本文譯自В. М. Тихомиров教授（英文作Tikhomirov，中文作季霍米洛夫，approximation theory方向）為他的老師，數(shù)學(xué)大師柯爾莫戈洛夫?qū)懙募o(jì)念文章《Гений, живший среди нас》，原是俄文。Тихомиров教授寫得非常生動(dòng)。
文中名字，【安德烈·尼古拉耶維奇】即柯爾莫戈洛夫（有時(shí)也譯作“柯爾莫哥洛夫”）。
柯爾莫戈洛夫，我們之中的天才：研究風(fēng)格
是時(shí)候再次回到柯爾莫戈洛夫的科學(xué)生涯并討論他的創(chuàng)造方式的一些特點(diǎn)，這在許多方面促成了極其重要的科學(xué)學(xué)派的創(chuàng)建。事情可以在比較中呈現(xiàn)，下面我想將柯爾莫戈洛夫的創(chuàng)作特點(diǎn)與其杰出同事和同時(shí)代人的創(chuàng)作方式進(jìn)行比較。
記得有次柯爾莫戈洛夫跟我們談?wù)摰秸l是當(dāng)代最偉大的數(shù)學(xué)家。談話中，大家發(fā)現(xiàn)試圖糾纏于任何一個(gè)名字都是徒勞的：他們無法達(dá)成一致。最偉大數(shù)學(xué)家的集合，相對(duì)較小但很明確：如果你問誰是最偉大的一百位或最偉大的兩位數(shù)學(xué)家，他們會(huì)給出大致相同的名字。后來在我和朋友的交談中，這個(gè)話題不止一次涉及（尤其是在我們年輕的時(shí)候）。誰是居于首位的 - 柯爾莫戈洛夫，維諾格拉多夫（I. M. Vinogradov，我國(guó)的華羅庚先生非常尊重他，兩人交情很深），伯恩斯坦（SN Bernshtein），彼得羅夫斯基（I. G. Petrovsky），L. 龐特里亞金（S. Pontryagin），蓋爾方德（I. M. Gelfand）。 這只是蘇聯(lián)時(shí)期的我國(guó)數(shù)學(xué)家。我當(dāng)然承認(rèn)可以添加我國(guó)其他的偉大數(shù)學(xué)家名字。讓我們?cè)谶@個(gè)名單上稍作糾結(jié)，先只添加上希爾伯特的名字——他是20世紀(jì)前三分之一年代最重要的數(shù)學(xué)家，柯爾莫戈洛夫高度尊重他，并親自將其衷心地寫入了《蘇聯(lián)大百科全書》。 （許多其他外國(guó)數(shù)學(xué)家的名字也會(huì)在列我們的名單 -包括 Hadamard、Brouwer、G. Weil、G?del、Siegel、E. Cartan、A. Cartan、Lebesgue、Levy 等）
柯爾莫戈洛夫的創(chuàng)作方式與上述所有數(shù)學(xué)家之間有一個(gè)根本區(qū)別。蓋爾方德曾在一次談話中說：“數(shù)學(xué)是一場(chǎng)馬拉松?！边@是一個(gè)深刻的思考。毫無疑問，蓋爾方德本人和上面列出的所有其他數(shù)學(xué)家都是“馬拉松運(yùn)動(dòng)員”。 柯爾莫戈洛夫則屬于不同類型的科學(xué)家（但是，除了他本人，我不知道還有像他這樣的人）。安德烈·尼古拉耶維奇當(dāng)然也是一名“馬拉松運(yùn)動(dòng)員”，但在途中主要是一名沖刺的“短跑運(yùn)動(dòng)員”。
這是什么意思呢？多年來，無論是在文章還是在個(gè)人談話中，柯爾莫戈洛夫常引用數(shù)學(xué)家Delone的一句話。Delone曾在奧林匹克競(jìng)賽閉幕時(shí)在小學(xué)生面前發(fā)言說，數(shù)學(xué)家的工作與奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽參與者的工作不同，解決一個(gè)奧林匹克問題需要大約一個(gè)小時(shí)，但要解決一個(gè)真正的、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)問題需要 5000 個(gè)小時(shí)。這個(gè)值——5000 小時(shí)——表征了馬拉松數(shù)學(xué)家的工作特點(diǎn)。
