證明:二次型f=x^TAx在||x||=1時(shí)的最大值為矩陣A的最大特征值

證明：二次型f(x)=x^TAx在\|x\|=1時(shí)的最大值為矩陣A的最大特征值\lambda_{max}，其中A是對稱正定矩陣。

因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=A" alt="A" mathimg="1">是對稱矩陣，所以必定存在正交矩陣P使得A=P\Lambda P^{-1}=P\Lambda P^T，其中\Lambda是A的特征值組成的對角陣，P中列向量就是對應(yīng)的特征向量。正交矩陣顯然可逆，其逆為轉(zhuǎn)置矩陣，所以可以寫為\Lambda=P^TAP。

又因?yàn)槭钦ň仃?，所以所有特征值都為正?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Clambda_i%3E0" alt="\lambda_i>0" mathimg="1">。

我們做正交變換：x=Py，注意到正交變換是雙射的保范變換：\|x\|^2_2=x^Tx=(Py)^T(Py)=y^TP^TPy=y^Ty=\|y\|^2_2
因此我們就有\begin{split} \max_{\|x\|_2=1}f(x) &=\max_{\|x\|_2=1}x^TAx\\ &=\max_{\|y\|_2=1}y^TP^TAPy\\ &=\max_{\|y\|_2=1}y^T\Lambda y\\ &=\max_{\sum_i y_i^2=1}\sum_i \lambda_i y_i^2\\ &\leqslant \lambda_{max} \max_{\sum_i y_i^2=1}\sum_i y_i^2=\lambda_{max} \end{split}這樣就得到了一個(gè)上界，現(xiàn)在我們證明確實(shí)能夠取到這個(gè)上界。假設(shè)\lambda_{max}是\Lambda對角線上第i個(gè)值，于是取y=e_i,x=P^{-1}y，則\|x\|_2=\|y\|_2=1，所以x^TAx=y^T\Lambda y=e_i^T\Lambda e_i=\lambda_{max}這就證明了\max_{\|x\|_2=1}f(x)\geqslant \lambda_{max}
所以我們有\max_{\|x\|_2=1}f(x)=\lambda_{max}

我們因此還可以證明\min_{\|x\|_2=1}f(x)=\lambda_{min}

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者
【社區(qū)內(nèi)容提示】社區(qū)部分內(nèi)容疑似由AI輔助生成，瀏覽時(shí)請結(jié)合常識(shí)與多方信息審慎甄別。
平臺(tái)聲明：文章內(nèi)容（如有圖片或視頻亦包括在內(nèi)）由作者上傳并發(fā)布，文章內(nèi)容僅代表作者本人觀點(diǎn)，簡書系信息發(fā)布平臺(tái)，僅提供信息存儲(chǔ)服務(wù)。

友情鏈接更多精彩內(nèi)容