第3篇：氣象學(xué)家的苦惱
表哥來訪
顧北的表哥叫小軍，在氣象局做數(shù)值天氣預(yù)報(bào)，那種每天早上刷新的“明天降水概率65%”就是他們組負(fù)責(zé)的。
那個周末，小軍到學(xué)校找顧北吃飯，飯桌上兩個人聊起各自的工作，越聊越覺得奇怪。
“你們預(yù)測股價，我們預(yù)測天氣，感覺是同一件事，”小軍說，“都是用歷史數(shù)據(jù)建模，然后預(yù)測未來。”
“但你們準(zhǔn)確率高多了，”顧北說，“你們說明天70%概率下雨，還挺準(zhǔn)的。我們說明天股票70%概率漲，基本上就是胡說?！?/p>
小軍想了想，“為什么？”
顧北把課程里的一段對比念給他聽：
氣象學(xué)家有實(shí)驗(yàn)室：可以在受控環(huán)境中反復(fù)驗(yàn)證氣流模型，相同的初始條件會產(chǎn)生相同的結(jié)果。
金融建模者沒有實(shí)驗(yàn)室：2008年的金融危機(jī)只發(fā)生過一次，沒法“重跑”一遍。歷史數(shù)據(jù)是唯一的原材料，但這段歷史里摻雜了太多無法控制的因素。
“這倒是，”小軍說，“但你們不是也有模型嗎？”
“有，但麻煩得多。天氣背后的物理規(guī)律是固定的——大氣的運(yùn)動遵循熱力學(xué)定律，幾億年沒變過。但金融市場背后是人，人會學(xué)習(xí)、會適應(yīng)、會改變行為。一個好用的量化策略，發(fā)現(xiàn)的人多了，套利機(jī)會就消失了?！?/p>
小軍皺了皺眉。“那你們怎么建模？”
“先接受一個事實(shí)——模型永遠(yuǎn)是近似的，不是真理?！鳖櫛闭f，“然后從歷史數(shù)據(jù)里找規(guī)律，能用就用，不能用就換。”
金融數(shù)據(jù)的兩個怪脾氣
顧北回到宿舍，繼續(xù)翻課程，看到了金融數(shù)據(jù)最重要的兩個特征——他覺得這兩個特征本身就像兩個小故事，值得細(xì)說。
第一個怪脾氣：厚尾。
正常情況下，我們學(xué)過正態(tài)分布——鐘形曲線，大部分結(jié)果集中在中間，極端結(jié)果越來越少，“萬年一遇”的事件幾乎不存在。
但金融市場不是這樣。
顧北看到了一段數(shù)據(jù)：
如果股市的日收益率是正態(tài)分布，那么單日跌幅超過5%，理論上應(yīng)該是幾千年才發(fā)生一次。
但實(shí)際上，過去100年的美股歷史里，這種“幾千年一遇”的事件發(fā)生了幾十次。
每一次市場動蕩——1987年黑色星期一、2000年科技股泡沫、2008年金融危機(jī)、2020年新冠恐慌——都是“按正態(tài)分布根本不該發(fā)生”的事。
這就是厚尾：真實(shí)的金融數(shù)據(jù)，極端事件發(fā)生的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于正態(tài)分布的預(yù)測。
“為什么會厚尾？”顧北問霍遠(yuǎn)。
“因?yàn)槭袌隼锏娜藭嗷ビ绊懀被暨h(yuǎn)說，“一個人開始賣出股票，別人看到價格下跌，也開始賣，然后觸發(fā)更多人賣——恐慌會自我放大。物理現(xiàn)象不會因?yàn)椤畡e的粒子也在動’就加速崩潰，但人會?？謶质怯袀魅拘缘?。”
這讓顧北想起了2020年疫情剛爆發(fā)時，網(wǎng)上那些搶購衛(wèi)生紙的視頻——沒有任何邏輯能解釋為什么衛(wèi)生紙會短缺，但所有人一看別人在搶，就也開始搶，直到貨架真的空了。
厚尾，是群體行為的產(chǎn)物。不是自然界的意外，是人性的必然。
第二個怪脾氣：波動率聚集。
顧北看到了課程里的一個描述：
打開任何一只股票的歷史走勢圖，你會發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：平靜時期的波動很小，而動蕩時期的波動很大，而且動蕩往往一段一段地出現(xiàn)，不是隨機(jī)散落的。
