量子力學7：概率把不可能變成可能

有的人說數(shù)學是物理學家的工具，是描寫大自然的語言，這么說還不足以體現(xiàn)數(shù)學的厲害。你越了解物理，就越覺得數(shù)學不僅僅是大自然的語言，而且是大自然的法則。

如果數(shù)學禁止一件事發(fā)生，這件事就絕對不會發(fā)生。那如果數(shù)學允許一件事發(fā)生，這件事會發(fā)生嗎？從邏輯上來說它應(yīng)該可能發(fā)生也可能不發(fā)生。但是如果你相信一種更強硬的哲學，你也許可以說，只要數(shù)學允許一件事發(fā)生，這件事就一定會發(fā)生。

薛定諤方程可以完美地解釋氫原子的能級，但是好的理論必須不但解釋一些已知的現(xiàn)象，還要能預(yù)言未知的現(xiàn)象。最厲害的物理理論甚至會預(yù)言一些你絕對想不到的東西。你覺得那有點太離奇了，你不敢相信，但是你一去驗證，發(fā)現(xiàn)居然是真的。

做一件所有嚴肅學習量子力學的人，在學了薛定諤方程之后，都必須做的事情。那就是用這個方程來求幾個簡單的解。

把問題簡化，假設(shè)空間是一維的，只有 x 這一個方向。

*

首先考慮一個最簡單的情況，自由粒子。沒有任何東西會影響這個粒子，所以薛定諤方程中的勢能 V = 0。這個方程的解可以擁有任何能量。給定一個能量，波函數(shù)的形狀是一個所謂“平面波”。下面這張圖中表現(xiàn)了波函數(shù) Ψ 的實部、虛部和絕對值的平方 ——

看波函數(shù)本身，它是一個標準的波動。它的波長由粒子的能量決定，再考慮到能量跟動量的關(guān)系，這個波正好滿足德布羅意那個“物質(zhì)波”公式。自由的粒子，是一個自由的波。

波函數(shù)本身是個波動，可是波函數(shù)的絕對值的平方，卻是一個常數(shù)。它在 x 空間中每一點都是一樣的。波函數(shù)絕對值的平方代表粒子在這個區(qū)域被發(fā)現(xiàn)的概率。所以這就意味著，這個自由粒子，出現(xiàn)在空間各個位置的可能性都是一樣大的。

這也符合海森堡不確定性原理，因為你給定了能量就給定了動量，而既然動量沒有不確定性，位置的不確定性就必須是無窮大。這也就是說，在量子世界里，絕對自由的粒子，同時身處世界所有的地方。它是一片無處不在的云，你在哪里都有可能遇到它。

體會一下這個意境，什么叫自由。

*

當然絕對的自由是沒有的，人生充滿限制。再考慮一個絕對限制的情況。勢能 V 在一個區(qū)域內(nèi)部仍然是零，但是在區(qū)域外部是無窮大，就好像用一個盒子把粒子給裝起來了。像下面圖中這樣 ——

這時候方程在區(qū)域內(nèi)的解仍然是平面波，在區(qū)域外無解，波函數(shù)在邊界上的取值必須是 0。有意思的是，能級出現(xiàn)了。

數(shù)學上要求，雖然只有這么簡單的限制，這個粒子的能量就不能是任意的。它只能從一些固定的能級中選取，E1, E2, E3……這樣從小到大排列。這就是為什么氫原子是有能級的！特別是，其中最小的能級 E1 ≠ 0。為什么呢？因為不確定性原理！現(xiàn)在粒子位置的不確定性變成有限大了，那么它就必然有一個動量的不確定性 —— 它就不能一動不動。

