帶通信號(hào)的表示
假設(shè)一個(gè)帶通的時(shí)域信號(hào)為(s_p(t))，其時(shí)域表達(dá)為
s_p(t)=\operatorname{Re}\{s(t)e^{2\pi f_ct}\}
其中，(s(t)=s_r(t)+js_i(t))是復(fù)數(shù)基帶信號(hào)，(s_r(t))和(s_i(t))分別是實(shí)部和虛部，(f_c)是載波頻率。
根據(jù)歐拉公式
e^{jx}=cosx+jsinx
可以得到
s_p(t)=\operatorname{Re}\{(s_r(t)+js_i(t))(cos2\pi f_ct+jsin2\pi f_ct)\}
=\operatorname{Re}\{(s_r(t)cos2\pi f_ct-s_i(t)sin2\pi f_ct) + j(s_i(t)cos2\pi f_ct+s_r(t)sin2\pi f_ct)\}
=s_r(t)cos2\pi f_ct-s_i(t)sin2\pi f_ct
由此可知，帶通的時(shí)域信號(hào)是基帶信號(hào)的實(shí)部被cos載波調(diào)制加上基帶的虛部被sin載波調(diào)制的疊加，即如下圖所示（具體符號(hào)表示有所不同）。
[圖片上傳失敗...(image-6684f3-1530840938569)]
從上圖中可知，將基帶信號(hào)用相互正交（cos和sin）的載波（相位相差90度，幅度也可以不同）調(diào)制，就是我們常說的QAM。
基帶等效信道模型
由于無線信道的多徑效應(yīng)，接收端接收到的信號(hào)是發(fā)射信號(hào)的多個(gè)延遲的版本的疊加。接收信號(hào)可以表示為
y(t)=\sum_{i=0}^{L-1}a_is(t-\tau_i)
其中(L)是多徑的總數(shù)，(a_i)和(\tau_i)分別是第(l)徑的衰減和延遲。
代入帶通信號(hào)的表達(dá)式，得到每個(gè)路徑上的接收信號(hào)
0^{th}: \operatorname{Re}\{a_0s(t-\tau_0)e^{2\pi f_c(t-\tau_0)}\} \\ 1^{st}: \operatorname{Re}\{a_1s(t-\tau_1)e^{2\pi f_c(t-\tau_1)}\}\\ ...\\ L-1^{th}: \operatorname{Re}\{a_{L-1}s(t-\tau_{L-1})e^{2\pi f_c(t-\tau_{L-1})}\}
因此，接收到的帶通信號(hào)為
y_p(t)=\sum_{i=0}^{L-1}\operatorname{Re}\{a_is(t-\tau_i)e^{2\pi f_c(t-\tau_i)}\} \\ =\operatorname{Re}\{\sum_{i=0}^{L-1}a_is(t-\tau_i)e^{-j2\pi f_c\tau_i}e^{2\pi f_ct}\}
根據(jù)前面帶通信號(hào)與基帶等效信號(hào)之間的關(guān)系可知，接收信號(hào)的基帶等效信號(hào)為
y(t)=\sum_{i=0}^{L-1}a_is(t-\tau_i)e^{-j2\pi f_c\tau_i}
衰落信道模型
在窄帶信號(hào)的假設(shè)條件下（信號(hào)的帶寬遠(yuǎn)小于載波頻率）有，(s(t)\approx s(t-\tau_i))。因此，接收基帶等效信號(hào)可以表示為
y(t)=hs(t)
其中，(h)就是衰落信道系數(shù)，表示為
h=\sum_{i=0}^{L-1}a_ie^{2\pi f_c\tau_i} \\ =\sum_{i=0}^{L-1}(a_icos2\pi f_c\tau_i+ja_isin2\pi f_c\tau_i)
其中(a_i)和(\tau_i)都是隨機(jī)變量，若定義隨機(jī)變量
X=\sum_{i=0}^{L-1}a_icos2\pi f_c\tau_i \\ Y=\sum_{i=0}^{L-1}a_i sin2\pi f_c\tau_i
由于X和Y均是大量獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和，根據(jù)中心極限定理可知，X和Y均服從高斯分布。進(jìn)一步，我們假設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且服從0均值，方差為1/2的高斯分布，即(X,Y\sim N(0,1/2))。則X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為
f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y) \\ =\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-y^2} \\ =\frac{1}{\pi}e^{-(x^2+y^2)}
衰落信道系數(shù)可以進(jìn)一步表示為
h=x+jy=ae^{j\phi}
則，(h)的幅度和相位也是隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布為
f_{A,\Phi}(a,\phi)=\frac{1}{\pi}e^{-(x^2+y^2)}|J_{XY}|
