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拉普拉斯變換可以說(shuō)是現(xiàn)代工程學(xué)使用最廣泛的數(shù)學(xué)工具，它通過(guò)數(shù)學(xué)變換將微積分方程轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，為求解連續(xù)空間連續(xù)時(shí)間的方程提供了可能。但是，一般的教材一上來(lái)就是拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)定義，對(duì)于其歷史和代表的深刻含義沒(méi)有任何介紹，導(dǎo)致很多人一直頭疼不已。今天，我們嘗試一下從不同的角度來(lái)看看拉普拉斯變換到底是怎么回事？先從一個(gè)人說(shuō)起：奧列弗.赫維賽德，一位在科學(xué)史地位被嚴(yán)重低估的人。

一、奧列弗. 赫維賽德是何許人也

奧列弗. 赫維賽德（Oliver Heaviside）是維多利亞時(shí)期英國(guó)人，出身于極度貧窮的家庭，聽(tīng)力部分殘疾，還得過(guò)猩紅熱，從未上過(guò)大學(xué)，完全靠自學(xué)和興趣掌握了高等科學(xué)和數(shù)學(xué)。

很多人熟悉赫維賽德是因?yàn)镸ATLAB有一個(gè)赫維賽德（Heaviside）函數(shù)，它大概長(zhǎng)這個(gè)樣子，可以看成一個(gè)階躍函數(shù)，這個(gè)函數(shù)因?yàn)楹偷依耍―irac）函數(shù)之間的千絲萬(wàn)縷的關(guān)系而顯得尤為重要。

我們現(xiàn)在說(shuō)赫維賽德，當(dāng)然不是因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)，而是因?yàn)槲覀儑@為觀止、驚為天人，怎么夸都不過(guò)分的麥克斯韋方程組，麥克斯韋本人并沒(méi)有見(jiàn)過(guò)這個(gè)方程組，它在一定程度上應(yīng)該叫“赫維賽德方程組”。

這四個(gè)公式簡(jiǎn)直太對(duì)稱了！而且它們的含義也很清晰：變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)，電磁波也就是電場(chǎng)和磁場(chǎng)此消彼長(zhǎng)、相互轉(zhuǎn)化、向前傳播的形式。多虧了赫維賽德，麥克斯韋的理論才得以在十九世紀(jì)結(jié)束之前就真正站穩(wěn)了腳跟并發(fā)揚(yáng)光大?？梢院敛恢t虛的說(shuō)：宇宙間任何的電磁現(xiàn)象，皆可由麥克斯韋方程組解釋，包括光。也正是因?yàn)檫@個(gè)方程組完美統(tǒng)一了整個(gè)電磁場(chǎng)，讓愛(ài)因斯坦始終想要以同樣的方式統(tǒng)一引力場(chǎng)，并將宏觀與微觀的兩種力放在同一組式子中：即著名的“大一統(tǒng)理論”，不幸的是麥克斯韋成功了，而愛(ài)因斯坦沒(méi)有。

麥克斯韋早在1873年便出版了跨時(shí)代巨著《電磁通論》，可惜的是，他英年早逝，他的方程組在生前并沒(méi)有得到科學(xué)界的關(guān)注，其中一個(gè)很重要的原因是他的理論描述復(fù)雜得令人吃驚，他最初提出的電磁理論公式包含了二十個(gè)方程，直接導(dǎo)致了他的理論在首次發(fā)表后的10多年時(shí)間內(nèi)，幾乎無(wú)人問(wèn)津。

赫維賽德最偉大的貢獻(xiàn)是簡(jiǎn)化了麥克斯韋的原始方程組，通過(guò)他天才般的洞察力，挖掘出了蘊(yùn)含在麥克斯韋方程內(nèi)部的深刻意義，從而使簡(jiǎn)化后麥克斯韋方程組呈現(xiàn)出無(wú)與倫比的對(duì)稱性，成為歷史上是最漂亮的方程式（沒(méi)有唯一）。

而我們今天要說(shuō)的，是赫維賽德的第二個(gè)重要貢獻(xiàn)：運(yùn)算微積分。學(xué)過(guò)電磁學(xué)的人都知道，在歷史上人們發(fā)現(xiàn)好多定理公式，都是用微積分的形式表達(dá)的。1880年-1887年之間，赫維賽德在從事電磁場(chǎng)研究的同時(shí)，為求解微積分方程，在他的分析計(jì)算中引入了微分算子的概念，這個(gè)方法牛逼在什么地方呢？——它可以將常微分方程轉(zhuǎn)換為普通代數(shù)方程。天才與普通人的區(qū)別就是人家是靠“直覺(jué)”來(lái)解決問(wèn)題的。赫維賽德是怎么解微分方程的呢？他把微分、積分運(yùn)算用一個(gè)簡(jiǎn)單的算子來(lái)代替。

