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聲明：本人已經(jīng)在2020年通過了統(tǒng)考（之前時間記錯），解數(shù)學題也是我的業(yè)余愛好。本套試題的填空題解析補充是本人自己做的，如發(fā)現(xiàn)答案有錯誤或者不夠準確請及時給我留言，如需轉(zhuǎn)載請表明出處。感謝給我提供題目的同學們（本套題我是通過三位同學提供的路徑才合在一起的），感謝所有提出意見和建議。如果覺得還行，歡迎點贊轉(zhuǎn)發(fā)，謝謝！(由于簡書平臺的符號顯示異常，有時候會出現(xiàn)公式殘缺現(xiàn)象，集合中 $\bar{A}$ 是非A的意思，請網(wǎng)友知悉。)

一、用邏輯符號表達下列語句

1. 任何計算設備都可以求解某個問題。

解析：P(x): x是計算機設備，Q(x): x問題，R(x，y):x求解y，（存在用合取，任意用析取。）本題可以理解為：對于任意的計算機存在問題且能被計算機解決。

$?x(P(x) \rightarrow ?y( Q(y) ∧ R(x,y)))$

二、填空題

1. 設集合A={1, 2, 3, 4}，則集合A上有? 15? ? 種等價關(guān)系。

解析：使用第二類 Stirling 求其不同的劃分個數(shù) : $S ( 4 ,1 ) + S ( 4 ,2 ) + S ( 4 , 3 ) + S ( 4 , 4 )$

根據(jù)公式 : $S ( n , 1 ) = 1$ ? , 計算 Stirling 數(shù)的值 : $S ( 4 , 1 ) = 1$ $S ( 4 ,1 ) = 1$

根據(jù)公式 : $S(n,2) = 2^{n-1} - 1$ ,計算 Stirling 數(shù)的值 : $S(4,2)=2 ^{4?1} ?1=2^3 ?1=7$

根據(jù)公式: $S ( n , n ? 1 ) = C ( n , 2 )$ ( Stirling 數(shù)計算公式 ) ,計算 Stirling 數(shù)的值 : $S(4,3) = C(4,2) = 6$

據(jù)公式 : $S ( n , n )=1$ , 計算 Stirling 數(shù)的值 : $S(4,4)=1$

$S ( 4 ,1 ) + S ( 4 ,2 ) + S ( 4 , 3 ) + S ( 4 , 4 ) =1+7+6+1=15$

2. 設P是所有人的集合，R和S是集合P上的關(guān)系，R={<x,y> | x是y的父親}，S={<x,y> |x是y的母親} ，( $\forall x , \forall y \in? P$ )，當關(guān)系Q為 ? ? ? ? $S \circ? R^{-1}$ ? ? ? 時，xQy表示x是y的妻子。注：用R1OR2表示關(guān)系R1與R2的復合。

解析：本題考的是逆關(guān)系和復合關(guān)系，假設z是x的子女記作 $R^{-1}$ = {<z,y>| z 是y的子女}，S={<x,z> |x是z的母親}，根據(jù)復合關(guān)系： $x \rightarrow? z \rightarrow y$ 得 $Q = S \circ? R^{-1}$ ,得到答案。

3. 有5個男同學和3個女同學站成一排，如果沒有2個女同學相鄰，共有? ? 14400 ? ? 種不同的排法。

解析：男生的排法有 $P(5) = 5! = 5*4*3*2*1=120$ ,要求2個女生不能相鄰，則用插排，將3位女同學插排到5個同學的空當中間，5個男生（包括首尾）有6個空當，即女生的排法有 $P(6,3) = 6*5*4 = 120$ ，因此一共有 $P(5)*P(6,3)=120*120 = 14400$

4. 設G是有10個頂點的無奇圈的簡單連通圖，則G的著色數(shù)是? ? 2? ? ? （簡單圖的著色數(shù)是指相鄰的頂點著不同的顏色所需的最少顏色的個數(shù)）。

解析：【定理一】一個圖為二部圖當且僅當圖G中無奇圈。因此G為二部圖。而二部圖的著色數(shù)為2；

【定理二】圖G是2-可著色的當且僅當G是二部圖；因此可知該二部圖的著色數(shù)位為2。

【定理二】奇圈和奇數(shù)階輪圖都是3-色圖，而偶數(shù)階輪圖都是4-色圖。

5. 如果? $\frac{1}{(1-2x)^2}? = \sum\nolimits_{k=0}^∞? a_{k} x^k$ 則 $a_{k} =$ ? $(k+1) 2^k$ ? ?

解析：根據(jù)牛頓公式： $（1+ax）^n = \sum_{k=0}^∞C_{n}^ka^kx^k$ ，以及牛頓公式推廣公式 ${(1+ax)}^{-n} = \sum_{k=0}^∞{(-1)}^kC_{n+k-1}^ka^kx^k$ 題目中，a=-2，n=2，代入推廣公式可得： $a_k = (-1)^k C_{k+1}^k (-2)^k = C_{k+1}^k 2^k=(k+1)2^k$

三、計算題

1. 設個體域為{a, b, c}，試寫出公式(?x)P(x) →(?y)Q(y)的命題邏輯表達。

解析： 個體域{a,b,c} 對于邏輯命題量詞， $\exists? x$ 即是個體域做析取計算，而 $\forall y$ 則是對個體域做合取運算。因此得 $P(a) \lor P(b) \lor P(c) \rightarrow? Q(a) \land Q(b) \land Q(c)$

2. 寫出(﹁PVQ)→((Q∧﹁R)VP)的主析取范式和主合取范式（需寫出計算過程，且結(jié)果簡潔表示）。

解析：這個解析方法有兩種方法，在本題中就用真值表來做了，另外一種推導的就留給網(wǎng)友們自己推導：

真值表

則主析取范式為 $(﹁PVQ)→((Q∧﹁R)VP) = m_2 \lor? m_4 \lor m_5 \lor m_6 \lor m_7$

則主合取范式為? $(﹁PVQ)→((Q∧﹁R)VP) = M_0 \land M_1 \land M_3$

四、解答題

1. 設有四對夫妻圍一圓桌就坐，則至少有1對夫妻不相鄰的就坐方式有多少種。

解析：四對夫妻至少有一對夫妻不相連，即至多3對夫妻相鄰，可以理解成全排列減去4對夫妻相連，得到的就是至多有3對夫妻相鄰了。

四對夫妻8人全排列(圓周排列公式見我的公式集) $Q(8,8) = (8-1)! = 7!=5040$ ，4對夫妻相鄰的全排列分為兩個階段先女士圍成一圈 $Q(4,4) = 3! = 6$ ，再讓男士坐到自己的妻子身邊，每位男士有兩種坐法，坐到妻子左邊或者右邊，即 $2^4 = 16$ ，因此四對夫妻相鄰的排列有 $Q(4,4) * 2^4 = 6 *16 = 96$ ，則題中至少一對夫妻不相鄰的排列數(shù)為 $Q(8,8) - Q(4,4)*2^4 = 5040 - 96 = 4944$