使用python和pygame繪制繁花曲線的方法

真實的繁花曲線使用一種稱為繁花曲線規(guī)的小玩意繪制，繁花曲線規(guī)由相互契合大小兩個圓組成，用筆插在小圓上的一個孔中，緊貼大圓的內(nèi)壁滾動，就可以繪制出漂亮的圖案。這個過程可以做一個抽象：有兩個半徑不相等的圓，大圓位置固定，小圓在大圓內(nèi)部，小圓緊貼著大圓內(nèi)壁滾動，求小圓上的某一點走過的軌跡。

進(jìn)一步分析，小圓的運動可以分解為兩個部分：小圓圓心繞大圓圓心公轉(zhuǎn)、小圓繞自身圓心自轉(zhuǎn)。設(shè)大圓圓心為A，半徑為Ra，小圓圓心為B，半徑為Rb，軌跡點為C，半徑為Rc(BC距離)，設(shè)小圓公轉(zhuǎn)的弧度為θ [0,∞)，如圖：

因為大圓的圓心坐標(biāo)是固定的，要求得小圓上的某點的軌跡，需要先求出小圓當(dāng)前時刻的圓心坐標(biāo)，再求出小圓自轉(zhuǎn)的弧度，最后求出小圓上某點的坐標(biāo)。

第一步：求小圓圓心坐標(biāo)

小圓圓心的公轉(zhuǎn)軌跡是一個半徑為 RA- RB 的圓，求小圓圓心坐標(biāo)，相當(dāng)于是求半徑為 RA- RB 的圓上θ 弧度對應(yīng)的點的坐標(biāo)。

圓上的點的坐標(biāo)公式為：

x = r * cos(θ), y = r * sin(θ)

小圓圓心坐標(biāo)為：( xa+ (Ra - Rb) * cos(θ), ya + (Ra - Rb) * sin(θ) )

第二步：求小圓自轉(zhuǎn)弧度

設(shè)小圓自轉(zhuǎn)弧度為α，小圓緊貼大圓運動，兩者走過的路程相同，因此有：

Ra *θ = Rb *α

小圓自轉(zhuǎn)弧度α = (Ra / Rb) *θ

第三步：求點C坐標(biāo)

點C相對小圓圓心B的公轉(zhuǎn)軌跡是一個半徑為 Rc 的圓，類似第一步，有：

軌跡點C的坐標(biāo)為：( xa+ Rc* cos(θ), ya+ Rc* sin(θ))

按照以上算法分析，用python代碼實現(xiàn)如下：

# -*- coding: utf-8 -*-

import math

'''
功能：
  已知圓的圓心和半徑，獲取某弧度對應(yīng)的圓上點的坐標(biāo)
入?yún)ⅲ?  center：圓心
  radius：半徑
  radian：弧度
'''
def get_point_in_circle(center, radius, radian):
  return (center[0] + radius * math.cos(radian), center[1] - radius * math.sin(radian))

'''
功能：
  內(nèi)外圓A和B，內(nèi)圓A沿著外圓B的內(nèi)圈滾動，已知外圓圓心、半徑，已知內(nèi)圓半徑，已知公轉(zhuǎn)弧度和繞點半徑，計算繞點坐標(biāo)
入?yún)ⅲ?  center_A：外圓圓心
  radius_A：外圓半徑
  radius_B：內(nèi)圓半徑
  radius_C：繞點半徑
  radian：公轉(zhuǎn)弧度
'''
def get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, radian):
  # 計算內(nèi)圓圓心坐標(biāo)
  center_B = get_point_in_circle(center_A, radius_A - radius_B, radian)
  # 計算繞點弧度（公轉(zhuǎn)為逆時針，則自轉(zhuǎn)為順時針）
  radian_C = 2.0*math.pi - ((radius_A / radius_B * radian) % (2.0*math.pi))
  # 計算繞點坐標(biāo)
  return get_point_in_circle(center_B, radius_C, radian_C)

有兩點需要注意：

（1）屏幕坐標(biāo)系左上角為原點，垂直向下為Y正軸，與數(shù)學(xué)坐標(biāo)系Y軸方向相反，所以第14行Y坐標(biāo)為減法；

（2）默認(rèn)公轉(zhuǎn)為逆時針，則自轉(zhuǎn)為順時針，所以第30行求自轉(zhuǎn)弧度時，使用了2π - α%(2π)；

坐標(biāo)已經(jīng)計算出來，接下來使用pygame繪制。思想是以0.01弧度為一個步長，不斷計算出新的坐標(biāo)，把一系列坐標(biāo)連起來就會形成軌跡圖。

為了能夠形成一個封閉圖形，還需要知道繪制點什么時候會重新回到起點。想了一個辦法，以X軸正半軸為基準(zhǔn)線，每次繪制點到達(dá)基準(zhǔn)線，計算此時繪制點與起點的距離，達(dá)到一定精度認(rèn)為已經(jīng)回到起點，形成封閉圖形。

''' 計算兩點距離（平方和） '''
def get_instance(p1, p2):
  return (p1[0] - p2[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (p1[1] - p2[1]) * (p1[1] - p2[1])
  
'''
功能：
  獲取繞點路徑的所有點的坐標(biāo)
入?yún)ⅲ?  center：外圓圓心
  radius_A：外圓半徑
  radius_B：內(nèi)圓半徑
  radius_C：繞點半徑
  shift_radian：每次偏移的弧度，默認(rèn)0.01，值越小，精度越高，計算量越大
'''
def get_points(center, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian=0.01):
  # 轉(zhuǎn)為實數(shù)
  radius_A *= 1.0
  radius_B *= 1.0
  radius_C *= 1.0
  