其中，(J_{XY})是雅克比矩陣，而(|J_{XY}|)是它的行列式。
J_{XY}=\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial a} & \frac{\partial y}{\partial a}\\ \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \phi}\end{bmatrix}
因?yàn)?x=acos\phi)，(y=asin\phi)，所以
|J_{XY}|=\begin{vmatrix} cos\phi & sin\phi\\ -asin\phi & acos\phi \end{vmatrix}=a
代入前面的公式并結(jié)合(a2=x2+y^2)，得到
f_{A,\Phi}(a,\phi)=\frac{a}{\pi}e^{-a^2}
有了聯(lián)合概率密度函數(shù)后，對(duì)(A)和(\Phi)求邊緣密度，得到
f_A(a)=\int_{-\pi}^{\pi}f_{A,\Phi}(a,\phi)d\phi=2ae^{-a^2} \\ f_\Phi(\phi)=\int_{0}^{\infty}f_{A,\Phi}(a,\phi)da=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}2ae^{-a^2}da=\frac{1}{2\pi}(-e^{-a^2})|_0^{\infty}=\frac{1}{2\pi}
從上式可以看出，衰落信道系數(shù)(h)的幅度服從Rayleigh分布，而相位服從均勻分布——我們稱之為瑞利衰落信道。
AWGN條件下BPSK的BER特性
AWGN條件下，接收信號(hào)可以表示為
y=x+n
其中，(n)是高斯白噪聲，即(n\sim N(0,\sigma^2))，其概率密度函數(shù)為
f_N(n)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{n^2}{2\sigma^2}}
對(duì)于BPSK來說，假設(shè)符號(hào)“0”用功率(\sqrt{P})發(fā)送，而符號(hào)"1"用功率(-\sqrt{P})發(fā)送。
當(dāng)(x)發(fā)送“1”時(shí)，有
x=-\sqrt{P} \\ y=-\sqrt{P}+n
對(duì)BPSK來說，接收端判決的門限是0，因此，當(dāng)接收電平高于0時(shí)，則會(huì)發(fā)生誤碼。若將這個(gè)概率記為(P_{e1})，則有
P_{e1}=P(y>0) \\ =P(-\sqrt{P}+n>0) \\ =P(n>\sqrt{P})
代入AWGN的概率密度，得到
P_{e1}=\int_{\sqrt{P}}^{\infty}f_N(n)dn \\ =\int_{\sqrt{P}}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{n^2}{2\sigma^2}}dn
定義(\frac{n}{\sigma}=t)，得到
P_{e1}=\int_{\frac{\sqrt{P}}{\sigma}}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt \\ =Q\left ( \sqrt{\frac{P}{\sigma^2}} \right ) \\ =Q\left (\sqrt{SNR} \right )
同理，當(dāng)發(fā)送符號(hào)0時(shí)，記誤碼的概率為(P_{e0})，
P_{e0}=P(n\leqslant -\sqrt{P})
由于高斯白噪聲的概率密度是以0為均值的對(duì)稱函數(shù)，則
P_{e0}=P_{e1}
整個(gè)系統(tǒng)的誤碼率為
P_e=P_{e0}P(發(fā)送符號(hào)0)+P_{e1}P(發(fā)送符號(hào)1)
在發(fā)送端等概率發(fā)送符號(hào)0和符號(hào)1的假設(shè)條件下，有
P_e=\frac{1}{2}(P_{e0}+P_{e1}) \\ =Q\left( \sqrt{SNR} \right)
其中，(SNR=\frac{P}{\sigma^2})是信噪比。
Rayleigh衰落條件下BPSK的BER性能
Rayleigh衰落信道條件下，接收信號(hào)可以表達(dá)為
y=hx+n
其中，(h)是衰落系數(shù)，(n\sim N(0,\sigma^2))。此時(shí)，接收信號(hào)中有用信號(hào)的功率為
p_f=|h|^2P
由于(h=ae^{j\phi})，得到
p_f=a^2P
因此，接收端的衰落信噪比為
SNR_{fading}=\frac{a^2P}{\sigma^2}
代入AWGN下BPSK的BER公式，可以得到Rayleigh衰落條件下的BER性能為
P_e=Q\left( \sqrt{a^2SNR} \right)
信道的衰落特性導(dǎo)致信道的幅度(a)是隨機(jī)變量，因此，衰落條件下的(P_e(a))也是隨機(jī)變量，所以討論平均BER是有意義的。
代入Rayleigh衰落信道幅度的概率密度函數(shù)(f_A(a)=2ae{-a2})，得到平均BER為
