用四元數(shù)來表示向量，令標(biāo)量部分為0，僅保留其矢量部分，易得向量的模就是四元數(shù)的模，還有四元數(shù)乘積的標(biāo)量部分就是點積，矢量部分就是叉積。
點積和叉積用四元數(shù)表示，反映了乘法的非交換性。看起來像張量中的對稱化算子和反對稱化算子的那種形式。
點積和叉積的幾何關(guān)系，模長，夾角。
于是，四元數(shù)乘積的模就可表示為點積和叉積模平方之和
其他的性質(zhì)，點積的對稱性，線性，叉積的反對稱性，線性。
三元標(biāo)積，所謂的混合積，反對稱化后，再進行對稱化。其輪換對稱性，源于四元數(shù)乘法對標(biāo)量部分的保持。通過共軛，實現(xiàn)反序和反號。
特別的，混合積可以說明叉積對于原矢量的正交性。
雙叉積的推導(dǎo)，得到著名的公式。遠正近負。
向量的雙叉積公式僅依靠向量自身很難推導(dǎo)，要通過行列式運算，復(fù)雜易錯。通過四元數(shù)就比較方便自然。
這一節(jié)回顧了三維向量分析的知識，通過四元數(shù)代數(shù)給出了叉積的簡潔形式，通常的書中往往通過另一種方式，也就是外積的形式給出叉積的計算公式，往往要涉及行列式，復(fù)雜難懂。
不過，四元數(shù)的作用也是有限的，遇到更高維的情況就很難奏效，畢竟它本質(zhì)上是數(shù)和三維矢量的結(jié)合體。不過，這其實也反映了某種不對稱性，也就是說四維是性質(zhì)突變的維度，就像復(fù)數(shù)作用于二維，那樣。代數(shù)性質(zhì)變化的不連續(xù)性體現(xiàn)了自然的某種偏好。
至于這種變化是表象還是本質(zhì)，還需要更多的證據(jù)。但是，維度的整數(shù)性，本身就包含了對有限群論，整數(shù)論某些結(jié)果的支持。那些看似奇怪的定理，將會以一種更匪夷所思卻合乎邏輯的客觀事實反映在對應(yīng)維度的空間中。這也算一種數(shù)學(xué)的現(xiàn)實意義。數(shù)學(xué)由于其條件的極端約簡，適用范圍往往會超出人的想象力，極簡的條件約束，會導(dǎo)致結(jié)果的不斷推廣，直至某個性質(zhì)突變的邊界線。
藝術(shù)想象突破現(xiàn)實被認為是新奇的，而理性突破想象力卻往往讓人不敢置信，因為前者人們都知道是假的，而后者往往是真的。
第一章結(jié)束了，很快，同時也感覺沒有得到什么神奇的體驗，所以，決定繼續(xù)往下看，直到感受到真正的沖擊性的事實。
還有，檢索資料時，看到有人在唱衰四元數(shù)，說什么向量就足夠了，四元數(shù)不過是向量的腳手架，用完即棄也沒有關(guān)系，這顯然是一種誤解，如果反對者是專注于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)研究的話，那確實是沒有多大區(qū)別，向量構(gòu)成的是線性空間，復(fù)數(shù)也好，四元數(shù)也罷，不過是在線性空間上定義了乘法，從而構(gòu)成了代數(shù)，關(guān)于代數(shù)的各種性質(zhì)，比如交換性，恒等元等等，都可以很容易獲得，可以說沒什么可研究的，甚至于大多數(shù)的領(lǐng)域?qū)?shù)學(xué)而言都是沒什么研究價值的。但是，這就像對復(fù)數(shù)的誤解一樣，總有人認為復(fù)數(shù)不過是代數(shù)上的加加減減，學(xué)完了所謂的復(fù)變函數(shù)就行了，結(jié)果，復(fù)數(shù)與現(xiàn)實結(jié)合之緊密，對客觀現(xiàn)象刻畫之簡潔精確卻是書本學(xué)不到的，因為書本是搞數(shù)學(xué)的出的，現(xiàn)實意義不是他們關(guān)心的事情，我想大多數(shù)人更多的是與現(xiàn)實打交道，如果確實有容易理解而用處廣泛的理論，自然也不會去拒絕它。同理，四元數(shù)與現(xiàn)實的結(jié)合仍在進行之中，尤其是相對論物理學(xué)中對四維空間的描述，還有對三維轉(zhuǎn)動的描述，相信之后隨著三維技術(shù)的發(fā)展，乃至四維技術(shù)的發(fā)展，四元數(shù)還會有更多的用途。
向量不好用，為什么會這樣？因為向量空間結(jié)構(gòu)太簡陋了，只有平移和放縮，容納不了太多的運動，碰到旋轉(zhuǎn)就沒轍了，得依靠額外的結(jié)構(gòu)，為什么？因為旋轉(zhuǎn)本身是乘法，如果僅僅依靠向量空間，就只能通過空間的變換來實現(xiàn)，那就是線性變換了，可表示為對應(yīng)基底下的矩陣，矩陣的參數(shù)太多了，旋轉(zhuǎn)本身是一個操作，卻使用多至n^2個參數(shù)來描述，這就太浪費了，而且對人而言勞動量也增大了很多，難記難用，我現(xiàn)在都不記得二維旋轉(zhuǎn)矩陣的具體形式，但我能迅速寫出用復(fù)數(shù)描述的旋轉(zhuǎn)的形式。找了一下，大概是這樣子。
復(fù)數(shù)和二維反稱矩陣同構(gòu)，是代數(shù)同構(gòu)，包括線性結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)。
這就是為什么盡管有旋轉(zhuǎn)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)方法，人們卻往往使用復(fù)數(shù)來表示二維旋轉(zhuǎn)，用四元數(shù)表示三維旋轉(zhuǎn)，因為操作一次只用改變很少的參數(shù)，而效果卻是一樣的。
