型，一定要瞬間明白這是要讓你證明拉格朗日。按上一題的思路是一樣的。

放出步驟：

? ??????????????????構(gòu)造函數(shù)f(x)

? ??????????????????驗(yàn)證2個(gè)條件

? ? ? ??? ??????????由拉爾定理可知，下結(jié)論，對(duì)結(jié)論式子變形

證明：

令f(x) = x^n

顯然可以看出f(x)在區(qū)間?[b, a]? 上連續(xù)， 在開區(qū)間(b, a)可導(dǎo)。所以這是一個(gè)符合拉格朗日的函數(shù)。

由拉格朗日定理可知，\exists \xi \epsilon (b, a)使得f’(x) = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}

(現(xiàn)在從左邊范圍推出右邊范圍)

所以nb ^{n-1} < n\xi ^{n-1} < na ^{n-1}

所以nb ^{n-1} < \frac{a^n - b^n}{a -b} < na ^{n-1}

所以?nb ^{n-1}(a - b) < a^n - b^n < na ^{n-1} (a - b)

例題3

思路：一看這題目，可以很明顯的看出可能又是要拉格朗定理有關(guān)，只要我們變變形就可以了。這邊不掩飾。

零點(diǎn)定理

????????設(shè)函數(shù)f(x)閉區(qū)間[a, b]內(nèi)連續(xù)，且f(a)*f(b) < 0,則存在區(qū)間(a, b)至少存在一點(diǎn)，使得:f(0) = 0



函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

1、單調(diào)性

(1）判定方法：

? ??????f’(x) > 0,則f(x)\uparrow

? ? ? ?f’(x) < 0,則f(x)\downarrow

（2）討論單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)的步驟

? ? ? ? ? ?①、求定義域

? ? ? ? ? ?②、求出f’(x) = 0?和?f’(x)不存在的點(diǎn)，講定義域劃分若干個(gè)子區(qū)間

? ? ? ? ? ?③、列表，根據(jù)f’(x)在子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，確定單調(diào)性。

2. 極值

（1）極值的定義

f’(x) < f(x_{0} )，則x = x_{0} 為極大值點(diǎn)，f(x_{0} )為極大值

f(x) > f(x_{0})，則x = x_{0}為極小值點(diǎn)，f(x_{0})為極小值


（2）極值的判定

? ??????????①、第一判定定理

? ??????????????????x < x_{0}時(shí)， f’(x) > 0; x > x_{0}時(shí)，f’(x) </p><p>? ??????????????????<img class=

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?注：極值點(diǎn)是單調(diào)性的分界點(diǎn)，左右兩側(cè)f’(x)必然是異號(hào)?

? ??????????②、第二判定定理

? ??????????????f’(x) = 0時(shí)

? ??????????????????????????f’’(x) > 0時(shí)，則x = x_{0}為極小值點(diǎn)

? ??????????????????????????f’’(x) < 0時(shí)，則x = x_{0}為極大值點(diǎn)


（3）駐點(diǎn)

若是f’(x_{0}) = 0，則x = x_{0}為f(x)的駐點(diǎn)

? ??????注意：駐點(diǎn)\neq 極值點(diǎn)(沒有任何關(guān)系)

若是x= x_{0}為f(x)的極值點(diǎn)，則f’(x_{0}) = 0或f’(x_{0})不存在



（5）求極值點(diǎn)和極值的步驟：

? ??????????①、確定f(x)定義域

? ??????????②、求導(dǎo)f’(x),并求出f’(x)= 0和f’(x)不存在的點(diǎn)

? ? ? ? ? ? ??③、列表

例子1

求函數(shù)f(x) = \log_4 {(4^x + 1)-\frac{1}{2}x - \log_42 } 的單調(diào)區(qū)間和極值

解法：一般這種情況，都是都可以按照步驟來這樣很簡(jiǎn)單都是可以求出來的，至于簡(jiǎn)單的運(yùn)算，就不展開講了。

3. 最值

步驟：

? ? ? ? ①、求出所以f’(x) = 0和f’(x)不存在的點(diǎn)

