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符號表

符號	說明	衍生示例
$\mathbb{Q}$	有理數(shù)，即 $\{\frac{a} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\}$	$\mathbb{Q}^+$ , $\mathbb{Q}^-$
$\mathbb{Z}$	整數(shù)集，即 $\{..., ?3, ?2, ?1, 0, 1, 2, 3, ...\}$	$\mathbb{Z^*}$ ， $\mathbb{Z}^+$ 表示正整數(shù)集， $\mathbb{Z^-}$ 表示負整數(shù)集
$\mathbb{N}$	自然數(shù)集，即 $\{0, 1, 2, 3, ...\}$	$\mathbb{N^*}$ 也表示正整數(shù)集
$\mathbb{R}$	實數(shù)集，即 $\{x \mid x \in [-\infty, +\infty]\}$	$\mathbb{R}^+$ , $\mathbb{R}^-$
$a \equiv b (\bmod m)$	$a$ 同余于 $b$ 模 $m$
$ord(G)$	有限群 $G$ 的階
$gcd(c, b)$	$a$ , $b$ 的最大公約數(shù)
$\phi(n)$	歐拉函數(shù)
$G$	群
$g$	生成元
$R$	環(huán)
$(c)$	由 $c$ 生成的主理想
$F$	域	$F_n$ 表示模n形成的有限域， $n$ 為素數(shù)

1 模運算（Modular Arithmetic）

1.1 模約化（Modular Reduction）

如果我們用 $a \bmod m$ 代替 $a$ ，稱為此過程稱為模約化，而 $a \bmod m$ 代表了 $a$ 除以 $m$ 的余數(shù)

1.2 同余式（Congruences）

對于 $\forall a, b \in \mathbb{Z}, m \in \mathbb{Z}^+$ ，如果 $m$ 整除 $b-a$ ，則稱“ $a$ 同余于 $b$ 模 $m$ ”，記做 $a \equiv b (\bmod m)$

1.3 算數(shù)模（arithmetic modulo）

我們定義算術模 $m$ 為 $\mathbb{Z}_m$ ：表示具有兩個運算符 $+$ （加法）和 $\cdot$ （乘法）的集合 $\{0, \dots, m ? 1\}$ 。 $\mathbb{Z}_m$ 中的加法和乘法與實數(shù)加法和乘法完全一樣，只是結果要進行模 $m$ 約化。

2 群（Groups）

2.1 代數(shù)結構

講“群”，先講講“代數(shù)結構”。代數(shù)結構是指具有?個及以上運算的?空集合。

2.2 群（Group）

群是非空集合 $X$ 和基于 $X$ 定義的二元操作符 $\star$ 組成的，滿足如下4種性質的對，表示為 $G=(X, \star)$ 。因此，群也是一種代數(shù)結構。

封閉性（closed）：如果 $a, b \in X$ ，則 $a\star b \in X$ 。
結合律（associative）：如果 $a, b, c \in X$ ，則 $(a\star b)\star c = a\star(b\star c)$ 。
單位元（identity）：集合中存在?個元素 $id$ ，保證 $a\star id = id\star a = a$ ，對所有 $a \in X$ 的都成?。
逆元（inverse）：對每個集合的元素 $a \in X$ ，存在對應的 $b \in G$ ，保證 $a\star b = b\star a = id$ 。

有兩類特殊的群：阿貝爾群和循環(huán)群，下文介紹。

2.3 階（Order）

有限群 $G =(X, \star)$ 的階定義為 $|X|$ ，表示為 $ord(G)$ 。

對群中的元素，即 $\forall a \in X$ ， $a$ 的階定義為滿足如下式的最小的正整數(shù) $m$ 。其中 $id$ 為 $G$ 的單位元

$\underbrace{a \star a \star \cdots \star a}_{m} = id$

2.4 阿貝爾群（Abelian Group）

對于群 $G=(X, \star)$ ，如果操作符 $\star$ 還滿足交換律，對 $\forall a, b \in X$ ，有 $a\star b = b\star a$ ，則稱 $G$ 為阿?爾群，?稱為交換群。

2.5 有限群（Finite Group）

對于群 $G=(X, \star)$ ，如果 $X$ 是有限集合，則稱 $G$ 是有限群。

2.6 循環(huán)群（Cyclic Group）

對于有限阿貝爾群 $(X, \star)$ ，如果存在一個元素 $g \in X$ 的階數(shù)等于 $|X|$ ，則稱該群為循環(huán)群，元素 $g$ 稱為該群的生成元（Generator），通常記作 $g$ 。循環(huán)群中的所有元素都可以由生成元 $g$ 通過冪次運算得到，且生成元和群的階 $|X|$ 一定是互質的。