\bar{P}_e=\int_{0}^{\infty}Q\left( \sqrt{a^2SNR}\right)2ae^{-a^2}da
(積分過程略)
\bar{P}_e=\frac{1}{2}\left( 1- \sqrt{\frac{SNR}{2+SNR}}\right)
在高信噪比條件下，得到如下近似
\bar{P}_e=\frac{1}{2}\left( 1-\sqrt{\frac{1}{\frac{2}{SNR}+1}} \right) \\ =\frac{1}{2}(1-(1+\frac{2}{SNR})^{-1/2}) \\ \approx \frac{1}{2}(1-1+\frac{1}{2}\frac{2}{SNR}) \\ =\frac{1}{2SNR} \tag{*}
由此可知，Rayleigh衰落信道條件下，BPSK系統(tǒng)的平均BER特性依(1/SNR)衰減。相比AWGN條件下
P_e=Q\left( \sqrt{SNR} \right) \approx \frac{1}{2}e^{-\frac{SNR}{2}} \tag{**}
依指數(shù)衰減慢得多！
舉例說明，在同一個(gè)系統(tǒng)中，要達(dá)到相同的誤碼率要求（比如(10^{-6}) ），在Rayleigh衰落信道下，相比AWGN條件下，前者需要更多的SNR（多需要43dB?。?。
深衰落分析
一般來講，當(dāng)信道發(fā)生深衰落時(shí)，系統(tǒng)的誤碼率很高。我們首先將“深衰落”事件定義為接收信號(hào)的功率低于噪聲功率的事件，則深衰落事件發(fā)生的概率為
\begin{aligned} P_{DF}&=\operatorname{Pr}(a^2P\leqslant \sigma^2) \\ &=\operatorname{Pr}(a\leqslant \frac{1}{\sqrt{\operatorname{SNR}}}) \end{aligned}
結(jié)合Rayleigh衰落幅度的概率密度函數(shù)，得到
\begin{aligned} P_{DF}&=\int_{1/\sqrt{\operatorname{SNR}}}^{\infty}2ae^{-a^2}da \\ &=-e^{-a^2}|_{1/\sqrt{\operatorname{SNR}}}^{\infty} \\ &=e^{-\frac{1}{\operatorname{SNR}}} \end{aligned}
在高信噪比條件下，根據(jù)(e^{-x}\approx x)，可以得到深衰落概率的近似表達(dá)式
P_{DF}\approx \frac{1}{\operatorname{SNR}}
將上述結(jié)論與Rayleigh衰落信道條件下的BER公式(*式)比較，可知BER和深衰落的概率均正比于信噪比的倒數(shù)，因此，高信噪比條件下，系統(tǒng)發(fā)生誤碼的概率正比于深衰落事件發(fā)生的概率。
分集的概念
從某種程度上講，系統(tǒng)發(fā)生誤碼很大程度上是因?yàn)樯钏ヂ涫录陌l(fā)生，此時(shí)接收的功率很小，甚至低于噪聲的功率，接收端無法分辨有用新號(hào)和噪聲，因此發(fā)生判決的錯(cuò)誤。
在單鏈路系統(tǒng)中，收發(fā)機(jī)之間只有一條無線鏈路，當(dāng)這條鏈路發(fā)生“深衰落”時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生誤碼的概率很高。為了解決“深衰落”的問題，需要提供額外的多個(gè)“備份”鏈路，當(dāng)其中一部分鏈路發(fā)生深衰落時(shí)，其他的鏈路可能沒有深衰落，系統(tǒng)的誤碼可能不會(huì)很高。也就是說，所謂的“分集”就是“額外的備份”。
[圖片上傳失敗...(image-6da699-1530840938565)]
分集的實(shí)現(xiàn)有很多種，比如在接收端使用多個(gè)天線接收——接收分集；在發(fā)送端用多個(gè)天線發(fā)送——發(fā)射分集；在多個(gè)符號(hào)時(shí)間上發(fā)送同一個(gè)符號(hào)——時(shí)間分集；在多個(gè)頻率上發(fā)送相同的符號(hào)——頻域分集；在多個(gè)用戶上傳輸——多用戶分集，等等。
最大比合并（器）
考慮上圖中的一發(fā)兩收的通信系統(tǒng)，其中發(fā)送符號(hào)記為(x)，發(fā)送天線到兩個(gè)接收天線之間的信道記為(h_1)和(h_2)，接收信號(hào)記為(y_1)和(y_2)，則系統(tǒng)模型如下式所示
y_1=h_1x+n_1 \\ y_2=h_2x+n_2
其中，(n_1)和(n_2)分別是兩個(gè)接收天線上的高斯白噪聲，它們具有三個(gè)特性：
- 零均值，即(E{n_1}=E{n_2}=0)
- 同方差，即(E{|n_1|2}=E{|n_2|2}=\sigma^2)
- 不相關(guān)，即(E{n_1n_2}=0)
將系統(tǒng)模型寫成向量形式，為
\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} n_1 \\ n_2 \end{bmatrix}
也可以寫成
\mathbf{y}=\mathbf{h}x+\mathbf{n}
