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???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 第一部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)課程

聲明：題目是我從同學(xué)分享那獲取的，有可能出現(xiàn)抄錯(cuò)題目的情況。試題解析是本人自己做的，再根據(jù)教材理論來(lái)完成本文編寫(xiě)，簡(jiǎn)書(shū)公式保存有時(shí)候會(huì)出問(wèn)題，如發(fā)現(xiàn)答案有錯(cuò)誤或者不夠準(zhǔn)確請(qǐng)及時(shí)給我留言，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)表明出處。感謝所有提出意見(jiàn)和建議，以及幫助過(guò)我的朋友。如果覺(jué)得還行，歡迎點(diǎn)贊轉(zhuǎn)發(fā)，謝謝！

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （共40 分）

一、用邏輯符號(hào)表達(dá)下列語(yǔ)句（每小題2 分，共4 分）

1. 有些人運(yùn)氣好，但并非所有人都運(yùn)氣好。

解析：P(x) : x 是人， Q(x)： x運(yùn)氣好， R(x,y)： $x \neq y$

$\exists x (P(x) \land Q(x) \land ┐\forall y (P(y) \land R(x,y) \rightarrow Q(y) ))$

2. 不管黃狗還是花狗，能夠看家護(hù)院就是好狗。

解析：P(x) : x 是狗， Q(x)： x是黃色， R(x)： x是花色，S(x) ：x看家護(hù)院，T(x)：x是好狗

$\forall x P(x) \land (Q(x) \lor R(x)) \land S(x) \rightarrow T(x)$

二、填空題（每小題2 分，共12 分）

1. 設(shè)A?={1,2,3,4}, B?={a,b,c}，從A?到B?不同的二元關(guān)系共有_4096_個(gè)。從A?到B?不同的函數(shù)共有__81_? 個(gè)。

解析：第一空|A| = 4, |B| = 3,因此A到B的不同二元關(guān)系個(gè)數(shù)為 $2^{|A|*|B|} = 2^{12}$ =1024*4=4096

第二空從A到B不同的函數(shù)個(gè)數(shù)為 $|B|^{|A|}= 3^4=81$

2. 設(shè)?|A|?=?n（即集合?A?的基數(shù)為?n），問(wèn)在?A?上有_ $2^{ \frac { n+n^2 }{2 }}$ __ 個(gè)不同的對(duì)稱關(guān)系。

解析：以矩陣來(lái)解析方便理解，以對(duì)角線分開(kāi)，對(duì)角線以下或以上包括對(duì)角線的元素個(gè)數(shù)為 $\frac{(1+n)*n}{2} = \frac{n+n^2}{2}$ , 因此，此時(shí)的對(duì)稱關(guān)系有 $2^{ \frac { n+ n^2 }{ 2 }}$ 個(gè)。

3．對(duì) $（2x_1-3x_2 + x_3 )^6$ 進(jìn)行展開(kāi)合并同類項(xiàng)后， ${x_1}^3 x_2 {x_3}^2$ ? 的系數(shù)是? __-1440_ 。

解析：【定理】設(shè)n是正整數(shù)，則對(duì)一切實(shí)數(shù) $x_1,x_2,x_3,...,x_t$ 則有 $(x_1+x_2+...+x_t) = \sum\nolimits_{} (_{n_1 n_2 ...n_t}^{n} ) {x_1}^{n_1}{x_2}^{n_2}...{x_t}^{n_t} =\sum\nolimits_{} ( \frac{n!}{n_1!*n_2! ...n_t! } ) {x_1}^{n_1}{x_2}^{n_2}...{x_t}^{n_t}$ ,因此原題的系數(shù)為 $\frac{6 !}{3!*1! *2! }(2^3 * (-3)^1* 1^2 ) = 60*8*(-3) = -1440$

4. 從?m?個(gè)人中選取?n?個(gè)人（n≤m）圍成一個(gè)圓桌就座，則不同的就座方法數(shù)是? $\frac{m!}{(n(m-n)!) }$ 。

解析：先從m中選取n個(gè)人，有 $C_{(m,n)} = \frac{m!}{n!(m-n)!}$

接著n個(gè)人圍成一圈排列為 $Q(n) = (n-1)!$

因此總排列數(shù)為： $C_{(m,n)} *Q_{(n) } = \frac{m!}{n!(m-n)!} * (n-1)! = \frac{m!}{n (m-n)!}$

5. 設(shè)?G?是頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為?n，邊數(shù)為?e，連通分支數(shù)為?k?的簡(jiǎn)單圖，T?是包含?G?的所有頂點(diǎn)的森林，則?G?的不在?T?中的邊有?__ e+k-n__ 條。

解析：分支數(shù)為k的簡(jiǎn)單圖，即有k棵樹(shù)，因此整個(gè)森林邊條數(shù)為 $(n_1-1)+(n_2-1)+...+(n_k -1) = n-k, (n_1+n_2+...+n_k = n)$

