在麻省理工《線性代數(shù)》Gilbert Strang 的復習課一中，有一道題是這樣的：
習題
當時不太明白為什么可逆矩陣乘上矩陣D，矩陣B的零空間與矩陣D的零空間維數(shù)是一樣的。于是在百度搜索資料，終于明白為什么這樣，下面來解答一下：
- 若A可逆,則A可表示成若干個初等矩陣的乘積
- 對矩陣B左乘以一個初等矩陣,等價于對B做一次相應(yīng)的初等行變換
- 對矩陣做初等變換不改變它的秩
因此，可逆矩陣乘以任何矩陣不改變矩陣的秩。
下面證明：
1. 對矩陣做初等變換不改變它的秩
證明1
2. 若A可逆,則A可表示成若干個初等矩陣的乘積
因為A可以由單位矩陣經(jīng)過有限次初等變換來得到（從逆過程想，一個可逆矩陣通過消元法最終變換成單位矩陣，即，A-1A=I，從中我們可以得到一個結(jié)論：所有可逆矩陣一定可以最終變換成單位矩陣，不可逆矩陣不行，行變換相當于左邊乘以初等矩陣,列變換相當于右乘一個初等矩陣，這樣一個可逆矩陣就可以由一系列初等矩陣乘積來表示。
