問(wèn)題：兩條平行線可以相交于一點(diǎn)
- 在歐式幾何空間中，處于同一平面的兩條平行直線不能相交，這是我們中學(xué)就學(xué)的知識(shí)。
- 然而在透視空間中，兩條平行直線可以相交，例如：火車(chē)軌道隨著我們的視線越來(lái)越窄，最后兩條平行線在無(wú)窮遠(yuǎn)處交于一點(diǎn)。
- 在歐式幾何（笛卡爾）空間中，描述2D/3D幾何非常合適，但是這種方法卻不合適處理透視空間的問(wèn)題（實(shí)際上，笛卡爾空間是透視幾何的一個(gè)子集）,2D笛卡爾坐標(biāo)可以表示為(x, y)。
- 如果一個(gè)點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)將會(huì)(∞,∞)，在歐氏空間，這變得沒(méi)有意義。平行線在透視空間的無(wú)窮遠(yuǎn)處交于一點(diǎn)，但是在歐氏空間卻不能，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種方式來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。
方法：齊次坐標(biāo)
簡(jiǎn)而言之，齊次坐標(biāo)就是用N+1維來(lái)代表N維坐標(biāo)
- 我們可以在一個(gè)2D笛卡爾坐標(biāo)末尾加上一個(gè)額外的變量w來(lái)形成2D齊次坐標(biāo)，因此，一個(gè)點(diǎn)(X,Y)在齊次坐標(biāo)里面變成了（x,y,w），并且有
X = x/w
Y = y/w
- 例如，笛卡爾坐標(biāo)系下（1，2）的齊次坐標(biāo)可以表示為（1，2，1），如果點(diǎn)（1，2）移動(dòng)到無(wú)限遠(yuǎn)處，在笛卡爾坐標(biāo)下它變?yōu)?∞,∞)，然后它的齊次坐標(biāo)表示為（1，2，0），因?yàn)?1/0, 2/0) = (∞,∞)，我們可以不用”∞"來(lái)表示一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)了。是不是豁然開(kāi)朗的感覺(jué)。
為什么叫齊次坐標(biāo)？
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我們把齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為笛卡爾坐標(biāo)的方法是前面n-1個(gè)坐標(biāo)分量分別除以最后一個(gè)分量即可。
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轉(zhuǎn)化齊次坐標(biāo)到笛卡爾坐標(biāo)的過(guò)程中，我們有一個(gè)發(fā)現(xiàn)，例如：
image.png 你會(huì)發(fā)現(xiàn)(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)對(duì)應(yīng)同一個(gè)Euclidean point (1/3, 2/3)，任何標(biāo)量的乘積，例如(1a, 2a, 3a) 對(duì)應(yīng) 笛卡爾空間里面的(1/3, 2/3) 。因此，這些點(diǎn)是“齊次的”，因?yàn)樗麄兇砹说芽栕鴺?biāo)系里面的同一個(gè)點(diǎn)。換句話說(shuō)，齊次坐標(biāo)有規(guī)模不變性。
證明：兩條直線可以相交
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考慮如下方程組：
image.png 我們知道在笛卡爾坐標(biāo)系里面，該方程組無(wú)解，因?yàn)镃 ≠ D,如果C=D,兩條直線就相同了。
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讓我們?cè)谕敢暱臻g里面，用齊次坐標(biāo)x/w, y/w代替x ,y,
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現(xiàn)在我們有一個(gè)解(x, y, 0)，兩條直線相交于(x, y, 0)，這個(gè)點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。
小結(jié)：齊次坐標(biāo)在圖形學(xué)中是一個(gè)非常基礎(chǔ)的概念，例如3D場(chǎng)景映射到2D場(chǎng)景的過(guò)程中。
參考： http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html