量子力學不允許受限制的東西一動不動。這就是為什么哪怕是在無比接近絕對零度的情況下，粒子們也會動一動。

*

現(xiàn)在考慮一個最實際的情況。假設(shè)一個原本自由的粒子，被右邊的一面墻給擋住了。墻的勢能 V 比粒子的能量 E 高，所以墻對粒子形成了限制。

在經(jīng)典的世界中，粒子永遠都不可能穿越這面墻。否則穿墻的時候粒子的 動能 = E - V < 0，這算怎么回事兒呢？

但是在量子世界中，薛定諤方程的解卻是下面這個樣子的 ——

波函數(shù)在墻的左邊是個正常的平面波，在經(jīng)過墻的時候是一個快速衰減的波 — 但是它沒有衰減到 0！它在墻的右邊，仍然有一個絕對值變小了很多的平面波。粒子可以穿墻。

當然，因為右邊波的絕對值平方會比左邊小很多，你在右邊發(fā)現(xiàn)粒子的概率肯定比在左邊小很多 —— 也就是說穿墻的概率并不是很大……但是！穿墻是可能的。

量子力學允許粒子穿過勢能比它自身能量大的墻。這就相當于說，一個東西可以突破比它自己的能力大的限制。

這怎么可以呢？

*

薛定諤方程只是薛定諤在“情欲大爆發(fā)”期間靈感來了，寫下的波函數(shù)方程。薛定諤運氣好，這個方程恰好能解出氫原子的能級。但是當時連薛定諤本人都不知道波函數(shù)是什么東西，后來還是玻恩提出一個猜測，說波函數(shù)絕對值的平方代表概率。

數(shù)學只是物理學家用的一個工具，甚至可以說是一個玩具。真實世界沒有任何理由必須聽從你這個方程的，對吧？

那么現(xiàn)在這個方程得出了一個違背常識的解，你應(yīng)該怎么辦呢？中學老師一定會告訴你舍掉那個解。

1927年，也就是薛定諤的論文剛剛發(fā)表不到一年，就有好幾個物理學家解薛定諤方程得到了這個穿墻的解。我們可以稱之為“量子隧道效應(yīng)（Quantum tunnelling）”，也叫“量子隧穿”。當時人們并不知道這有什么意義。

1928 年，24歲的美籍俄裔物理學家喬治·伽莫夫（George Gamow），說不應(yīng)該舍棄這個解。

因為量子隧穿對應(yīng)的物理現(xiàn)象是真的。

*

伽莫夫說，這個量子隧穿，能解釋為什么原子核會衰變。我們知道原子核是質(zhì)子和中子緊密結(jié)合在一起的一個核，那既然有一種力量讓它們結(jié)合得這么緊密，為什么有的原子核有時候又能突然分裂呢？質(zhì)子和中子怎么突然就克服了那個結(jié)合的力量呢？

質(zhì)子中子的動能比結(jié)合力的勢能小，但是它們也能跑出來，這不就是量子隧穿嗎？伽莫夫的計算結(jié)果正好符合衰變概率。馬克思·玻恩一聽說伽莫夫的工作，立即意識到量子隧穿應(yīng)該是個普遍現(xiàn)象。

結(jié)果物理學家放眼一看，它在自然界簡直比比皆是。

*

比如說核聚變，是兩個比較小的原子核聚在一起，合成一個大的原子核，同時釋放大量能量。太陽之所以發(fā)光發(fā)熱，就是因為里面在發(fā)生核聚變反應(yīng)。

但是原子核都是帶正電的，正電和正電互相排斥，那這兩個原子核要想克服這個排斥的電勢能，本來是必須要以非常高的動能發(fā)生碰撞才行……正是因為量子隧穿，核聚變才能在溫度不算太高、動能不算太強的情況下發(fā)生 —— 而按核聚變的標準，太陽的溫度就不算太高。

換句話說，我們能享受太陽的光和熱，多虧了有量子隧穿。

在生物學中，植物能發(fā)生光合作用，細胞能夠呼吸，DNA能夠自我修復，都和量子隧穿有關(guān)。

量子隧穿最著名的一個應(yīng)用是 1981 年發(fā)明的“掃描隧道顯微鏡”。這種儀器能測量出原子尺度的結(jié)構(gòu)。它的原理是用一根探針去接近一個金屬表面，探針和金屬表面之間有一個非常非常小的空隙，這個空隙就相當于一個墻。金屬表面的電子本來是無法克服空隙和探針接觸的，但是由于隧穿效應(yīng)，電子有時候就到達探針，探針就探測到了電流。