用更直白的話說：大波動的后面，往往跟著大波動；小波動的后面，往往跟著小波動。
就像臺風(fēng)——臺風(fēng)天接著臺風(fēng)天，晴天接著晴天，不是今天臺風(fēng)、明天晴、后天臺風(fēng)這樣隨機(jī)切換的。
這意味著什么？
意味著“今天市場很平靜”這個信息，確實(shí)對明天有預(yù)測價值——不是預(yù)測漲跌的方向，而是預(yù)測波動的大小。平靜期之后還是相對平靜，動蕩期之后還是相對動蕩。
“所以哪怕漲跌方向是隨機(jī)的，波動率本身是有規(guī)律的？”顧北問。
“對，”霍遠(yuǎn)說，“這就是為什么有一整套叫做GARCH的模型，專門用來建?！▌勇首约旱牟▌印Ｔ谄跈?quán)交易里，這非常有用——因?yàn)槠跈?quán)的定價核心就是波動率，能預(yù)測波動率，就能在期權(quán)市場上找到機(jī)會?！?/p>
為什么用“對數(shù)收益率”
課程里還解釋了一個技術(shù)性的問題，顧北覺得解釋得很清楚，就認(rèn)真抄了下來。
問題：衡量股價漲跌，為什么不直接用百分比（+5%、-3%），而要用“對數(shù)收益率”（log（今日價格/昨日價格））？
顧北一開始覺得這是在繞彎子，直到他看到了一個反例：
假設(shè)一只股票： - 第一天漲了50%，從100元漲到150元 - 第二天跌了50%，從150元跌到75元
兩天的百分比加起來：+50% + （-50%） = 0%，感覺兩天打平了。
但實(shí)際上，股價從100跌到了75，你虧了25%！
問題就在這里：百分比不能直接相加，因?yàn)榛鶖?shù)變了。漲了50%再跌50%，是在不同的基數(shù)上做的運(yùn)算，并不對稱。
但對數(shù)收益率沒有這個問題。對數(shù)有一個性質(zhì)：加法等于乘法。把每天的對數(shù)收益率加起來，就等于總的對數(shù)收益率。無論中間經(jīng)歷了多少漲跌，最終結(jié)果是數(shù)學(xué)上一致的。
顧北把這段解釋發(fā)給了小軍，讓他給評價一下。
小軍回了一條消息：“就像海拔——你從100米爬到150米，再從150米下降到75米，總的海拔變化是-25米。不管你中間走了多少路，最終就是少了25米。這個比喻我懂，所以你那個對數(shù)收益率，就是把百分比變化換成了一個可以直接相加的量，不會因?yàn)榛鶖?shù)變了而算錯?！?/p>
顧北把這個比喻記了下來。
建模是妥協(xié)的藝術(shù)
到這里，顧北開始理解金融建模的本質(zhì)了。
不是“找到真理”，而是“找到足夠有用的近似”。
金融數(shù)據(jù)有厚尾——大多數(shù)模型還是用正態(tài)分布，因?yàn)樗銐蚝唵危以诖蠖鄶?shù)情況下誤差可以接受。
金融數(shù)據(jù)有波動率聚集——更精細(xì)的模型（GARCH）可以捕捉這個特征，但代價是模型更復(fù)雜。
沒有一個模型能捕捉所有特征，而一個試圖捕捉所有特征的模型，復(fù)雜到?jīng)]法用。
模型是妥協(xié)。 你決定對哪些特征保真，對哪些特征忽略，取決于你要解決的問題。
顧北在筆記本上寫下一句話：
所有模型都是錯的，但有些模型是有用的。
這句話是統(tǒng)計(jì)學(xué)家喬治·博克斯說的，顧北覺得它適用于一切——不只是金融。
然后他翻到了下一篇的開頭，看到了1827年的花粉，看到了愛因斯坦，看到了布朗運(yùn)動——那個最重要的連續(xù)時間隨機(jī)模型。
花粉為什么在水里跳舞？
這個問題，一個英國植物學(xué)家困惑了一輩子，卻被一個瑞士專利局的小職員解答了。而這個答案，在快100年后，成了華爾街最值錢的數(shù)學(xué)工具。
這就是下一篇的故事。
