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參考書目為安德森的《商務(wù)與經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計》，以下為個人的學(xué)習(xí)總結(jié)，如果有錯誤歡迎指正。有需要本書pdf的，鏈接在本文末尾。（僅限個人學(xué)習(xí)使用，請勿牟利）

第十三章實驗設(shè)計與方差分析

統(tǒng)計研究分實驗性研究和觀測性研究。前者需要控制無關(guān)變量，通過實驗產(chǎn)生我們需要的數(shù)據(jù)，后者往往通過抽樣調(diào)查等方式獲得。
本章介紹三種類型的實驗設(shè)計：完全隨機化設(shè)計、隨機化區(qū)組設(shè)計和析因?qū)嶒灐?/p>

13.1 實驗設(shè)計和方差分析簡介

例子：供水過濾系統(tǒng)的部件組裝方法有A、B和C。問題：哪種方法使每周產(chǎn)量最多。

在這個實驗中，裝備方法是獨立變量或因子（factor）。對應(yīng)三種方法，所以這個實驗有三個處理，每個處理（treatment）對應(yīng)一種裝配方法。并且是單因子實驗（single-factor experiment），因為只涉及裝配方法一個因子。也可以有多因子，因子分定性和定量的。

該實驗對應(yīng)三個總體：三個總體分別使用A、B和C其中一種方法。每個總體的因變量或響應(yīng)變量是每周裝配的過濾系統(tǒng)的數(shù)量。

實驗?zāi)康模捍_定三個總體的因變量是否相同。
假設(shè)我們抽取三名工人組成一個隨機樣本，三名工人構(gòu)成實驗單元，下面將使用完全隨機化設(shè)計（completely randomized design），要求每種方法隨機給其中一個工人，這里相當(dāng)于工有 $A_3^3$ 種分配方法。（隨機化的概念是所有實驗設(shè)計的一個重要原則）

上述方法，每個裝配方法只能得到一個因變量的測度，但是我們可以隨機抽15個人，每種方法隨機分5人。這樣就得到了更多因變量的測度。這個過程叫復(fù)制。（復(fù)制的過程是實驗設(shè)計的另一個重要原則。）

13.1.1 數(shù)據(jù)收集

通過收集數(shù)據(jù)得到

image

我們?yōu)榱肆私馊N裝配方法的總體均值是否不同，引入

\mu_1

、

\mu_2

和

\mu_3

分別為A、B和C三種方法每周生產(chǎn)數(shù)量的總體均值。
假設(shè)：

H_0

\mu_1=\mu_2=\mu_3

H_a

:總體均值不全相等
再使用方差分析（ANOVA）統(tǒng)計方法來確定三個樣本均值之間的差異是否大到可以拒絕

H_0

13.1.2 方差分析的假定

應(yīng)用方差分析需要三個假定：

對每個總體，響應(yīng)變量服從正態(tài)分布。——每種裝配方法每周生產(chǎn)的過濾系統(tǒng)數(shù)量服從正態(tài)分布。
響應(yīng)變量的方差，記為 $\sigma^2$ ，對所有總體都是相同的?！糠N裝配方法，每周生產(chǎn)的過濾系統(tǒng)數(shù)量的方差必須相同。
觀測值必須是獨立的?！獙?yīng)每個工人每周生產(chǎn)的過濾系統(tǒng)數(shù)量與其它工人每周生產(chǎn)的過濾系統(tǒng)數(shù)量獨立。

