? ? ? 在正式學(xué)習(xí)11到20各數(shù)的認(rèn)識(shí)之前，在兒童的內(nèi)在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，前景觀念有:10以內(nèi)數(shù)的觀念——涵蓋相應(yīng)的類觀念和序概念，10以內(nèi)的加減法運(yùn)算觀念——涵蓋相應(yīng)的類合并觀念和類拆分觀念，以及離散數(shù)守恒觀念。背景觀念有:10以上的數(shù)觀念——會(huì)用十進(jìn)制計(jì)數(shù)，但不明白為什么可以這樣計(jì)數(shù)；10以上的加、減法運(yùn)算觀念——能夠進(jìn)行常見(jiàn)的進(jìn)位加法（甚至是退位減法），但是不明白為什么可以這樣做。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 任意一個(gè)小于10的數(shù)，既可以表示一個(gè)集合中元素的數(shù)量——基數(shù)，這個(gè)數(shù)量跟具體元素的物理性質(zhì)是毫無(wú)關(guān)系的，又可以表示某個(gè)元素在一個(gè)排好的序列中是第幾個(gè)。所以當(dāng)一個(gè)集合的元素超過(guò)10個(gè)時(shí)，兒童可以自動(dòng)的將基數(shù)觀念和序數(shù)觀念進(jìn)行恰當(dāng)?shù)臄U(kuò)充和拓展，以適應(yīng)集合元素增多的變化。? ? ? ? ? ? 要想準(zhǔn)確地表示一個(gè)數(shù)，十進(jìn)制（進(jìn)位制）與位值制就需要密切配合。前者決定了表示任意一個(gè)數(shù)至少需要幾個(gè)不同的數(shù)字符號(hào)（十進(jìn)制計(jì)數(shù)法就需要10個(gè)不同的阿拉伯?dāng)?shù)字，如果是二進(jìn)制，就僅需要兩個(gè)不同的數(shù)字）；后者決定了不同位置上的數(shù)字所表示的真實(shí)數(shù)量。例如數(shù)字23（十進(jìn)制），其中的2處于十位上，所以，它就表示2個(gè)十或者20個(gè)一；而數(shù)字3處于個(gè)位上，所以它只能表示3個(gè)一。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 位值制與十進(jìn)制相互依存，只有二者密切配合，才能準(zhǔn)確地表示一個(gè)數(shù)字。如數(shù)字11，如果左邊的1代表一個(gè)十，右邊的1代表1個(gè)一，它就是一個(gè)用十進(jìn)制表示的數(shù)字；如果左邊的1代表1個(gè)二，右邊的1代表1個(gè)一，它就是一個(gè)用二進(jìn)制表示的數(shù)字。? ? ? ?
第一階段:遠(yuǎn)古人類是怎樣計(jì)數(shù)的? ? ? ? ? ? 第一板塊:思考、討論遠(yuǎn)古人的計(jì)數(shù)方法? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在很久很久以前，生活在原始部落的人們。每天早上都要外出打獵，晚上回來(lái)大家圍成一個(gè)圈坐在一起分配獵物。但是，在分配獵物之前，他們必須得知道今天一共收獲了多少獵物呀！一開(kāi)始，他們總是吵吵嚷嚷，怎么也說(shuō)不清獵物的數(shù)量，這可怎么辦呢？你們能幫他們想一個(gè)好辦法嗎？? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （打一個(gè)獵物，掰一個(gè)手指，因?yàn)槊總€(gè)人都有一雙手） 最開(kāi)始的時(shí)候，人類還沒(méi)有發(fā)明甲骨文，也沒(méi)有創(chuàng)造出阿拉伯?dāng)?shù)字1、2、3……人們一開(kāi)始打獵的時(shí)候，還不是很熟悉，也不知道什么地方的獵物比較多，怎么才能捕捉到獵物，所以，打的獵物好少呀！他們是可以很快掰手指數(shù)清楚的。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可是慢慢地，日子長(zhǎng)了，他們有了打獵的經(jīng)驗(yàn)。