曲線積分

最早了解的積分的概念中，積分范圍是數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間。然后推廣到二重積分，其積分范圍是平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域。這是從線到面的推廣。
接著曲線積分是把積分范圍從僅沿?cái)?shù)軸的區(qū)間（線段）推廣到光滑曲線弧。而曲面積分是把積分范圍從平面內(nèi)的區(qū)域推廣到曲面區(qū)域。這是從直到曲的推廣。

1. 總覽

內(nèi)容大綱

首先，對(duì)這部分內(nèi)容的整體把握。

  1. 曲線積分和曲面積分都分為兩類：對(duì)弧長(zhǎng)（面積）的積分；對(duì)坐標(biāo)的積分。個(gè)人理解中，可以把第一類與標(biāo)量掛鉤，第二類與向量掛鉤。
    第一類的應(yīng)用如：計(jì)算線密度為變量的某曲線形元件的質(zhì)量；計(jì)算面密度為變量的某曲面（如：非均勻外殼）的質(zhì)量。這里的密度（被積函數(shù)）便是標(biāo)量。
    第二類的應(yīng)用如：計(jì)算變力沿曲線做功；計(jì)算某速度下通過(guò)某曲面的流量。這里的力和速度（被積函數(shù)）便是向量。
  2. 兩類曲線積分之間，以及兩類曲面積分之間是有聯(lián)系的。
  3. 格林公式描述了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的（第二類）曲線積分之間的關(guān)系。
  4. 斯托克斯公式是格林公式的推廣，描述了曲面上的曲面積分與其邊界曲線的（第二類）曲線積分之間的關(guān)系。
  5. 從格林公式和斯托克斯公式出發(fā)，需要理解環(huán)流量和旋度。
  6. 高斯公式描述了空間區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的（第二類）曲面積分之間的關(guān)系。
  7. 從高斯公式（以及格林公式）出發(fā)，需要理解通量和散度。

2. 曲線積分

2.1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

2.1.1 如何理解對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

我們直接從簡(jiǎn)單的例子出發(fā)對(duì)概念進(jìn)行理解，不再或較少提及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓阶C明，不嚴(yán)謹(jǐn)之處還望諒解。后續(xù)內(nèi)容也都基于容易理解的理念來(lái)說(shuō)明。

前面提到：對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分有一應(yīng)用是計(jì)算線密度為曲線形變量的某元件的質(zhì)量。我們便基于此來(lái)說(shuō)明。
為了計(jì)算質(zhì)量，我們依據(jù)取微元的思想，將曲線形元件分為長(zhǎng)度趨于0的n個(gè)弧段。由于弧段足夠的短，于是用弧段上某點(diǎn)的線密度代替弧段上其他各處的線密度。再知道各弧段的長(zhǎng)度，我們便可以計(jì)算各弧段的質(zhì)量。由此，我們將每個(gè)線段的質(zhì)量相加，便得到了元件的總質(zhì)量。
于是我們建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，用函數(shù)來(lái)描述元件的形狀和線密度。由于每段的質(zhì)量=線密度*長(zhǎng)度。已知了線密度是與坐標(biāo)（x，y）相關(guān)的值，我們還要找到長(zhǎng)度與坐標(biāo)（x，y）的關(guān)系，這樣才方便計(jì)算。

2.1.2 如何計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

正如上面所提到的，我們需要找到每段長(zhǎng)度\Delta s與坐標(biāo)(x,y)的關(guān)系。依據(jù)以直代曲的思想，顯然有(\Delta s)^2\approx(\Delta x)^2+(\Delta y)^2。我們將元件的弧線方程寫成參數(shù)方程的形式有\begin{cases}\begin{align} x&=\varphi(t) \notag \\y&=\psi(t)\notag \end{align}\end{cases}，其中\alpha \leq t \leq \beta又有
\begin{cases}\begin{align} \Delta x&=\varphi(t+\mathrm dt)-\varphi(t)\approx \mathrm dx=\varphi’(t)\mathrm dt \notag \\ \Delta y&=\psi(t+\mathrm dt)-\psi(t)\approx \mathrm dy=\psi’(t)\mathrm dt \notag \end{align}\end{cases}
所以\Delta s的近似值\mathrm ds（即弧微分）有如下形式\mathrm ds=\sqrt{\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)}\mathrm dt。

于是，我們便得到了
\Delta s=\int_{t_{i-1}}^{t_i}\sqrt{\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)}\mathrm dt
其中t_{i-1}和t_i分別表示小弧段兩端的t值。
根據(jù)積分中值定理定理，又有
\Delta s=\sqrt{\varphi’^2(\tau_i)+\psi’^2(\tau_i)}\Delta t_i
其中\Delta t_i=t_i-t_{i-1}，t_{i-1}\leq \tau_i \leq t_i
于是，我們便得到
m=\lim\limits_{\lambda \to 0} \displaystyle\sum_{i=1}^nf[\varphi(\tau_i),\psi(\tau_i)]\sqrt{\varphi’^2(\tau_i)+\psi’^2(\tau_i)}\Delta t_i
（這里我們直接將小弧段的線密度用\tau_i點(diǎn)的線密度替換）。上式顯然是函數(shù)f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)}在區(qū)間[\alpha , \beta]上的定積分。所以
m=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)}\mathrm dt
又根據(jù)定義（請(qǐng)自行翻閱書籍），我們將第一類定積分記作\int_Lf(x,y)\mathrm ds，所以有
\int_Lf(x,y)\mathrm ds=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)}\mathrm dt

