作者：labuladong，公眾號(hào)：labuladong

如果讓你數(shù)一下一棵普通二叉樹(shù)有多少個(gè)節(jié)點(diǎn)，這很簡(jiǎn)單，只要在二叉樹(shù)的遍歷框架上加一點(diǎn)代碼就行了。

但是，如果給你一棵完全二叉樹(shù)，讓你計(jì)算它的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，你會(huì)不會(huì)？算法的時(shí)間復(fù)雜度是多少？

這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度應(yīng)該是 O(logN*logN)，如果你心中的算法沒(méi)有達(dá)到這么高效，那么本文就是給你寫(xiě)的。

首先要明確一下兩個(gè)關(guān)于二叉樹(shù)的名詞「完全二叉樹(shù)」和「滿(mǎn)二叉樹(shù)」。

我們說(shuō)的完全二叉樹(shù)如下圖，每一層都是緊湊靠左排列的：

image

我們說(shuō)的滿(mǎn)二叉樹(shù)如下圖，是一種特殊的完全二叉樹(shù)，每層都是是滿(mǎn)的，像一個(gè)穩(wěn)定的三角形：

image

說(shuō)句題外話(huà)，關(guān)于這兩個(gè)定義，中文語(yǔ)境和英文語(yǔ)境似乎有點(diǎn)區(qū)別，我們說(shuō)的完全二叉樹(shù)對(duì)應(yīng)英文 Complete Binary Tree，沒(méi)有問(wèn)題。但是我們說(shuō)的滿(mǎn)二叉樹(shù)對(duì)應(yīng)英文 Perfect Binary Tree，而英文中的 Full Binary Tree 是指一棵二叉樹(shù)的所有節(jié)點(diǎn)要么沒(méi)有孩子節(jié)點(diǎn)，要么有兩個(gè)孩子節(jié)點(diǎn)。如下：

image

以上定義出自 wikipedia，這里就是順便一提，其實(shí)名詞叫什么都無(wú)所謂，重要的是算法操作。

本文就按我們中文的語(yǔ)境，記住「滿(mǎn)二叉樹(shù)」和「完全二叉樹(shù)」的區(qū)別，等會(huì)會(huì)用到。

一、思路分析

現(xiàn)在回歸正題，如何求一棵完全二叉樹(shù)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)呢？

// 輸入一棵完全二叉樹(shù)，返回節(jié)點(diǎn)總數(shù)
int countNodes(TreeNode root);

如果是一個(gè)普通二叉樹(shù)，顯然只要向下面這樣遍歷一邊即可，時(shí)間復(fù)雜度 O(N)：

public int countNodes(TreeNode root) {
    if (root == null) return 0;
    return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}

那如果是一棵滿(mǎn)二叉樹(shù)，節(jié)點(diǎn)總數(shù)就和樹(shù)的高度呈指數(shù)關(guān)系，時(shí)間復(fù)雜度 O(logN)：

public int countNodes(TreeNode root) {
    int h = 0;
    // 計(jì)算樹(shù)的高度
    while (root != null) {
        root = root.left;
        h++;
    }
    // 節(jié)點(diǎn)總數(shù)就是 2^h - 1
    return (int)Math.pow(2, h) - 1;
}

完全二叉樹(shù)比普通二叉樹(shù)特殊，但又沒(méi)有滿(mǎn)二叉樹(shù)那么特殊，計(jì)算它的節(jié)點(diǎn)總數(shù)，可以說(shuō)是普通二叉樹(shù)和完全二叉樹(shù)的結(jié)合版，先看代碼：

public int countNodes(TreeNode root) {
    TreeNode l = root, r = root;
    // 記錄左、右子樹(shù)的高度
    int hl = 0, hr = 0;
    while (l != null) {
        l = l.left;
        hl++;
    }
    while (r != null) {
        r = r.right;
        hr++;
    }
    // 如果左右子樹(shù)的高度相同，則是一棵滿(mǎn)二叉樹(shù)
    if (hl == hr) {
        return (int)Math.pow(2, hl) - 1;
    }
    // 如果左右高度不同，則按照普通二叉樹(shù)的邏輯計(jì)算
    return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}

結(jié)合剛才針對(duì)滿(mǎn)二叉樹(shù)和普通二叉樹(shù)的算法，上面這段代碼應(yīng)該不難理解，就是一個(gè)結(jié)合版，但是其中降低時(shí)間復(fù)雜度的技巧是非常微妙的。

二、復(fù)雜度分析

開(kāi)頭說(shuō)了，這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度是 O(logN*logN)，這是怎么算出來(lái)的呢？

直覺(jué)感覺(jué)好像最壞情況下是 O(N*logN) 吧，因?yàn)橹暗?while 需要 logN 的時(shí)間，最后要 O(N) 的時(shí)間向左右子樹(shù)遞歸：

return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);

關(guān)鍵點(diǎn)在于，這兩個(gè)遞歸只有一個(gè)會(huì)真的遞歸下去，另一個(gè)一定會(huì)觸發(fā)****hl == hr而立即返回，不會(huì)遞歸下去。

為什么呢？原因如下：

一棵完全二叉樹(shù)的兩棵子樹(shù)，至少有一棵是滿(mǎn)二叉樹(shù)：

image

看圖就明顯了吧，由于完全二叉樹(shù)的性質(zhì)，其子樹(shù)一定有一棵是滿(mǎn)的，所以一定會(huì)觸發(fā)hl == hr，只消耗 O(logN) 的復(fù)雜度而不會(huì)繼續(xù)遞歸。

綜上，算法的遞歸深度就是樹(shù)的高度 O(logN)，每次遞歸所花費(fèi)的時(shí)間就是 while 循環(huán)，需要 O(logN)，所以總體的時(shí)間復(fù)雜度是 O(logN*logN)。

所以說(shuō)，「完全二叉樹(shù)」這個(gè)概念還是有它存在的原因的，不僅適用于數(shù)組實(shí)現(xiàn)二叉堆，而且連計(jì)算節(jié)點(diǎn)總數(shù)這種看起來(lái)簡(jiǎn)單的操作都有高效的算法實(shí)現(xiàn)。