突然有一天，打了12只兔子，手指不夠用了，這怎么辦呢？ （加上腳趾）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20以內(nèi)的獵物，對(duì)于遠(yuǎn)古人來(lái)說(shuō)，是沒(méi)有問(wèn)題的，是可以數(shù)清楚的?？墒锹模瑫r(shí)間長(zhǎng)了，遠(yuǎn)古人類有了打獵的經(jīng)驗(yàn)，也能摸到獵物出現(xiàn)的規(guī)律了，每天打的獵物漸漸多了起來(lái)。22個(gè)、33個(gè)、55個(gè)等，他們發(fā)現(xiàn)僅僅用自己的手指、腳趾來(lái)計(jì)數(shù)獵物，實(shí)在是太不方便了。那么，到底有沒(méi)有什么東西可以代替手指頭來(lái)當(dāng)他們新的計(jì)數(shù)工具呢？ （蓋了章是石子、小木棍）? ? ? ? ? ? 把繩子打成結(jié)來(lái)數(shù)數(shù)的方法，叫打結(jié)計(jì)數(shù)，也叫結(jié)繩計(jì)數(shù)。遠(yuǎn)古人也和同學(xué)們一樣聰明，他們很快就發(fā)現(xiàn)石子、小木棍、用草繩（和藤條）打成的繩結(jié)等，都可以作為新的計(jì)數(shù)工具。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第二板塊:遭遇新問(wèn)題，展開(kāi)對(duì)話交流? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 但是，他們很快又遭遇到了新的問(wèn)題:當(dāng)獵物一多的時(shí)候，手頭上的石子、木棍、草繩可能就不夠用了；而且，即便是可以迅速找到更多的石子、更多的木棍，還有更長(zhǎng)的草繩，但是看著一堆石子，一大堆木棍，還有那么多的密密麻麻的繩結(jié)，也仍然讓人抓狂，頭大呀。? ? ? ? ? ? 某些遠(yuǎn)古人就像你一樣有智慧，很快就想出了一個(gè)好辦法:把一堆跟一雙手的手指頭一樣多的木棍捆起來(lái)，作為一個(gè)新的計(jì)數(shù)工具。（10個(gè)小棒是一捆）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 這樣計(jì)數(shù)，數(shù)獵物就方便多了！例如，如果某一天獵物數(shù)正好是5捆4根，這可比把一樣數(shù)量的木棍混亂地放在一起看起來(lái)要清晰的多。再后來(lái)那個(gè)擅長(zhǎng)結(jié)繩計(jì)數(shù)的人，也受到啟發(fā)，發(fā)明了更簡(jiǎn)單的方法:用兩根繩子，一根繩子上的一根繩結(jié)，表示一捆，而另一根繩子上的一個(gè)繩結(jié)仍然表示一根。（5捆4根可以怎么用結(jié)繩計(jì)數(shù)表示）
? ? ? ? 在很漫長(zhǎng)很漫長(zhǎng)的歷史發(fā)展過(guò)程中，我們中國(guó)人同步發(fā)明創(chuàng)造了從一到十表示數(shù)量的十個(gè)甲骨文；而古印度人發(fā)明創(chuàng)造了從0到9，也同樣用來(lái)表示數(shù)量的阿拉伯?dāng)?shù)字。猜一猜，為什么都是10個(gè)符號(hào)呢？? ? ? ? 也許跟每一個(gè)人都正好有10根手指有關(guān)，因?yàn)閺墓艔倪h(yuǎn)古到現(xiàn)在，我們?nèi)祟惖膭趧?dòng)都離不開(kāi)雙手呀。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第二階段:用算珠計(jì)數(shù)器表示數(shù)字? ? ? ? ? ? ? ? 第一板塊:用算珠計(jì)數(shù)器撥10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)的歲月，草繩計(jì)數(shù)器慢慢演變成了我們今天所看到的算珠計(jì)數(shù)器，這個(gè)神奇的新工具和草繩計(jì)數(shù)器相比，看起來(lái)簡(jiǎn)單多了，不再麻煩的打繩結(jié)啦。? ? ? ? ? ? 