量子隧穿對墻的寬度非常非常敏感，金屬表面原子的高低排列哪怕一點點的起伏都能體現(xiàn)在電子穿墻的概率上，而這就意味著掃描隧道顯微鏡能看到原子的圖像 ——

可是應(yīng)該怎么理解量子隧穿呢？

*

既然 E < V，粒子為什么還能穿墻呢，難道說能量守恒定律在穿墻那一刻失效了嗎？

有兩種選擇。一個選擇是認為量子力學可以違反能量守恒。對物理學家來說這非常別扭，我們非常非常相信能量守恒。

另一個選擇是，還可以換個角度來理解這件事。能量和時間之間有一個不確定性原理，隨著時間的推移，量子世界里系統(tǒng)的能量可以有一個小小的漲落，ΔE。而 E + ΔE，可以大于 V。只要嘗試的次數(shù)足夠多，不確定性總會有一次讓能量正好夠用，從而穿墻。

你選擇哪種理解都可以，要點是量子隧穿是個真實的現(xiàn)象。

可以暢想一下，如果粒子可以穿墻，那人是不是也可以呢？薛定諤方程可沒說只適用于微觀粒子，人無非就是質(zhì)量大一點唄？

你把人的質(zhì)量帶入薛定諤方程求解，理論上也有一個不為零的概率，人可以穿墻而過。但是那個概率實在是太小太小了。讓一個人不停地試驗，每秒鐘撞一次墻，他試驗到宇宙年齡那么長的時間也不會有一次成功。

不過這個假想的推導帶給我們一個啟發(fā)。也許真實世界中很多所謂的“不可能”，其實都是概率極其小的意思。你要這么看的話，我們其實是生活在一個概率的世界中，每天都在“擁抱不確定性”。在理論上，只要數(shù)學允許，這個世界真的就像那句勵志口號說的那樣，“一切皆有可能” —— 只不過有些可能性實在太小了而已。

量子力學8：狄拉克統(tǒng)領(lǐng)量子電動力學

上世紀二三十年代，物理學的天空可謂是群星璀璨。量子力學剛剛創(chuàng)立，微觀世界一下子出了好多地盤等著被人占領(lǐng)，那真是人人爭先，都想著建功立業(yè)青史留名。

而且過了這個村，可就沒這個店了。等到 1940 年代以后，量子力學已經(jīng)成熟了，再想做出重大發(fā)現(xiàn)就越來越難了。所以有個著名的說法叫做當時二流的物理學家能做出一流的工作，后來一流的物理學家只能做二流的工作。

但是，參與創(chuàng)立量子力學的這些物理學家，可真沒有一個是二流。他們是要算力有算力，要靈氣有靈氣，要思想有思想，要個性有個性的一代人……跟他們相比，今天的科學家真沒有多少展現(xiàn)自我的機會，有些人跟木匠和包工頭差不多。所以千萬不要低估當時的天下英雄。德布羅意和薛定諤剛剛接力完成“量子波”的單點突破，各路英雄就迅速跟上，量子力學全面開花。

這其中最厲害的一位，保羅·狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）。

*

薛定諤方程一出來，理論物理學家們馬上面臨兩個問題。一個是電動力學現(xiàn)在得改寫了。麥克斯韋的舊理論里沒有光子，還認為電子有一個明確的軌道，那個軌道還會輻射能量，這些明顯都不管用了。另一個問題是，薛定諤方程是個低能量方程，它不滿足狹義相對論的時空觀。

物理學家迫切需要把電動力學、薛定諤方程和狹義相對論統(tǒng)一起來，弄一個“量子電動力學”。

把這件事干成的主力人物，正是保羅·狄拉克。1928 年，也就是薛定諤方程剛剛發(fā)表兩年之后，26 歲的狄拉克就把量子電動力學的關(guān)鍵理論給做出來了。