13.1.3 方差分析：概念性綜述

樣本均值彼此接近，則越支持 $H_0$ ，反之支持 $H_a$
如果原假設(shè)（ $H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$ ）成立，我們利用樣本均值之間地變異性簡歷 $\sigma^2$ 的一個估計。則所有樣本都來自同一個總體。這些樣本均值 $\bar x$ 同樣服從正態(tài)分布，且均值為 $\mu$ ，方差為 $\sigma^2/n$ 。
回到過濾系統(tǒng)的例子中，我們假設(shè) $\bar x_1=62$ , $\bar x_2=66$ , $\bar x_3=52$ 都來自同一個總體（樣本容量相同）， $\bar x$ 抽樣分布的均值的估計值為： $(62+66+52)/3=60$ ， $\bar x$ 抽樣分布的方差 $\sigma_{\bar x}^2$ 的估計可以由三個樣本均值的方差給出 $\sigma_{\bar x}^2=\frac{(62-60)^2+(66-60)^2+(52-60)^2}{3-1}=52$ 。
再由 $\sigma_{\bar x}^2=\sigma^2/n$ 解得 $\sigma^2=n\sigma_{\bar x}^2=5 \times 52=260$ 因為 $\sigma_{\bar x}^2$ 是用 $s_{\bar x}^2$ 作為估計量，所以這里得 $\sigma^2$ 也是估計量。
所得的結(jié)果 $n\sigma_{\bar x}^2=260$ 稱作 $\sigma^2$ 的處理間估計。

上述都是基于 $H_0$ 為真的情形，如果 $H_0$ 為假，且均值全不相同，則三個抽樣分布來自三個總體。于是 $\sigma_{\bar x}^2$ 會比較大，從而使得 $\sigma^2$ 的處理間估計也變得較大。

image

當(dāng)我們從每個總體抽取一個隨機樣本時，每個樣本方差都給出了 $\sigma^2$ 的一個無偏估計，我們將 $\sigma^2$ 的個別估計組合或合并成一個總體估計。這種方法得到值稱作 $\sigma^2$ 的合并估計或處理內(nèi)估計。因為這里的每個樣本方差給出的 $\sigma^2$ 的估計僅以每個樣本內(nèi)部的變異為依據(jù)。
$\sigma^2$ 的處理內(nèi)估計 $=\frac{27.5+26.5+31.0}{3}=\frac{85}{3}=28.33$

我們看到 $\sigma^2$ 的處理間估計（260）遠(yuǎn)大于處理內(nèi)估計（28.33），比值為9.18。
當(dāng)原假設(shè)為真，處理間估計方法才是總體方差 $\sigma^2$ 的一個好的估計量，
當(dāng)原假設(shè)為假，處理間估計將高估總體方差 $\sigma^2$ 。
不過這兩種情形下，處理內(nèi)估計都是總方差 $\sigma^2$ 的一個好的估計量。因此原假設(shè)為真，兩估計量接近，比值接近1；如果原假設(shè)為假，則處理間估計將大于處理內(nèi)估計，比值也會比較大。

總結(jié)：
ANOVA背后的邏輯是以共同總體方差 $\sigma^2$ 的兩個獨立的估計量為基礎(chǔ)，即處理間估計和處理內(nèi)估計。通過比較兩個估計量，來確定總體均值是否相等。

13.2 方差分析和完全隨機化實驗設(shè)計

完全隨機化實驗設(shè)計中，如何用方差分析來檢驗k個總體均值是否相等：

一般性假設(shè)： $H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$ $H_a$ :k個總體均值不全相等
$\mu_j$ 為第 $j$ 個總體的均值， $n_j$ 為第 $j$ 個總體的簡單隨機樣本的容量，
樣本數(shù)據(jù) $x_{ij}$ 代表第 $j$ 個處理（對應(yīng)一個總體）第 $i$ 個觀測值； $\bar x_j$ 代表第 $j$ 個樣本的均值， $s_j^2$ 代表第 $j$ 個處理的樣本方差， $s_j$ 為第 $j$ 個處理的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。
樣本數(shù)據(jù)的計算
- $\bar x_j=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n_j} x_{ij}}{n_j}$
- $s_j^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n_j}(x_{ij}-\bar x_j)^2}{n_j-1}$
總體樣本均值記作
- 觀測中總數(shù) $n_r=n_1+n_2+\cdots+n_k$
- 如果每個樣本容量相等，則 $n_r=kn$ ,則 $\bar {\bar x}=\frac{\sum\limits_{j=1}^{k} \bar x_j}{k}$