然而，每當(dāng)談到他自己時(shí)，安德烈·尼古拉耶維奇就表現(xiàn)出明顯的尷尬。他無法做到這個(gè)”著名的“ 5000 小時(shí)。在一次采訪中，他說：“在我的整個(gè)科研生涯中，完全忘我、不受其他一切事物影響的工作，我大約可以持續(xù)工作一周，最多可能是兩周，但沒法更多了?！贝蠹s四十年前，我第一次聽到類似的事情：在課上，他提到了一個(gè)小得多的數(shù)字——對(duì)構(gòu)造一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)幾乎處處發(fā)散的例子進(jìn)行了連續(xù)3天的思考，最后得以突然的領(lǐng)悟。早期他稱這個(gè)結(jié)果是他已有成果中技術(shù)上最困難的。后天，柯爾莫哥洛夫?qū)⑺夹g(shù)上最難的結(jié)果選為后來導(dǎo)致希爾伯特13問題解的定理，同時(shí)提到了兩周的不懈思考。
我們看出，這些例子反映了安德烈·尼古拉耶維奇的獨(dú)特風(fēng)格。他知道如何在相對(duì)較短的時(shí)間內(nèi)集中巨大的能量。這種能量的積累引起了強(qiáng)大的效應(yīng)，在問題看似堅(jiān)不可摧的堡壘墻壁上打開巨大的裂縫，引領(lǐng)數(shù)十名，有時(shí)是數(shù)百名、數(shù)千名研究人員沖到那里。而柯爾莫戈洛夫自己卻離開了這后續(xù)的一切，他的思緒已經(jīng)轉(zhuǎn)向了其他目標(biāo)。這在我眼前發(fā)生了很多次。也許從這個(gè)角度去瀏覽柯爾莫戈洛夫的整個(gè)創(chuàng)作過程會(huì)很有趣。
在亞歷山德羅夫課程的影響下，柯爾莫戈洛夫在描述集合論方面完成了第一項(xiàng)重要工作。 他意識(shí)到可以將亞歷山德羅夫的主要思想（構(gòu)造了 A-set ）與 Suslin（證明了 A-set 比 B-set 更廣） 的主要思想相結(jié)合，這奠定了集合運(yùn)算理論的基礎(chǔ)。 他的導(dǎo)師魯津（Luzin）當(dāng)時(shí)沒有理解這篇文章，因此它的第一部分在七年后——1928 年才發(fā)表（第二部分于1987年作為附錄發(fā)表在柯爾莫戈洛夫選集第三卷中）。安德烈·尼古拉耶維奇沒有在這個(gè)問題繼續(xù)寫文章。隨后該理論變得非?；钴S，安德烈·尼古拉耶維奇的工作理所當(dāng)然地成了源泉之一。
接下來是柯爾莫戈洛夫科研初期的最大發(fā)現(xiàn)——他構(gòu)造了一個(gè)傅立葉級(jí)數(shù)幾乎處處發(fā)散的可測(cè)函數(shù)（我們剛剛提到過）。 柯爾莫戈洛夫研究三角和正交級(jí)數(shù)理論有一段時(shí)間，但轉(zhuǎn)而他的興趣轉(zhuǎn)向了概率論（他與辛欽密切合作了幾年）。在 1930 年代初期，他的努力以完成兩部具基本重要性的著作而告終：論文《論概率論的分析方法》和專著《概率論的基本概念》。除了這些“馬拉松”成果之外，還有一些“沖刺”的業(yè)績(jī)——特別是他在數(shù)理邏輯方面的研究、他在數(shù)理統(tǒng)計(jì)和拓?fù)浞矫娴慕艹龉ぷ鳎ㄆ渲兴c美國(guó)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)家Alexander同時(shí)獨(dú)立地引入了最重要的拓?fù)涓拍睢吧贤{(diào)”）。這一切都發(fā)生在 30 年代。這里還有他關(guān)于近似理論的兩篇簡(jiǎn)短論文，它們?yōu)樾碌幕痉较?、開映射下增加維數(shù)問題的解決方案以及其他一些成果奠定了基礎(chǔ)。 1930 年代末和 1940 年代初他致力于湍流理論。這些研究也有“馬拉松”的成分。
在 40 年代，柯爾莫戈洛夫建立了射擊理論（這里有“馬拉松”成分），并為所謂的分支過程理論奠定了基礎(chǔ)（這也許是“沖刺”的成就）。
回到50 年代。一個(gè)突然的偉大洞察，導(dǎo)致了 KAM 理論的誕生。而安德烈·尼古拉耶維奇本人僅在《蘇聯(lián)科學(xué)院學(xué)報(bào)》上發(fā)表了兩篇短文，組織了一個(gè)力學(xué)數(shù)學(xué)專題討論班，并做了阿姆斯特丹世界數(shù)學(xué)家大會(huì)的閉幕報(bào)告。 1955 年，信息論開始引起他的興趣。但同時(shí)期他“偶然地”幾乎徹底解決了希爾伯特第13個(gè)問題（當(dāng)然也是以艱辛的壓力為代價(jià)的）：他證明了任何四個(gè)或更多變量的連續(xù)函數(shù)都可以表示為三個(gè)變量的連續(xù)函數(shù)的疊加。再一次，他沒有繼續(xù)研究問題的最終解決方案。而把這個(gè)問題留給了他的學(xué)生阿諾爾德（當(dāng)時(shí)才大三）解決。