融合了相對論的波動方程就叫“狄拉克方程”。那么按照物理學家的常規(guī)操作，下一步就是看看這個新方程能不能解出新的物理學來。

狄拉克解出了兩個新東西。

一個是 1931 年的時候，狄拉克發(fā)現(xiàn)他那個方程的解里面，除了尋常的、帶負電的電子之外，還有一種質(zhì)量和電子一樣、但是帶正電的東西，可以叫做“正電子”。強勢的狄拉克說，既然我這個方程里有正電子，正電子就應(yīng)該存在。

結(jié)果僅僅過了一年，美國的實驗物理學家就發(fā)現(xiàn)了正電子。正電子也是人類所知道的第一種“反物質(zhì)”。狄拉克據(jù)此拿到 1933 年諾貝爾物理獎。

這個世界為什么會有反物質(zhì)存在？因為數(shù)學要求它們存在。

狄拉克方程解出的另一個新東西，叫做“自旋”。

*

其實早在1922年，實驗物理學家就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了自旋。

這個實驗是以發(fā)明者的名字命名的，叫“斯特恩-蓋拉赫實驗”。如下圖所示 ——

把一束銀原子從高溫爐中射出，經(jīng)過一個外加的磁場之后，打在屏幕上，變成了兩束。而這很奇怪。

磁場為什么能偏轉(zhuǎn)銀原子的飛行路線呢？銀原子是電中性的，但是它的最外層有一個“非配對”的電子，你可以把銀原子想象成是一個單個電子繞著原子核旋轉(zhuǎn)的東西。根據(jù)最簡單的電磁學，電子的這個繞行，形成了一個小小的環(huán)繞電流，就把銀原子變成了一個小小的磁鐵。磁鐵，當然會被外部的磁場影響。

但如果僅僅是這樣，射線應(yīng)該是被*連續(xù)地*偏轉(zhuǎn)，打在屏幕上應(yīng)該是連續(xù)的一條短線才對 —— 為什么現(xiàn)在射線是被正好分成了兩束，打在屏幕上是兩個亮點呢？

唯一的解釋是，電子在繞著原子核的旋轉(zhuǎn)之外，自身還有一個別的什么旋轉(zhuǎn) —— 而它自身的旋轉(zhuǎn)角動量是*量子化*的，只有“1/2”和“-1/2”兩個取值，對應(yīng)上下兩束射線。把這個多出來的、電子自身的旋轉(zhuǎn)，叫做“自旋”。

但是實驗物理學家不知道自旋是從哪來的。電子自旋的 ±1/2 是實驗湊出來的數(shù)。那這一回誰能解釋自旋呢？

*

狄拉克 1926 年的時候在哥本哈根和玻爾、海森堡一起做研究。當時海森堡說，三年之內(nèi)肯定能有理論解釋自旋這種現(xiàn)象。而狄拉克認為用不了三年，三個月就夠……他過分樂觀了，不過兩年之后，狄拉克用自己的方程解出了自旋。

自旋，是狄拉克方程內(nèi)在的要求。但是你要放棄對自旋的形象化理解。如果你把電子想象成一個小球，自旋是這個小球的自轉(zhuǎn)，自旋的正負號是自轉(zhuǎn)的方向，那么電子的自旋是1/2這個事實意味著這個小球必須得兩圈，才能回到原來的樣子！

日常生活里哪有這樣的小球。再說根據(jù)電子的質(zhì)量和自旋角動量計算，這個小球自轉(zhuǎn)的表面速度已經(jīng)超過光速了，這也不合理。

只需要知道，自旋是電子的一個內(nèi)在屬性，是一個具有角動量特點的性質(zhì)。當物理定律說“角動量守恒”的時候，是說電子的 總角動量 = 軌道角動量 + 自旋角動量，是守恒的。