可見，向量(\mathbf{y}=[y_1,y_2]^T)是分別在兩個(gè)接收天線接收到的同一個(gè)發(fā)送符號(hào)的信號(hào)，我們需要通過某種方式合并這兩個(gè)信號(hào)，用來獲得一個(gè)輸出信號(hào)。我們將這個(gè)輸出信號(hào)記為(\tilde{y})，即
\tilde{y}=w_1y_1+w_2y_2
其中，(w_1)和(w_2)是“合并權(quán)重因子”，寫成向量形式有
\begin{aligned} \tilde{y}&=[w_1,w_2]\mathbf{y} \\ &=\mathbf{w}^T\mathbf{y}\end{aligned}
代入接收信號(hào)的公式，得到
\begin{aligned} \tilde{y}&=\mathbf{w}^T(\mathbf{h}x+\mathbf{n}) \\ &=\mathbf{w}^T\mathbf{h}x+\mathbf{w}^T\mathbf{n} \end{aligned}
其中，第一項(xiàng)是接收的有用信號(hào)，第二項(xiàng)是噪聲項(xiàng)。因此，接收信噪比可以表示為
\operatorname{SNR}=\frac{|\mathbf{w}^T\mathbf{h}|^2P}{E\{|\mathbf{w}^T\mathbf{n}|^2\}}
我們先看噪聲項(xiàng)的功率。由于
\begin{aligned} \mathbf{w}^T\mathbf{n}&=[w_1 w_2]\begin{bmatrix} n_1 \\ n_2\end{bmatrix} \\ &=w_1n_1+w_2n_2\end{aligned}
所以
\begin{aligned} E\{(w_1n_1+w_2n_2)^2\}&=E\{w_1^2n_1^2+w_2^2n_2^2+2w_1w_2n_1n_2\} \\ &=w_1^2E\{n_1^2\}+w_2^2E\{n_1^2\}+2w_1w_2E\{n_1n_2\} \\ &=(w_1^2+w_2^2)\sigma^2 \\ &=\sigma^2\left \|\mathbf{w}\right \|^2 \end{aligned}
因此，接收信噪比為
\operatorname{SNR}=\frac{P|\mathbf{w}^T\mathbf{h}|^2}{\sigma^2\left\| \mathbf{w} \right\|^2}
再來看有用信號(hào)的功率
\begin{aligned} \mathbf{w}^T\mathbf{h}&=[w_1 w_2]\begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix} \\ &=w_1h_1+w_2h_2 \\ &=\mathbf{w}\cdot\mathbf{h} \end{aligned}
可知，上式為信道系數(shù)和合并權(quán)重因子之間的點(diǎn)積。根據(jù)點(diǎn)積的公式
|\mathbf{w}^T\mathbf{h}|=\left\|\mathbf{w}\right\| \left\|\mathbf{h}\right\| cos\theta
其中，(\theta)是向量(\mathbf{w})和(\mathbf{h})之間的夾角。
因此
|\mathbf{w}^T\mathbf{h}|^2=\left\|\mathbf{w}\right\|^2 \left\|\mathbf{h}\right\|^2 cos^2\theta
所以
\operatorname{SNR}=\frac{P\left\|\mathbf{h}\right\|^2cos^2\theta}{\sigma^2}
什么條件下可以使得接收端的信噪比最大？顯然，當(dāng)(\theta=0)時(shí)，也就是當(dāng)合并權(quán)重向量(\mathbf{w})與衰落信道向量(\mathbf{h})同向時(shí)，即
\mathbf{w}\propto \mathbf{h}
接收端信噪比達(dá)到最大值，(\frac{P\left|\mathbf{h}\right|2}{\sigma2})。進(jìn)一步，假設(shè)合并權(quán)重向量為單位向量，即
\mathbf{w}=\frac{\mathbf{h}}{\left\|\mathbf{h}\right\|}=\frac{1}{\left\|\mathbf{h}\right\|}\begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{|h_1|^2+|h_2|^2}}\begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \end{bmatrix}
當(dāng)合并權(quán)重向量按上式取值時(shí)，可以使得接收信噪比達(dá)到最大，因此，稱這種合并方式為“最大比例合并”（MRC，此處的“比例”指的是信噪比），而向量(\mathbf{w})成為“最大比例合并器”。
將上述推導(dǎo)推廣到復(fù)數(shù)域中或L個(gè)接收天線的情況，結(jié)論是類似的，只不過需要將向量的“轉(zhuǎn)置”操作替換為“共軛轉(zhuǎn)置”，即
\tilde{y}=\mathbf{w}^H\mathbf{y}=\mathbf{w}^H\mathbf{h}x+\mathbf{w}^H\mathbf{n}