13.2.1 總體方差的處理間估計

我們稱處理間估計的 $\sigma^2$ 為均方處理(mean square due to treatments, MSTR)
$MSTR=\frac{\sum\limits_{j=1}^{k}n_j(\bar x_j-\bar {\bar x})^2}{k-1}$
式中分子稱作處理平方和(sum of squares due to treatments, SSTR)。分母k-1表示與SSTR相聯(lián)系的自由度。
均方處理：
$MSTR=\frac{SSTR}{k-1}$
$SSTR=\sum\limits_{j=1}^{k}n_j(\bar x_j-\bar {\bar x})^2$

若 $H_0$ 為真，則MSTR給出了 $\sigma^2$ 的一個無偏估計。但 $H_0$ 為假時，則MSTR就不是 $\sigma^2$ 的無偏估計，會高估總體方差 $\sigma^2$

回到例子：
$SSTR=\sum\limits_{j=1}^{k}n_j(\bar x_j-\bar {\bar x})^2=5\times(62-60)^2+5\times(66-60)^2+5\times(52-60)^2=520$
$MSTR=\frac{SSTR}{k-1}=260$

13.2.2 總體方差的處理內(nèi)估計

對 $\sigma^2$ 的處理內(nèi)估計稱作均方誤差(mean square due to error,MSE)
$MSE=\frac{\sum\limits_{j=1}^{k}(n_j-1)s_j^2}{n_r-k}$
分子稱作誤差平方和(sum of squares due to error,SSE)

均方誤差：
$MSE=\frac{SSE}{n_r-k}$
$SSE=\sum\limits_{j=1}^{k}(n_j-1)s_j^2$

我們注意到：MSE是以每個處理內(nèi)部的變異性為依據(jù)，它不受原假設(shè)是否為真的影響。因此，MSE永遠(yuǎn)給出 $\sigma^2$ 的一個無偏估計

回到例子：
$SSE=\sum\limits_{j=1}^{k}(n_j-1)s_j^2=(5-1)\times27.5+(5-1)\times26.5+(5-1)\times31=340$
$MSE=\frac{SSE}{n_r-k}=\frac{340}{15-3}=28.33$

13.2.3 方差估計量的比較： $F$ 檢驗

如果原假設(shè) $H_0$ 為真，則MSTR和MSE給出的 $\sigma^2$ 的兩個獨立的無偏估計量。 $\sigma^2$ 的兩個獨立的估計量紙幣的抽樣分布服從 $F$ 分布。

k個總體均值相等的檢驗統(tǒng)計量：
$F=\frac{MSTR}{MSE}$
檢驗統(tǒng)計量服從分子自由度為k-1，分母自由度為 $n_r-k$ 的F分布（ANOVA的假定要得到滿足）

回到生產(chǎn)過濾系統(tǒng)的例子：在 $\alpha=0.05$ 的顯著水平下，進(jìn)行假設(shè)實驗，我們計算得到 $F=\frac{MSTR}{MSE}=\frac{260}{28.33}=9.18$ ，分子自由度為2，分母自由度為12.

image

由于我們不希望F過大，所以根據(jù)EXCEL的計算，在上述自由度下，F(xiàn)=9.18時，上側(cè)面積為0.0038<0.05，因此我們拒絕

H_0

，三個總體均值是不相等的。

當(dāng)然也可以用臨界值法，當(dāng) $\alpha=0.05$ 時，F(xiàn)的臨界值是3.8853<9.18。所以也拒絕 $H_0$

總結(jié)：

image

13.2.4 ANOVA表

前面的計算結(jié)果，可以使用方差分析表或ANOVA表表示出來。一個完全隨機化實驗設(shè)計的ANOVA表的一般形式如下：

image

在上面的列表中，方差來源有SSTR和SSE，他們倆的總計被稱作總平方和(SST)，且

SST=SSTR+SSE

，并且自由度也是SSTR以及SSE的自由度的和。

總平方和SST的計算公式： $SST=\sum\limits_{j=1}^{k}\sum\limits_{i=1}^{n_j}(x_{ij}-\bar {\bar x})^2$
且： $SST=SSTR+SSE$
我們可以吧SST看作“處理平方和”與“誤差平方和”的和。且自由度 $n_r-1$ 也可由對應(yīng)的SSTR和SSE的自由度加起來。
方差分析可以被看作將總平方和及其自由度分解成它們對應(yīng)的來源（處理與誤差）的一個過程。