有了自旋這個概念，就可以更深刻地理解量子力學了。

*

自旋的這個性質(zhì)跟日常生活里的事情非常不一樣，以至于不知道該怎么打比方 —— 但是理解這個性質(zhì)，對理解“量子態(tài)”很有意義。

回到剛才的斯特恩-蓋拉赫實驗，外加磁場把銀原子束一分為二，一半向上一半向下，這說明最外層那個電子的自旋，正好一半是 1/2，一半是 -1/2。我們只考慮正負號，那么電子的狀態(tài)，就可以寫成 ——

用了狄拉克發(fā)明的“半個括號” （ “| >”） 來表示一個量子態(tài)，這個公式說的就是電子的量子態(tài)可以寫成自旋方向是 + 和 - 的兩個量子態(tài)之和。其中的“根號 2 分之一”是為了保證每個態(tài)的概率都是 1/2：別忘了，概率等于波函數(shù)絕對值的平方。

這個對自旋的描述，跟“波”完全沒關(guān)系，這里面沒有任何波動性。量子態(tài)并不一定非得有波！“波函數(shù)”、“波粒二象性”，這些名詞都是歷史路徑依賴帶來的。更科學的叫法是“態(tài)函數(shù)（state function）”和“量子疊加態(tài)”。

上面那個公式可以這么說：以自旋而論，電子處于 + 和 - 兩個自旋的疊加態(tài)。實驗觀測會讓它“坍縮（collapse）”到其中一個態(tài)上去，而坍縮到每個態(tài)的概率都是1/2，所以銀原子被分成了兩束。

這沒問題吧？現(xiàn)在來考慮一個燒腦的實驗過程。

*

為什么斯特恩-蓋拉赫實驗中電子的自旋的 + - 取向，正好和外加磁場的方向一致呢？正好是一個向上一個向下。難道說電子在決定自己如何自旋之前，知道外加磁場是什么方向的嗎？

那當然不能這么說。只能理解為，你任選一個方向，電子自旋都是那個方向上的疊加態(tài)。比如假設(shè)磁場是空間中的 z 方向，那么我們就可以說 ——

你把磁場換成 x 方向，電子的態(tài)函數(shù)也可以寫成 ——

也就是說，電子的狀態(tài)本來是“不可說”的！是你非要在一個方向上做實驗，逼著電子在這個方向上“表態(tài)”，它才不得不表現(xiàn)為兩個自旋的疊加態(tài)！

是你的觀測，給了電子一個自我表達的視角。電子本來沒有視角。

理解了這一點，再看下一步。

*

設(shè)想，銀原子經(jīng)過了一個 z 方向上的斯特恩-蓋拉赫磁場之后，你引出了其中代表電子自旋是 +1/2 的那一束。你非常清楚，現(xiàn)在這些電子的態(tài)函數(shù)是?，F(xiàn)在如果你把這一束銀原子再過一遍 z 方向上的斯特恩-蓋拉赫磁場，它就不會變成兩束了，會保持一束。它對自己的表態(tài)很忠誠。

那好，現(xiàn)在我們把這一束銀原子，在 x 方向上再經(jīng)過一個斯特恩-蓋拉赫磁場，你猜你會得到什么？

你仍然會得到 x 方向上的兩束。也就是說這個“z 方向自旋為 +”的態(tài)函數(shù)，還可以用 x 方向上的兩個自旋態(tài)疊加 ——

因為 x 方向和 z 方向是完全垂直的，等于是互相沒關(guān)系，所以兩個疊加態(tài)的概率仍然是各自 1/2 。

宏觀世界里沒有這樣的事情！比如我們知道地球有個自轉(zhuǎn)，這個自轉(zhuǎn)的方向是固定的。你沿著地軸方向問地球的“自旋”，地球會告訴你是 1；你換一個垂直方向再問地球的自旋，地球只會告訴你，它在那個方向上沒有自旋，或者說自旋是 0。但是電子的自旋量子數(shù)只有 ±1/2 這兩個選項！在 z 方向是 +1/2，換成 x 方向再測，又是 ±1/2。