循環(huán)群都是阿?爾群，但不是所有的阿?爾群都是循環(huán)群。

2.7 子群（Subgroup）

假設 $G=(X, \star)$ 是一個有限群。如果 $H =(Y, \star)$ 也是一個有限群，且 $Y \subseteq X$ ，則稱 $H$ 是 $G$ 的一個子群。

顯然，為使 $H$ 為有限群，并非任意的 $Y \subseteq X$ 就可以的，從 $X$ 中選取元素時需重點考慮令 $H$ 滿足封閉性： $\forall h1, h2 \in H, h1\star h2 \in H$ 。

2.8 陪集（Coset）

設 $H = (Y, \star)$ 是 $G = (X, \star)$ 的子群，那么 $\forall a \in X$ ，定義右陪集（right coset） $Ya$ 為: $Ya = \{y \star a : y \in Y\}$ 。
同理, 定義左陪集（left coset） $aY$ 為： $aY = \{a \star y : y \in Y\}$ 。

2.9 歐拉函數(shù)（Euler Totient Function）

對于整數(shù) $n≥2$ ， $\phi(n)$ 表示小于 $n$ 且與 $n$ 互質的所有正整數(shù)的數(shù)量。 $\phi(n)$ 被稱為歐拉函數(shù)。

2.10 拉格朗日定理（Lagrange’s theorem）

如果 $H = (Y, \star)$ 是 $G = (X, \star)$ 的子群，則 $ord(H)$ 整除 $ord(G)$

2.11 同構（Isomorphism ）

一個從 $G = (X, \star)$ 到 $H = (Y, ?)$ 的同構是一個雙射（bijection） $\varphi : X → Y$ 滿足 $\forall a, a' \in X$ ， $\varphi(a \star a') = \varphi(a) ? \varphi(a')$ 。

如果 $\varphi: X \rightarrow Y$ 是從 $G = (X, \star)$ 到 $H = (Y, ?)$ 的同構，那么 $G$ 和 $H$ 的階相同，并且 $\forall x \in X, ord(x) = ord(\varphi(x))$

2.12 同態(tài)（Homomorphism）

一個從 $G = (X, \star)$ 到 $H = (Y, ?)$ 的同態(tài)是一個映射（mapping） $\varphi : X → Y$ 滿足 $\forall a, a' \in X$ ， $\varphi(a \star a') = \varphi(a) ? \varphi(a')$ 。

一個從 $G$ 到 $H$ 的同態(tài)是同構當且僅當 $\varphi$ 是雙射的時候。

2.13 歐幾里得算法（Euclidean Algorithm）

用于計算兩個正整數(shù)（例如a和b）的最大公約數(shù)。

2.14 擴展歐幾里得定理（Extended Euclidean Algorithm）

擴展歐幾里得定理

給定兩個不完全為0的整數(shù) $a$ ， $b$ ，必存在整數(shù) $x$ ， $y$ 使得 $ax + by = \gcd(a,b)$ ， $\gcd(a,b)$ 是 $a$ ， $b$ 的最?公約數(shù)。

擴展歐幾里得算法

給定兩個不全為0整數(shù)a和b，擴展歐幾里得算法計算整數(shù) $x, y$ 使得 $ax + by = \gcd(a,b)$ ，本文略。

2.15 直積（Direct Product）

假設 $G = (X, \star)$ 和 $G'= (X', *)$ 是群，則其直積 $G × G'$ 所得的群定義為 $G × G'= (X × X', \star)$ , 其中：對于任意的 $a, b \in X, a', b' \in X'$ ，滿足 $(a, a') \circ (b, b') = (a \star b, a' * b')$ 。

3 環(huán)（Rings）

3.1 環(huán)（Ring）

環(huán)是非空集合 $X$ 和基于 $X$ 定義的兩個?元操作符組成的，滿足如下性質三元組，記作 $R=(X, \cdot, +)$ 。

$(X, +)$ 是一個阿貝爾群，即滿足封閉性，結合律，交換律，且有單位元和逆元。
乘法封閉性：如果 $a, b \in X$ ，則 $ab \in X$ 。
乘法結合律：如果 $a, b, c \in X$ ，則 $(ab)c = a(bc)$ 。
乘法分配律（distributive）：如果 $a, b, c \in S$ ，則

$a(b + c) = (ab) + (ac)$

$(b + c)a = (ba) + (ca)$

注意，環(huán)中的乘法不要求可交換、有單位元或逆元，可理解為只支持加減乘運算。

3.2 有限環(huán)（Finite Ring）

如果環(huán) $R=(X, \cdot, +)$ 中 $X$ 是有限集合，則稱為有限環(huán)。

3.3 交換環(huán)（Cyclic Ring）

如果環(huán) $R=(X, \cdot, +)$ 中的乘法 $\cdot$ 滿足交換律，則稱為交換環(huán)。

3.4 歐幾里得多項式算法

計算兩個多項式 $a(x)$ , $b(x)$ 的最大公約數(shù)