13.2.5 方差分析的計算機輸出結(jié)果

image

上圖為MINITAB的計算結(jié)果，Pooled StDev是用來估計

\sigma

的，右下角的區(qū)間估計，三種方法的邊際誤差都是一樣的這里的邊際誤差=

t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}=2.179\times \frac{5.323}{\sqrt{n}}=5.19

。這里統(tǒng)一使用的誤差平方和的自由度12（我也不知道為什么，我覺得好像應(yīng)該用14，后面再研究）

13.2.6 k個總體均值相等的檢驗：一項觀測性研究

例子：NCP公司對工廠員工的生產(chǎn)意識進(jìn)行考試，共有3個工廠，每個工廠抽取6人。成績?nèi)缦拢?br>

image

假設(shè)：

H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3

H_a:

總體均值不全相等

總結(jié)：

當(dāng)每個樣本都是n個觀測值構(gòu)成，則 $MSTR=\frac{\sum\limits_{j=1}^{k}n_j(\bar x_j-\bar {\bar x})^2}{k-1}=n\left[\frac{\sum\limits_{j=1}^{k}(\bar x_j-\bar {\bar x})^2}{k-1}\right]=ns_{\bar x}^2$
當(dāng)每個樣本都是n個觀測值構(gòu)成，則 $MSE=\frac{\sum\limits_{j=1}^{k}(n_j-1)s_j^2}{n_r-k}=\frac{(n-1)\sum\limits_{j=1}^{k}s_j^2}{k(n-1)}=\frac{\sum\limits_{j=1}^{k}s_j^2}{k}$

13.3 多重比較方法

方差分析只能告訴我們k個總體均值是否相等，但是具體哪些總體相等，哪些不相等，我們需要用多重比較方法在成對的總體均值之間進(jìn)行統(tǒng)計比較。

13.3.1 Fisher的LSD方法

在方差分析鐘拒絕了 $H_0$ ，在這種情況下Fisher的最小顯著性差異（least significant difference,LSD）方法可以用來確定哪些均值存在差異。

Fisher的LSD方法：

$H_0:\mu_i=\mu_j$
$H_a:\mu_i \neq \mu_j$
檢驗統(tǒng)計量：
$t=\frac{\bar x_i-\bar x_j}{\sqrt{MSE\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}}$
拒絕法則：
p-值法：如果 p-值 $\leq \alpha$ ，則拒絕 $H_0$
臨界值法：如果 $t\leq -t_{\alpha/2}$ 或者 $t\geq t_{\alpha/2}$ ，則拒絕 $H_0$
其中 $t_{\alpha/2}$ 是自由度為 $n_r-k$ 時，t分布的上側(cè)面積為 $\alpha/2$ 的t值。
我們令 $\alpha=0.05$ ，判斷總體1（方法A）和總體2（方法B）的均值是否存在差異。
$t=\frac{\bar x_i-\bar x_j}{\sqrt{MSE\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}}=\frac{62-66}{\sqrt{MSE\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\right)}}=-1.19$

經(jīng)過excel計算，t=-1.19，自由度為12時，的下側(cè)面積為0.1285，雙側(cè)加起來即為p-值=0.2571>0.05所以，我們拒絕原假設(shè)，認(rèn)為方法1和方法2的均值不相等。