這就等于說，哪怕電子已經(jīng)在一個方向上明確表態(tài)了，你還可以逼著它在另一個方向上再表態(tài)一次。它仍然處在第二個方向上的量子疊加態(tài)中。這是自旋的一個非常奇妙的性質(zhì)。自旋不會死，它可以變。

而自旋之所以不死，也可以理解成是海森堡不確定性的要求：你不能同時確定一個電子在 z 和 x 兩個方向上的自旋。一個確定了，另一個馬上變得不確定。

再來一步。從第二個斯特恩-蓋拉赫裝置（x 方向）中出來的兩束銀原子中，我們再選其中代表 x 方向自旋是 + 的一束，也就是然后再讓它過一次 z 方向上的斯特恩-蓋拉赫裝置，你猜會怎樣？

整個實驗過程是像下面這樣的 ——

答案是銀原子又被分成了兩束。

你體會一下這個過程。從第一個磁場出來，我們已經(jīng)選擇了 z 方向為正這一束，這些電子已經(jīng)對 z 方向表過態(tài)了。可是在第三個磁場上你又讓它們對 z 方向表態(tài)，它們再次變成了疊加態(tài)。這是為什么呢？因為過第二個磁場在 x 方向上的表態(tài)，破壞了前面在 z 方向上的表態(tài)，現(xiàn)在它必須重新表態(tài) ——

電子任何時候都有自旋，它的自旋永不停息 —— 但是它的自旋可以完全沒有明確的方向：你在哪個方向上讓它表態(tài)，它總是告訴你它的自旋在這個方向上或者是 +1/2，或者是 -1/2。你換個方向再問，它又是同樣完整地表態(tài)。

如果強行打個比方，電子就相當于是這么一位“老張”。你問老張支持美國哪個黨，老張說我是個全職的政治活動家，我一半的時間全力以赴支持共和黨，一半的時間全力以赴支持民主黨。然后你又問老張是否相信全球變暖學說，老張說我是個全職的氣候運動活動家，我一半的時間全力以赴宣傳全球變暖學說，一半的時間全力以赴反對全球變暖學說。

老張能同時擁有兩種相反的立場，這已經(jīng)夠神奇的了 —— 可是更神奇的是，他為什么不管干啥都是“全職”呢？他到底全職搞政治還是全職搞氣候運動？老張到底是干啥的呢？

電子干啥，完全取決于你怎么問它。理解了這一點，現(xiàn)在可以說說到底該如何理解量子力學現(xiàn)象了。

*

這個很后來才有的、更深刻的理解，叫做“馮·諾依曼投影公設(shè)（projection postulate）”。它出自數(shù)學家和物理學家、計算機之父、博弈論之父，約翰·馮·諾依曼（John von Neumann）。

第一，每個量子態(tài)，都可以展開成一系列基本的量子態(tài)的疊加 ——

第二，一次實驗觀測之后，系統(tǒng)就“坍縮”到其中某一個態(tài) e_i。而到底坍縮到哪個態(tài)，由系數(shù) c_i 的絕對值的平方?jīng)Q定。

第三，從此之后，系統(tǒng)就一直處于 e_i 這個態(tài)。但如果這個 e_i 態(tài)還有不確定性，系統(tǒng)就可以再次被觀測到別的態(tài)，方法仍然是用量子態(tài)疊加展開。

根據(jù)這個理解，薛定諤的波函數(shù)是什么呢？那無非就是量子態(tài)在位置和動量這兩個視角上的連續(xù)疊加展開。為什么電子打在屏幕上就變成粒子了？因為不確定性消失了，沒有疊加態(tài)了。為什么 z 方向上已經(jīng)表過態(tài)的電子還能在 x 方向上再表一次態(tài)？因為不確定性還在，還能繼續(xù)展開成疊加態(tài)。

量子力學是表態(tài)的科學，實驗是對不確定性的操弄。