對(duì)以上內(nèi)容進(jìn)行比較簡(jiǎn)單的記憶便是：在計(jì)算第一類曲線積分的時(shí)候，最重要的是搞清楚弧微分應(yīng)該怎么表示出來(lái)。在直角坐標(biāo)系，參數(shù)方程的情況下弧微分為
\mathrm ds=\sqrt{\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)}\mathrm dt
在極坐標(biāo)情況下弧微分為
\mathrm ds=\sqrt{\rho’^2(\theta)+\rho^2(\theta)} \mathrm d\theta
所以曲線積分為
\int_Lf(x,y)\mathrm ds=\int_\alpha^\beta f[x(\theta),y(\theta)]\sqrt{\rho’^2(\theta)+\rho^2(\theta)} \mathrm d\theta

2.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

2.2.1 如何理解對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

同上，我們可以用計(jì)算變力沿曲線做功的例子來(lái)幫助理解。但為了說(shuō)明方便，在此我使用恒力沿曲線做功的例子來(lái)說(shuō)明，即相當(dāng)于表示力的函數(shù)（被積函數(shù)）為常數(shù)。對(duì)于變力的情況，可以用沿用上面微元的方法加以類推。
首先，我們考慮熟悉的平拋運(yùn)動(dòng)，求重力在此過(guò)程中做的功。很明顯這符合對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的情況，被積函數(shù)為重力，積分路徑為曲線。如果用數(shù)學(xué)的思維和表達(dá)式求這個(gè)曲線積分，可以寫為求
\int_LP(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy
L為平拋軌跡的方程，用向量值函數(shù)表示重力
\mathbf F=P(x,y)\mathbf i+Q(x,y)\mathbf j=mg\mathbf j
可知P(x,y)=0，Q(x,y)=mg。然后用第二類曲線積分的計(jì)算法對(duì)\int_Lmg\mathrm dy求解。
但是如果我們?cè)诖擞梦锢淼乃季S，便是用mg*\Delta y。
接著，我們考慮一個(gè)詭異的運(yùn)動(dòng)：還是平拋，但有一個(gè)力的形式如下：
\mathbf F=P(x,y)\mathbf i+Q(x,y) \mathbf j=2\mathbf i+2\mathbf j
我們需要求這個(gè)力做功。依照上面，用數(shù)學(xué)表達(dá)式即為，求
\int_L2\mathrm dx+2\mathrm dy
在物理方法中，有兩種思路。一為，直接求力和位移的數(shù)量積。二為，將力分解為x方向和y方向，分別求兩方向的做功然后相加。
我們比較數(shù)學(xué)方式和物理形式，可以將其對(duì)應(yīng)起來(lái)
\begin{cases} \int_LP(x,y)\mathrm dx=W_x \notag \\ \int_LQ(x,y)\mathrm dy=W_y \notag \end{cases}
最后再以一個(gè)比較數(shù)學(xué)的題目來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明如何理解對(duì)坐標(biāo)的曲線積分：計(jì)算\int_L2xy\mathrm dx+x^2\mathrm dy，其中L為拋物線y=x^2上從O(0,0)到B(1,1)的一段弧。
轉(zhuǎn)換成物理語(yǔ)言便是：求變力\mathbf F=2xy\mathbf i+x^2\mathbf j沿曲線做的功。而\int_L2xy\mathrm dx對(duì)應(yīng)的便是x方向做的功，\int_Lx^2\mathrm dy對(duì)應(yīng)的便是y方向做的功。

2.2.2 如何計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

在此我不在對(duì)計(jì)算方法予以推導(dǎo)，我想說(shuō)的是：在進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候，不按照書上方式將對(duì)\mathrm dx，\mathrm dy的積分和都化為對(duì)x或y或參數(shù)t的積分，而是像物理里面一樣，x，y兩個(gè)方向分開(kāi)來(lái)看也是可行且合理的。
計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的核心便是把每部分（或整體）的被積函數(shù)中的自變量和積分變量相統(tǒng)一。

2.3 兩類曲線積分之間的聯(lián)系

如果明白了以上內(nèi)容，那理解兩類曲線積分之間的聯(lián)系就是水到渠成的事情。
我們知道，第二類曲線積分可以看作變力沿曲線做功。那么類似的，我們可以把第一類曲線積分也看作變力沿曲線做功，只是這個(gè)變力很是特殊，它與曲線的軌跡時(shí)時(shí)相切。
基于以上理解，我們可以想到，正是由于變力與曲線時(shí)時(shí)相切，其做功便可以直接相乘（cos\theta=1）。因此，我們可以將\int_Lf(x,y)\mathrm ds中的f(x,y)看作力的大小的函數(shù)。\mathrm ds便是小段的位移。
基于以上理解，我們想將第二類曲線積分化為第一類曲線積分的形式，我們要如何做呢。這時(shí)候我們想到，在物理里面，求力做功不僅可以把力和位移都分解為沿x和y方向，還可以直接求力和位移的數(shù)量積或是將力投影到位移方向。
于是，我們將力投影到位移方向。但是由于一般給出的力的形式\mathbf F=P(x,y)\mathbf i+Q(x,y)\mathbf j都是沿x軸和y軸分解，所以我們做這兩個(gè)分方向的力的投影到位移上，可知
\int_LP(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=\int_L(P(x,y)cos\alpha+Q(x,y)cos\beta) ds
下圖為以上公式來(lái)源的示意圖。

示意圖

上述公式左邊可以理解為將力和位移都分解為x和y方向分別求解再相加來(lái)求功，右邊可以理解為將力投影到位移方向再相乘求功。
于是，我們也可以理解了書上的公式
\int_\Gamma \mathbf A \cdot \mathrm d \mathbf r=\int_\Gamma \mathbf A \cdot \pmb {\tau} \mathrm ds
等式左邊表示力與位移的數(shù)量積的方式求功，右邊表示力投影到位移方向求功。

（未完待續(xù)）

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