…… 1957 年夏天的一天，我到達(dá)科馬羅夫卡（Komarovka，在那里柯爾莫戈洛夫和亞歷山德羅夫有一棟鄉(xiāng)間小舍），柯爾莫戈洛夫老師告訴我：前一天，在思考解決希爾伯特第 13 個(gè)問題的構(gòu)造時(shí)，他突然恍然大悟，找到了一種異常簡(jiǎn)單的新方法來解決這個(gè)問題，加強(qiáng)了阿諾德的結(jié)果。我到的時(shí)候，準(zhǔn)備投給《蘇聯(lián)科學(xué)院學(xué)報(bào)》一份短文已經(jīng)寫好了！同樣的事情也發(fā)生在動(dòng)力系統(tǒng)的馮諾依曼問題上（這個(gè)問題已經(jīng)存在了二十多年，所有動(dòng)力系統(tǒng)專家都想解決掉它），即譜是否是動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)完備表征。另一次也是發(fā)生在我訪問科馬羅夫卡，安德烈·尼古拉耶維奇突然說：“熵是一個(gè)不變量，僅靠譜是不夠的?！贝祟D悟再次導(dǎo)致了突破，數(shù)名研究人員沖進(jìn)了缺口，其中不乏一流的數(shù)學(xué)家；正如經(jīng)常發(fā)生的那樣，柯爾莫戈洛夫則將自己限制在一篇《蘇聯(lián)科學(xué)院學(xué)報(bào)》論文中，僅作出第一步突破，然后拂身而去。下面是另一個(gè)例子。有一天，安德烈·尼古拉耶維奇和我要去列寧格勒參加一個(gè)會(huì)議。晚上我們?cè)隈R車的走廊里談?wù)摬煌氖虑椤Ｍ蝗凰嬖V我他剛剛想到了這個(gè)想法（就在那里，在一次談話中?。┰诰€性拓?fù)淇臻g的線性映射下，熵也可以是不變的。很快又寫了一篇短文，很多數(shù)學(xué)家再次對(duì)這個(gè)話題感興趣，在我的記憶中，之后柯爾莫戈洛夫老師甚至從未想過這個(gè)領(lǐng)域?qū)l(fā)生了什么。
我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，柯爾莫戈洛夫與上面列出的“最偉大”的數(shù)學(xué)家中的任何一位都少有相似之處。與柯爾莫哥洛夫形成最鮮明對(duì)比的是希爾伯特。由于柯爾莫戈洛夫的創(chuàng)造性天才的“沖刺”特征，他設(shè)法打穿開拓了大量難題和領(lǐng)域。在我之前寫的一篇關(guān)于安德烈·尼古拉耶維奇的文章中，我列出了數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、人文學(xué)科的大約四十個(gè)領(lǐng)域，他在這些領(lǐng)域都留下了基本的印記（雖然仍沒有用盡他創(chuàng)造的一切）。幾乎在任何子學(xué)科，安德烈·尼古拉耶維奇的研究都是先驅(qū)行的工作，包含了基本理論的創(chuàng)造，而新領(lǐng)域剩余的完善工作則留給了門徒和追隨者。作為比對(duì)，希爾伯特對(duì)純數(shù)學(xué)八個(gè)主題全神貫注地研究了很多年，有時(shí)甚至是幾十年，試圖“找到基礎(chǔ)、根源、核心”。 伯恩斯坦、維諾格拉多夫、彼得羅夫斯基、龐特里亞金的研究風(fēng)格跟希爾伯特是相似的。 （一個(gè)特例是蓋爾方德：他總是和同事合作，我們所列的其他科學(xué)家都是單獨(dú)工作。和柯爾莫戈洛夫一樣，蓋爾方德研究了很多領(lǐng)域，他是一個(gè)毋庸置疑的“馬拉松運(yùn)動(dòng)員”。）
綜上所述，柯爾莫戈洛夫總是會(huì)產(chǎn)生大量的想法，這些想法滋養(yǎng)了與他一起工作的學(xué)生。事實(shí)上，安德烈·尼古拉耶維奇通常不和他的學(xué)生”一起“工作：他并沒有按照”指導(dǎo)“這個(gè)詞普遍接受的的意義來教他們。他只是播撒問題、假設(shè)，分享想法、方法——在科馬羅夫卡小舍的講座、散步、喝茶時(shí)……這些高屋建瓴的問題，往往不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的難題，而蘊(yùn)含了更廣遠(yuǎn)的科學(xué)（或哲學(xué)）意義。如果一個(gè)門徒踏上了其中一條路，那么他自己就能繼續(xù)精進(jìn)下去，不會(huì)輕言”一切都已經(jīng)解決了“……
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