基于檢驗統(tǒng)計量 $\bar x_i-\bar x_j$ 的Fisher的LSD方法：
$H_0:\mu_i=\mu_j$
$H_a:\mu_i \neq \mu_j$
檢驗統(tǒng)計量：
$\bar x_i-\bar x_j$
顯著水平 $\alpha$ 下的拒絕法則：如果 $|\bar x_i-\bar x_j|>LSD$ ，則拒絕 $H_0$
其中： $LSD=t_{\alpha/2}\sqrt{MSE\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}$

在過濾系統(tǒng)的例子中，通過計算得到 $LSD=t_{\alpha/2}\sqrt{MSE\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}=2.179\sqrt{28.33\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\right)}=7.34$

計算后，我們可以把三個總體的樣本均值計算出來，比如總體1和總體3的樣本均值差為62-52=10>7.34，這就意味著我們拒絕認(rèn)為總體1和總體3均值相等。

Fisher的LSD方法的兩個總體均值之差的置信區(qū)間估計
$\bar x_i-\bar x_j \pm LSD$
$LSD=t_{\alpha/2}\sqrt{MSE\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}$
其中 $t_{\alpha/2}$ 是自由度為 $n_r-k$ 時，t分布的上側(cè)面積為 $\alpha/2$ 的t值。

如果置信區(qū)間包含數(shù)值0，則不能拒絕兩個總體均值相等的原假設(shè)。如果不包含則拒絕 $H_0$ 。

13.3.2 第一類錯誤

Fisher的LSD方法被稱為保護(hù)性或限制性LSD檢驗，這是因為只有當(dāng)我們首先找到一個用于方差分析的顯著的F值時，才能使用LSD檢驗。
第Ⅰ類錯誤概率和實驗方式的第Ⅰ類錯誤概率

image

我們都是用 $\alpha=0.05$ 的顯著水平，對每個檢驗來說犯 $第Ⅰ類錯誤的概率$ 為0.05，我們把這個概率稱作比較方式的第Ⅰ類錯誤概率，表示單個的兩兩比較相聯(lián)系的顯著性水平。
在三次檢驗中至少有一次犯第Ⅰ類錯誤的概率為 $1-0.95^3=0.1426$ ，我們稱這個概率為實驗方式的第Ⅰ類錯誤概率，記作 $\alpha_{EW}$
當(dāng)總體較多時，實驗方式的第Ⅰ類錯誤概率就會比較大。

如何控制 $\alpha_{EW}$ 呢？-使用Bonferrani修正方法
假設(shè)我們想要檢驗C個成對的兩兩比較（ $C=C_n^2$ ）
我們令 $\alpha=\frac{\alpha_{EW}}{C}$ ，例如針對5個總體，10種比較，想讓實驗方式的第Ⅰ類錯誤概率為0.05，則 $\alpha=\frac{\alpha_{EW}}{C}=\frac{0.05}{10}=0.005$

但是一類錯誤和二類錯誤是成反比的，所以如何去權(quán)衡是個問題。也有其他方法，如Turkey方法、Duncan多重區(qū)域檢驗等，哪種更優(yōu)有爭議。

13.4 隨機化區(qū)組設(shè)計

$F=\frac{MSTR}{MSE}$
有時外部因素（實驗中沒有考慮到的因素）引起MSE變大時，F(xiàn)將會變小。讓我們誤以為處理間沒有差異，但是事實上是存在的。

本節(jié)將會介紹隨機化區(qū)組設(shè)計（randomized block design）的實驗設(shè)計。這個方法主要是通過消除MSE來自外部的變異，來達(dá)到控制變異外部來源的目的。

13.4.1 空中交通管理員工作壓力測試

舉例：探究不同工作系統(tǒng)是否產(chǎn)生不同的壓力?，F(xiàn)有3種設(shè)計方案，我們要探究不同方案之間有多大差異。
管理者希望管理員個人的變異性是MSE項的主要貢獻(xiàn)者，將個人差異分離出來的一種辦法是使用隨機化區(qū)組設(shè)計。隨機化區(qū)組需要管理員的一個單樣本，分別在三個工作站接受檢驗。即工作站是影響因子，管理員是區(qū)組。（后面簡稱工作站為系統(tǒng)A、B和C）