則該題中G?的不在?T?中的邊有 e-n+k條邊。

6. 設(shè)?u,v?是圖?G?的兩個(gè)不鄰接的頂點(diǎn)，S?是圖?G ?的頂點(diǎn)割集，且?u,v?是屬于?G—S?的兩個(gè)不同的連通分支，稱?S ?為一個(gè)?uv?分離集。設(shè)最小的?uv?分離集中所含頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為?a，且?G?中從?u?到?v?內(nèi)部不相交的路徑的最大條數(shù)為?b?，則?a ?和?b ?滿足的關(guān)系為(a=b) 。

解析：（僅供參考）在無(wú)向連通圖 G=(V,E)中：若對(duì)于x∈V，從圖中刪du去節(jié)點(diǎn)x以及所有與x關(guān)聯(lián)的邊之后， G分裂成兩個(gè)或兩個(gè)以上不相連的子圖，則稱x為G的割點(diǎn)。簡(jiǎn)而言之，割點(diǎn)是無(wú)向連通圖中的一個(gè)特殊的點(diǎn)，刪去中這個(gè)點(diǎn)后，此圖不再連通，而所以滿足這個(gè)條件的點(diǎn)所構(gòu)成的集合即為割點(diǎn)集合。根據(jù)Menge定理，圖的連通度為k，則任意點(diǎn)間必有k條不相交路徑。題中a即|S|，G中從u到v內(nèi)部不相交路徑最大條數(shù)b，因此要滿足a=b。

三、計(jì)算題（每個(gè)問(wèn)題4 分，共8 分）

設(shè) $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ 是?7 ?個(gè)互不相同的非零實(shí)數(shù)，?這七個(gè)數(shù)的全排列中， 數(shù) $a_i（i=1, …,7）$ 的原來(lái)位置是指第?i?個(gè)位置。求這七個(gè)數(shù)的全排列中：

（1） $a_1,a_3,a_5,a_7$ 都不在原來(lái)的位置上，而 $a_2,a_4,a_6$ 都在原來(lái)位置上的排列數(shù)目。

（2） $a_2,a_4,a_6$ 都不在原來(lái)位置上的排列數(shù)目。

解析：知識(shí)點(diǎn)是完全錯(cuò)排，用容斥原理來(lái)推斷。

(1) $a_1,a_3,a_5,a_7$ 完全錯(cuò)排 $D_4 =4!(1-\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} -\frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 4*3- 4 +1 =9$

(2) 用A,B,C表示 $a_2,a_4,a_6$ 都在原來(lái)位置上的排列集合，都不在原位即 $| \bar { A } \cap \bar{ B } \cap \bar{ C } | = |S| -|A \cup B \cup C|$

$= |S| -(|A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |C \cap B| + |A \cap B \cap C|)= 7! - (3*6! - 3*5! +4!)$

$=7! -76*4! = 134 * 4! = 3216$

四、證明題（第1，2 小題各4 分，第3 小題8 分，共16 分）

1．下列公式是否正確？如正確請(qǐng)證明，如錯(cuò)誤試舉出反例。(?x) (?y) (P(x)∧P(y) →Q(x,y)) =? (?x) (?y)?(P(x)∧P(y)∧?Q(x,y))

解析：公式正確，(?x) (?y) (P(x)∧P(y) →Q(x,y))? = (?x) (?y) ┐(P(x)∧P(y) ）∨Q(x,y)

=(?x) (?y) ┐((P(x)∧P(y) ）∧ ┐Q(x,y)) =(?x) (?y) ┐(P(x)∧P(y) ∧ ┐Q(x,y))

=(?x)┐ (?y) (P(x)∧P(y) ∧ ┐Q(x,y))

=┐(?x) (?y) (P(x)∧P(y) ∧ ┐Q(x,y)) ,得證。

2．用“≈”表示等勢(shì)，試證明(0,1] ≈ (a, b] (a, b∈R, a < b，R 為實(shí)數(shù)集)。

解析：只需找到集合(0,1]到(a,b]之間的一個(gè)雙射函數(shù) $f$ 證明即可，該函數(shù)滿足定義域?yàn)?0,1],值域滿足(a,b],可設(shè) $f(x) = kx+i , f(0) = a, f(1) = b.$ 可以求解出 i = a, k = b-a 求解得 $f(x) = (b-a)x+a$ ，因此得證(0,1] ≈ (a, b]

3．設(shè) $\{ a_1, a_2, …, a_n… \}$ 滿足 $??_?? = \sum_{k=1}^{?????} ??_????_{?????}$ ,且 $\{ a_1, a_2, …, a_n… \}$ 的母函數(shù)為 $A(x) = \sum_{n \geq 1}^{} ??_nx^n$ , $a_1 = 1$