3.5 直積（Direct Product）

假設 $R = (X, \cdot, +)$ 和 $R'= (X', \cdot, +)$ 是環(huán)。則其直積 $R × R'$ 所得的環(huán)定義為 $R × R'= (X × X', \cdot, +)$ , 其中：對于任意的 $a, b \in X, a', b' \in X'$ ，滿足 $(a, a') \cdot (b, b') = (a \cdot b, a' \cdot b')$ ，且 $(a, a') + (b, b') = (a + b, a'+ b')$

3.6 同構（Isomorphism ）

一個從 $R = (X, \cdot, +)$ 到 $S = (Y, ?)$ 的同構是一個雙射（bijection） $\varphi : X → Y$ 滿足 $\forall a, a' \in X$ ， $\varphi(a \cdot a') = \varphi(a) \cdot \varphi(a')$ ，且 $\varphi(a + a') = \varphi(a) + \varphi(a')$ 。

3.7 中國剩余定理（Chinese Remainder Theorem）

求解同時滿足多個子同余式的 $x$ 的同余式。本文略去。

3.8 子環(huán)（Subring）

子環(huán)

環(huán)的?個?空?集，如果在加法和乘法上依然是個環(huán)，那么就稱這個環(huán)是原來的環(huán)的?環(huán)。

對于有理數(shù)域 $\mathbb{Q}$ ，整數(shù)環(huán)就是它的?個?環(huán)。對于整數(shù)環(huán)，所有偶數(shù)依然在加法、乘法下構成?個環(huán)（因為任何兩個偶數(shù)通過加、減、乘得到的還是偶數(shù)，對于加、減、乘是封閉的，所以依然是?個環(huán)），偶數(shù)環(huán)是整數(shù)環(huán)的?個?環(huán)。對于 $n$ 階實數(shù)矩陣環(huán)，其所有的?對?線上的值全為0的 $n$ 階矩陣在矩陣加法、矩陣乘法上也構成了原矩陣環(huán)的?個?環(huán)，對于 $a$ 、 $b$ 兩個矩陣，如果?對?線上為0，那么?論加法、減法還是乘法，得到的結果?對?線上都為0。

3.9 理想（Ideal）

理想（Ideal）：

對于交換環(huán) $R = (X, \cdot, +)$ 。滿足下面要求的集合稱為 $R$ 的理想：
1. $I \subseteq X$
2. $(I, +)$ 是阿貝爾群
3. $\forall a \in X, b \in I$ ，滿足 $ab \in I$
平凡理想（Trival Ideal）

很明顯，每個環(huán)?少有兩個理想：?個理想是單個0元所組成的環(huán)，因為任何?個元與0元的乘都為0元；另?個是這個環(huán)本身。這兩個理想，稱為“平凡理想”（trival ideal）。
主理想（Principal Ideal）

對于交換環(huán) $R = (X, \cdot, +)$ ，設 $c \in X$ ，以c生成的主理想，記作 $(c)$ ，定義為如下集合：

$(c) = {ac : a \in X}$
顯然，主理想一定是一種理想。

3.10 商環(huán)（Quotient Ring）

分劃

分劃是指，?個?空?集的集合，并滿?所有元素有且只能有?個所在的?空?集。?如 $\{1, 2, 3, 4\}$ 可以有如下的分劃:

$\{\{1, 2\}, \{3, 4\}\}$

$\{\{1\}, \{2, 3, 4\}\}$

$\{\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}\}$
類

分劃中的任意一個非空子集，稱為類。
商環(huán)

設 $I$ 是 $R$ 的理想，如果 $Q$ 是 $R$ 的一個分劃，且 $\forall x, y \in Q$ ，滿足 $x-y \in I$ ，則 $Q$ 為 $R$ 關于理想 $I$ 的商環(huán)，記為 $R/I$ 。也就是說，商環(huán) $Q$ 是以為 $I$ 為“界”的切割后的?環(huán)的集合。

舉例來說， $\mathbb{Z}$ 是整數(shù)環(huán)， $(n)$ 是 $\mathbb{Z}$ 的理想，商環(huán) $\mathbb{Z}/(n)$ 就是 $\mathbb{Z}_n$ 。

基于陪集的定義：對于交換環(huán) $R = (X, \cdot, +)$ ， $I = (c)$ 是以 $c$ 生成的主理想，則其商環(huán) $R/I$ 構造為： $R/I = (Y, \cdot, +)$ ，其中 $Y$ 由 $I$ 的（加法）陪集構成。

對于 $\forall a, b \in X$ ，兩個陪集 $I + a$ 和 $I + b$ 的和定義為 $I + (a + b)$ ，乘積（product）定義為 $I + ab$