每個個體都需要接受三次檢驗，檢驗順序也需要是隨機的。值是工作壓力的度量。

image

截屏2020-12-27 10.19.49

13.4.2 ANOVA方法

隨機化區(qū)組設(shè)計的ANOVA方法，要求我們將總平方和（SST）分解成：處理平方和（SSTR）、區(qū)組平方和（SSBL）和誤差平方和（SSE）。
$SST=SSTR+SSBL+SSE$

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k：處理的個數(shù)
b：區(qū)組的個數(shù)
$n_r=kb$ ：總樣本容量

隨機化區(qū)組設(shè)計，主要功能就是通過劃分區(qū)組，將個人的差異從MSE中剔除。

13.4.3 計算與結(jié)論

$x_{ij}$ 代表區(qū)組 $i$ 中對應(yīng)處理 $j$ 的觀測值
$\bar x_{.j}$ 代表第 $j$ 個處理的樣本均值
$\bar x_{i.}$ 代表第 $i$ 個區(qū)組的樣本均值
$\bar {\bar x}$

步驟：

計算平方和 $SST=\sum\limits_{i=1}^\sum\limits_{j=1}^{k}(x_{ij}-\bar {\bar x})^2$
計算處理平方和 $SSTR=b\sum\limits_{j=1}^{k}(x_{.j}-\bar {\bar x})^2$
計算區(qū)組平方和 $SSBL=k\sum\limits_{i=1}^(x_{i.}-\bar {\bar x})^2$
計算誤差平方和 $SSE=SST-SSTR-SSBL$

計算得到：

image

F=\frac{MSTR}{MSE}=\frac{10.5}{1.9}=5.53

分子、分母對應(yīng)自由度為2和10，在F=5.53時的上側(cè)面積即p-值為0.024<0.05則我們拒絕

H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3

上述的例子是完全區(qū)組設(shè)計，即每個區(qū)組都要做k個處理。對應(yīng)不完全區(qū)組設(shè)計，即某些（不是全部）處理被用于每個區(qū)組（如每個人都完成了系統(tǒng)A和B的檢驗，只有個別人完成了系統(tǒng)C的檢驗）

注釋：
由于有b個區(qū)組，使得自由度減少了b-1，所以隨機化區(qū)組設(shè)計的誤差自由度小雨完全隨機化設(shè)計的誤差自由度。如果n很小，因為誤差自由度的減少，區(qū)組的潛在影響可能被掩蓋；當(dāng)n很大時，這種影響被最小化了。

13.5 析因?qū)嶒?/h3>
有時，我們需要得到一個以上變量或因子的統(tǒng)計結(jié)論。析因?qū)嶒灒╢actorial experiment）是一種實驗設(shè)計。

舉例：GMAT考試（商學(xué)院研究生考試），分?jǐn)?shù)在200～800之間?，F(xiàn)在有3種GMAT輔導(dǎo)課程?？忌究苼碜?種類型的院校。對應(yīng)有9種處理組合，每個處理組合容量為2，意味著有兩個復(fù)制。
從種類型學(xué)校，每個學(xué)校取6人，分三組，隨機分配到一個輔導(dǎo)課程。

image

我們希望得到的答案：

主影響（因子A）：輔導(dǎo)課程的不同是否對GMAT成績有影響。

主影響（因子B）：本科院校的不同是否對GMAT成績有影響。

交互影響（因子A和B）：輔導(dǎo)課程類型的影響是否取決于本科院校。

13.5.1 ANOVA方法

兩因子析因?qū)嶒灥腁NOVA方法要求我們將總平方和（SST）分為四個部分：因子A的平方和（SSA）、因子B的平方和（SSB）、交互作用的平方和（SSAB）、誤差平方和（SSE）。
$SST=SSA+SSB+SSAB+SSE$