（1）（4??分）證明? $A^2(x) - A(x) + x = 0$

（2）（4??分）證明 $a_n = \frac{1}{n} {( _{n-1} ^{2n-2})}$ ，n≥1，其中 ${( _{n-1} ^{2n-1})}$ 表示從?2n-2?個(gè)數(shù)中取出?n-1?個(gè)的組合數(shù)。

解析：(1) $A(x) = \sum_{n \geq 1}^{} ??_nx^n$ ，則 $A^2(x) = (\sum_{n= 1}^{∞} ??_nx^n)^2 = (\sum_{i= 1}^{∞} ??_ix^i)(\sum_{k = 1}^{∞} ??_k x^k) =\sum_{i = 1}^{∞} \sum_{k= 1}^{∞} ??_i ??_k x^{i+k}$ $??_?? = \sum_{k=1}^{?????} ??_????_{?????}$ ,n,i,k趨向于無(wú)窮,因此n可以表示為n = i+k ，n ≥ 2 可得

$A^2(x) = \sum_{n= 2}^{∞} ??_nx^n = \sum_{n= 1}^{∞} ??_nx^n - a_1x = A(x) -x$ ,

$A^2(x) = A(x) -x \Leftrightarrow A^2(x) - A(x) +x =0$ 得證。

(2)根據(jù)第一問(wèn)結(jié)論 $A^2(x) - A(x) +x =0$ ，利用一元二次方程的求根公式可以求出A(x)的兩個(gè)根： $A(x)_1 = \frac {1- \sqrt {1 - 4x} }{2} , A(x)_2 = \frac {1+ \sqrt{1 - 4x} }{2} ,$ 因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=A(x)%20%3D%20%5Csum_%7Bn%20%5Cgeq%201%7D%5E%7B%7D%20%20%F0%9D%92%82_nx%5En%20" alt="A(x) = \sum_{n \geq 1}^{} ??_nx^n " mathimg="1">，當(dāng)x = 0時(shí) A(x) = 0.因此要舍棄 $A(x)_2$ ，因此 $A(x) = \frac{1- \sqrt{1 - 4x} }{2} = \frac{1}{2} - \frac{(1-4x)^{\frac{1}{2} }}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1 }{2} (1-4x)^{\frac{1}{2}}$ ,?

由牛頓二項(xiàng)式推廣公式：

$(1+ax)^\frac{1}{2} = \sum_{n=0}^{∞ } \frac{ (-1)^{n-1}}{2^{2n-1} n } C_{(2n-2, n-1)}(a^n )x^n$

推理如下：

$(1+ax)^\frac{1}{2} = \sum_{n=0}^∞ C_{\frac{1}{2} } ^ n a^n x^n = 1 + \sum_{n=1}^∞ \frac { \frac {1 }{2} (\frac{1 }{2} -1) ( \frac {1 }{2} -2) ... (\frac{1 }{2} -n+1) }{n! } a^n x^n$

$= 1 + \sum_{n=1}^∞ \frac{(1 - 2) (1 -4) ... (1 -2n+2) }{2 ^n n!} a^n x^n = 1 + \sum_{n=1}^∞ \frac{(-1)^{n-1}1*3*5 ... (2n-3 ) }{2 ^n n!} a^n x^n$ -------式1

$(2n)! = 1*3*5*7*...*(2n-1)*2*4*6*...*2n = 1*3*5*7*...*(2n-1)* 2^n *n!$ ---------式2

把 n-1 = N 代入式2：

$(2(n-1))! = 1*3*5*7*...*(2(n-1)-1)*2*4*6*...*2(n-1) = 1*3*5*7*...*(2n-3)* 2^{(n-1)} *(n-1)!$ -----式3

式3代入式1得：

$1 + \sum_{n=1}^∞ \frac{(-1)^{n-1} (2(n-1))! }{2 ^n n! 2^{(n-1)} (n-1)! } a^n x^n = 1 + \sum_{n=1}^∞ \frac{(-1)^{n-1} (2(n-1))! }{2 ^{(2n-1)} n! (n-1)! } a^n x^n = 1 + \sum_{n=1}^∞ \frac{(-1)^{n-1} (2n-2))! }{2 ^{(2n-1)} n (n-1)! (n-1)! } a^n x^n$

$= 1 + \sum_{n=1}^∞ \frac{(-1)^{n-1} }{2 ^{(2n-1)} n }C_{2n-2}^{ n-1} a^n x^n$ 得證

把A(x)代入 $A(x)= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} *\sum_{n=0}^{∞ } \frac{ (-1)^{n-1}}{2^{2n-1} n } C_{(2n-2, n-1)}((-4)^n )x^n= \sum_{n=0}^{∞ } \frac{ (-1)^{n}}{2^{2n} n } C_{(2n-2, n-1)}((-1)^n2^n )x^n$

因此得到 $a_n = \frac{1}{n} {C_{( {2n-2,n-1})}} = \frac{1}{n} {( _{n-1} ^{2n-2})}$

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