????????②、求出①中所有點(diǎn)的函數(shù)值和端點(diǎn)處的函數(shù)值

? ? ? ? ③、最大值 = max[極值， 端點(diǎn)值]；最小值 = min[極值， 端點(diǎn)值]



函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)


凹凸性

? ? 1、凹曲線：曲線上的任意點(diǎn)處的切線總位于曲線的下方

? ? 2、凸曲線：曲線上的任意點(diǎn)處的切線總位于曲線的上方


凹凸性的判定

f’’(x) > 0，凹

f’’(x) < 0，凸


拐點(diǎn)

1、凹凸性的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)，記作(x_{0}, y_{0})?。拐點(diǎn)左右兩側(cè)f’’(x)必然異號(hào).

2、若點(diǎn)(x_{0}, y_{0})是曲線y = f(x)的拐點(diǎn)，則f’’(x_{0}) = 0 或者f’’(x_{0}) 不存在



凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的求解步驟：

（1）、求出定義域

（2）、求出f’’(x_{0}) = 0 或者f’’(x_{0}) 不存在的點(diǎn)?

（3）、列表，由f’’(x)符號(hào)得出凹凸區(qū)間，凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)即為拐點(diǎn)


例子

思路：我們把它進(jìn)行二次導(dǎo)以及找出定義域，最后令得出來的二階導(dǎo)函數(shù)小于0，得出取值范圍，再根據(jù)定義域得出最后的凸區(qū)間



漸近線


水平漸近線

若\lim_{x\to∞} f(x) = C ?則稱y = C是y = f(x)的一條水平漸近線。

函數(shù)趨近于無(wú)窮大時(shí)，是否是常數(shù)


垂直漸近線

若\lim_{x\to0} f(x) = ∞，則稱x = x_{0}是y = f(x)的一條垂直漸近線



利用單調(diào)性證明不等式和根的存在性

一、不等式的證明步驟：

（1）、構(gòu)造函數(shù)f(x)

（2）、求導(dǎo)判斷單調(diào)性

（3）、大于最低點(diǎn)，小于最高點(diǎn)


例子1

思路：按我們大標(biāo)題來說，我們應(yīng)該用單調(diào)性來證明不等式根的存在性。這里我們首先構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)，然后再求導(dǎo)得出他們的單調(diào)性最后在證明例子成立

令f(x) = x - e^x + 1

所以有f’(x) = 1 - e^x

因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=x%20%20%3E%200" alt="x > 0" mathimg="1">

所以e^x > 1

所以f’(x) < 0

所以f(x) 在(0, +∞)是遞減的

又因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=f(0)%20%3D%200" alt="f(0) = 0" mathimg="1">

所以f(x) < f(0) = 0

所以x - e^x - 1 < 0

所以x < e^x -1


二、唯一根的證明步驟

（1）、利用零點(diǎn)或羅爾定理證明至少有一個(gè)根

（2）、求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，得唯一根



例題1


思路：我們先用羅爾定理或者零點(diǎn)定理證明至少有一個(gè)跟，然后在求導(dǎo)，得出單調(diào)性以及無(wú)不存在點(diǎn)得唯一根。



例題2?

已知函數(shù)f(x) = arc\tan \frac{1}{x} ，試問方程f(x) = x在區(qū)間（0， +∞）有多少個(gè)實(shí)根


思路：這一個(gè)題目有點(diǎn)意思啊，我們可以按步驟一步步來，但是我們用零點(diǎn)定理來證明只至少有一個(gè)根時(shí)，考慮到定義域時(shí)(0, +∞)，不是閉區(qū)間，所以要用\lim_{x\to0} x；\lim_{x\to∞} x來代替f(0), f(∞)


恒等式的證明

步驟：

（1）、構(gòu)造函數(shù)f(x)

（2）、求導(dǎo)驗(yàn)證f’(x) = 0

（3）、f(x) = f(x_{0}) = C

例題



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