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a代表因子A的水平數(shù)
b代表因子B的水平數(shù)
r代表復(fù)制的個數(shù)
$n_r=abr$ 觀測值總數(shù)

15.5.2 計算與結(jié)論

$x_{ijk}$ 對應(yīng)因子A處理i和因子B的處理j的第k次重復(fù)
$\bar x_{i.}$ 處理i（因子A）的觀測值樣本均值
$\bar x_{.j}$ 處理j（因子B）的觀測值樣本均值
$\bar x_{ij}$ 對應(yīng)處理i（因子A）和處理j（因子B）的組合觀測值樣本均值
$\bar {\bar x}$ 即 $n_r$ 個觀測值的總樣本均值

計算總平方和 $SST=\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^\sum\limits_{k=1}^{r}(x_{ijk}-\bar {\bar x})^2$
計算因子A的平方和 $SSA=br\sum\limits_{i=1}^{a}(\bar x_{i.}-\bar {\bar x})^2$
計算因子B的平方和 $SSB=ar\sum\limits_{j=1}^(\bar x_{.j}-\bar {\bar x})^2$
計算交互作用的平方和 $SSAB=r\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^(\bar x_{ij}-\bar x_{i.}-\bar x_{.j}+\bar {\bar x})^2$
計算誤差平方和 $SSE=SST-SSA-SSB-SSAB$

得到計算結(jié)果：

image

一般中型到大型的析因?qū)嶒炛猩婕按罅坑嬎?，需要用計算機。

image

綜上，

課程（因子A）對GMAT成績影響，差異不顯著。
本科院校（因子B）對GMAT成績影響，差異顯著
最后交互影響由于p-值>0.05，即不存在顯著的交互作用的影響。

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第十三章實驗設(shè)計與方差分析

第十三章實驗設(shè)計與方差分析

第十三章實驗設(shè)計與方差分析

13.1 實驗設(shè)計和方差分析簡介

13.1.1 數(shù)據(jù)收集

13.1.2 方差分析的假定

13.1.3 方差分析：概念性綜述

13.2 方差分析和完全隨機化實驗設(shè)計

13.2.1 總體方差的處理間估計

13.2.2 總體方差的處理內(nèi)估計

13.2.3 方差估計量的比較： $F$ 檢驗

13.2.4 ANOVA表

13.2.5 方差分析的計算機輸出結(jié)果

13.2.6 k個總體均值相等的檢驗：一項觀測性研究

13.3 多重比較方法

13.3.1 Fisher的LSD方法

Fisher的LSD方法：

13.3.2 第一類錯誤

13.4 隨機化區(qū)組設(shè)計

13.4.1 空中交通管理員工作壓力測試

13.4.2 ANOVA方法

13.4.3 計算與結(jié)論

13.5.1 ANOVA方法

15.5.2 計算與結(jié)論

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第十三章 實驗設(shè)計與方差分析

第十三章 實驗設(shè)計與方差分析

13.1 實驗設(shè)計和方差分析簡介

13.1.1 數(shù)據(jù)收集

13.1.2 方差分析的假定

13.1.3 方差分析：概念性綜述

13.2 方差分析和完全隨機化實驗設(shè)計

13.2.1 總體方差的處理間估計

13.2.2 總體方差的處理內(nèi)估計

13.2.3 方差估計量的比較：檢驗

13.2.4 ANOVA表

13.2.5 方差分析的計算機輸出結(jié)果

13.2.6 k個總體均值相等的檢驗：一項觀測性研究

13.3 多重比較方法

13.3.1 Fisher的LSD方法

Fisher的LSD方法：

13.3.2 第一類錯誤

13.4 隨機化區(qū)組設(shè)計

13.4.1 空中交通管理員工作壓力測試

13.4.2 ANOVA方法

13.4.3 計算與結(jié)論

13.5.1 ANOVA方法

15.5.2 計算與結(jié)論

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第十三章實驗設(shè)計與方差分析

第十三章實驗設(shè)計與方差分析

13.2.3 方差估計量的比較： $F$ 檢驗