  P2 = 2*math.pi # 一圈的弧度為 2PI
  R_PER_ROUND = int(P2/shift_radian/4) + 1 # 一圈需要走多少步（弧度偏移多少次）
  
  # 第一圈的起點坐標(biāo)
  start_point = get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, 0)
  points = [start_point]
  # 第一圈的路徑坐標(biāo)
  for r in range(1, R_PER_ROUND):
    points.append(get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian*r))
  
  # 以圈為單位，每圈的起始弧度為 2PI*round，某圈的起點坐標(biāo)與第一圈的起點坐標(biāo)距離在一定范圍內(nèi)，認(rèn)為路徑結(jié)束
  for round in range(1, 100):
    s_radian = round*P2
    s_point = get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian)
    if get_instance(s_point, start_point) < 0.1:
      break
    points.append(s_point)
    for r in range(1, R_PER_ROUND):
      points.append(get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian + shift_radian*r))
    
  return points

再加上繪制代碼，完整代碼如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
import math
import random

'''
功能：
  已知圓的圓心和半徑，獲取某弧度對應(yīng)的圓上點的坐標(biāo)
入?yún)ⅲ?  center：圓心
  radius：半徑
  radian：弧度
'''
def get_point_in_circle(center, radius, radian):
  return (center[0] + radius * math.cos(radian), center[1] - radius * math.sin(radian))

'''
功能：
  內(nèi)外圓A和B，內(nèi)圓A沿著外圓B的內(nèi)圈滾動，已知外圓圓心、半徑，已知內(nèi)圓半徑、公轉(zhuǎn)弧度，已知繞點半徑，計算繞點坐標(biāo)
入?yún)ⅲ?  center_A：外圓圓心
  radius_A：外圓半徑
  radius_B：內(nèi)圓半徑
  radius_C：繞點半徑
  radian：公轉(zhuǎn)弧度
'''
def get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, radian):
  # 計算內(nèi)圓圓心坐標(biāo)
  center_B = get_point_in_circle(center_A, radius_A - radius_B, radian)
  # 計算繞點弧度（公轉(zhuǎn)為逆時針，則自轉(zhuǎn)為順時針）
  radian_C = 2.0*math.pi - ((radius_A / radius_B * radian) % (2.0*math.pi))
  # 計算繞點坐標(biāo)
  center_C = get_point_in_circle(center_B, radius_C, radian_C)
  center_B_Int = (int(center_B[0]), int(center_B[1]))
  return center_B_Int, center_C

''' 計算兩點距離（平方和） '''
def get_instance(p1, p2):
  return (p1[0] - p2[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (p1[1] - p2[1]) * (p1[1] - p2[1])
  
'''
功能：
  獲取繞點路徑的所有點的坐標(biāo)
入?yún)ⅲ?  center：外圓圓心
  radius_A：外圓半徑
  radius_B：內(nèi)圓半徑
  radius_C：繞點半徑
  shift_radian：每次偏移的弧度，默認(rèn)0.01，值越小，精度越高，計算量越大
'''
def get_points(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian=0.01):
  # 轉(zhuǎn)為實數(shù)
  radius_A *= 1.0
  radius_B *= 1.0
  radius_C *= 1.0
  
  P2 = 2*math.pi # 一圈的弧度為 2PI
  R_PER_ROUND = int(P2/shift_radian) + 1 # 一圈需要走多少步（弧度偏移多少次）
  
  # 第一圈的起點坐標(biāo)
  start_center, start_point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, 0)
  points = [start_point]
  centers = [start_center]
  # 第一圈的路徑坐標(biāo)
  for r in range(1, R_PER_ROUND):
    center, point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian*r)
    points.append(point)
    centers.append(center)
  
  # 以圈為單位，每圈的起始弧度為 2PI*round，某圈的起點坐標(biāo)與第一圈的起點坐標(biāo)距離在一定范圍內(nèi)，認(rèn)為路徑結(jié)束
  for round in range(1, 100):
    s_radian = round*P2
    s_center, s_point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian)
    if get_instance(s_point, start_point) < 0.1:
      break
    points.append(s_point)
    centers.append(s_center)
    for r in range(1, R_PER_ROUND):
      center, point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian + shift_radian*r)
      points.append(point)
      centers.append(center)  
  print(len(points)/R_PER_ROUND)    
  return centers, points

import pygame
from pygame.locals import *

pygame.init()
screen = pygame.display.set_mode((600, 400))
clock = pygame.time.Clock()

color_black = (0, 0, 0)
color_white = (255, 255, 255)
color_red = (255, 0, 0)
color_yello = (255, 255, 0)

center = (300, 200)
radius_A = 150
radius_B = 110
radius_C = 50

test_centers, test_points = get_points(center, radius_A, radius_B, radius_C)
test_idx = 2
draw_point_num_per_tti = 5

while True:
  for event in pygame.event.get():
    if event.type==pygame.QUIT:
      pygame.quit() 
      exit(0)
  
  screen.fill(color_white)
  
  pygame.draw.circle(screen, color_black, center, int(radius_A), 2)
  
  if test_idx <= len(test_points):
    pygame.draw.aalines(screen, (0, 0, 255), False, test_points[:test_idx], 1)
    if test_idx < len(test_centers):
      pygame.draw.circle(screen, color_black, test_centers[test_idx], int(radius_B), 1)
      pygame.draw.aaline(screen, color_black, test_centers[test_idx], test_points[test_idx], 1)
    test_idx = min(test_idx + draw_point_num_per_tti, len(test_points))
  
  clock.tick(50)
  pygame.display.flip()

效果：

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