多列數(shù)珠可以表示出更大的數(shù)，不同位置上的算珠表示的意思也不同（試著撥一撥，1個(gè)十就是用個(gè)位上的10個(gè)一換來(lái)的）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第二板塊:討論十進(jìn)制數(shù)字的位值含義? ? ? ? 撥數(shù)挑戰(zhàn)規(guī)則:我來(lái)讀數(shù)，請(qǐng)你在計(jì)數(shù)器上準(zhǔn)確地表示出來(lái)（撥珠，說(shuō)組成，多種方法表示，分組撥珠讀數(shù)）。
? ? ? 第三階段:制作數(shù)字圓盤或數(shù)字樹(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? 第一板塊:任意拆分棋子 （任務(wù):拆分13顆棋子，拆成2堆、3堆、4堆、5堆等）讓學(xué)生從10到20中挑選一個(gè)數(shù)字來(lái)拆分，邊分邊畫(huà)出數(shù)字樹(shù)。（分3堆，可以用三角形表示不同的拆分方法，分4堆用正方形，5堆是五邊形或五角星）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第二板塊:按規(guī)律來(lái)拆分（任務(wù):還是13顆棋子，2個(gè)2個(gè)分，3個(gè)3個(gè)分，4個(gè)4個(gè)分……）
第三板塊:數(shù)學(xué)作品展示
? ? ? 第四階段:數(shù)軸游戲
? ? ? 對(duì)應(yīng)前一階段制作的數(shù)字樹(shù)、數(shù)字圓盤、數(shù)字多邊形盤，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)字軸上的跳格子游戲，并結(jié)合游戲，解釋相應(yīng)的加法和減法算式。
? ? ? 第五階段:數(shù)字接龍游戲
? ? ? 第一板塊:玩數(shù)字接龍游戲
? ? ? 1.從1開(kāi)始，隔一個(gè)數(shù)接龍。第一個(gè)兒童數(shù)1，第二個(gè)兒童數(shù)3，第三個(gè)兒童數(shù)5，依次是:1，3，5，7……29……
? ? ? 2，從0開(kāi)始，依次加2接龍:0，2，4，6……
? ? ? ? 3，從1開(kāi)始，隔兩個(gè)數(shù)接龍（也就是依次加3）:第一個(gè)兒童數(shù)1，第二個(gè)兒童數(shù)4，第三個(gè)兒童數(shù)7，依次是1，4，7，10……18……
? ? ? 4.從0開(kāi)始，依次加3接龍:0，3，6，9，12……
? ? ? 5.從1開(kāi)始，依次加4接龍（隔三個(gè)數(shù)接龍）
? ? ? 6.從0開(kāi)始，依次加4接龍
? ? ? 7.從0開(kāi)始，依次加5接龍
? ? ? 8.從1開(kāi)始，依次加5接龍（隔四個(gè)數(shù)接龍）
? ? ? 9.從0開(kāi)始，依次加6接龍
? ? ? 10.從0開(kāi)始，依次加7、8、9、10接龍
? ? ? ? 11.在數(shù)軸上重復(fù)上述游戲
? ? ? ? 12.按1——2——1的節(jié)奏接龍:第一個(gè)兒童數(shù)1，第二個(gè)兒童數(shù)2，3，第三個(gè)兒童數(shù)4，第四個(gè)兒童數(shù)5，6，第五個(gè)兒童數(shù)7，第六個(gè)兒童數(shù)8，9，依次進(jìn)行。
? ? ? 13.從30開(kāi)始，按照上面規(guī)則倒數(shù)接龍
? ? ? 14.自定規(guī)則，兩人一組，進(jìn)行數(shù)字接龍游戲
? ? ? 15.自定規(guī)則，四人一組，進(jìn)行數(shù)字接龍游戲。
? ? ? 第二板塊:游戲過(guò)程用數(shù)軸表示
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