赫維賽德之所以這么做，是因?yàn)樗摹拔锢碇庇X(jué)”告訴他這么做，就是這么硬。這顯然是一種開(kāi)外掛的行為，因此也受到當(dāng)時(shí)的主流數(shù)學(xué)家們們的攻訐，他們認(rèn)為赫維賽德就是十足的“民科”，文章沒(méi)什么理論依據(jù)，自己在那空想呢。當(dāng)然，赫維賽德也不是弱雞，科學(xué)家懟起人來(lái)，也是毫不含糊：“因?yàn)槲也荒芾斫庀^(guò)程就拒絕晚餐嗎？不，只要我滿意這個(gè)結(jié)果。”

好了，扯了那么遠(yuǎn)，有童鞋已經(jīng)不耐心了：這些和拉普拉斯變換有什么關(guān)系？謎底就是：赫維賽德的微積分算子，就是拉普拉斯變換的前身。

赫維賽德的算子驗(yàn)算雖然缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，往往能給出重要且正確的結(jié)果，方法確實(shí)有效，無(wú)法駁倒。于是在世紀(jì)之交，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始嘗試隨算子理論進(jìn)行嚴(yán)格化。后來(lái)，人在在70年前法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯的一本有關(guān)概率論的著作上，找到了這種算法的依據(jù)，但是這本書(shū)上提出的并不是現(xiàn)在我們看到的拉普拉斯變換，而是著名的Z變換。什么？拉普拉斯變換不是拉普拉斯提出的？隨著二戰(zhàn)后拉普拉斯變換的廣泛使用，赫維賽德算子的作用被弱化了，但是不可否認(rèn)的是，這是這種“不正規(guī)”，僅靠“天才的直覺(jué)”而發(fā)明的方法，促成了現(xiàn)在拉普拉斯分析法。

二、傅里葉變換（輕量版拉普拉斯變換）

在說(shuō)拉普拉斯變換以前，我們要先提一下傅里葉變換，這可以看成是輕量版的拉普拉斯變換。傅里葉變換說(shuō)的是什么事？說(shuō)的是自然界的很多現(xiàn)象，都可以用三角函數(shù)進(jìn)行分解。

古巴比倫科學(xué)家在很早就用了三角函數(shù)和逼近的方法，對(duì)天體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)和預(yù)報(bào)，1748年，大神歐拉用類似的方法分析可弦的振動(dòng)（大神就是高產(chǎn)，哪哪都有他的身影），1753年伯努利提出任意物理弦的振動(dòng)都可以可以表達(dá)為三角函數(shù)的和，但是他沒(méi)給出證明（注意，伯努利是一個(gè)家族，3代人中產(chǎn)生了8位科學(xué)家，后裔有不少于120位被人們系統(tǒng)地追溯過(guò)）。1807年，傅里葉于年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上提交了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的觀點(diǎn)：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。傅里葉沒(méi)有做出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證。這篇論文的審稿人中，有歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日和拉普拉斯，當(dāng)拉普拉斯和其它審稿人投票通過(guò)并要發(fā)表這篇論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，認(rèn)為傅里葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)。法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅里葉的工作。1822年，傅里葉變換隨其著作《熱的解析》發(fā)表，但已經(jīng)是15年之后了。1829年，狄利赫里通過(guò)推導(dǎo)其適用范圍，完善了傅里葉變換。

我們知道，三角函數(shù)可以通過(guò)歐拉公式與復(fù)指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，

也就是說(shuō)，復(fù)指數(shù)函數(shù)是與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)緊密相關(guān)的，那是不是某些信號(hào)也能通過(guò)復(fù)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行分解呢？

你能想象到很多曲線，都可以用這些不同頻率，連續(xù)旋轉(zhuǎn)的圓，通過(guò)線性疊加得到，而傅里葉定律，就是對(duì)這個(gè)結(jié)論的數(shù)學(xué)描述，傅里葉定律說(shuō)：只要一個(gè)函數(shù)滿足如狄利赫里條件，都能分解為復(fù)指數(shù)函數(shù)之和，哪怕是如拉格朗日提到的帶有棱角的方波函數(shù)。狄利赫里條件為：

于是就可以很好的解釋拉格朗日和傅里葉之間的爭(zhēng)論了——拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)，棱角處會(huì)有很小高頻波動(dòng)（吉布斯現(xiàn)象）。但是，我們可以用正弦曲線來(lái)非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅里葉也是對(duì)的。一個(gè)從數(shù)學(xué)家的角度，一個(gè)從工程師的角度。

三、拉普拉斯變換（原來(lái)就是那么回事）

傅里葉變換能幫我們解決很多問(wèn)題，一經(jīng)問(wèn)世后便受到廣大工程師們的喜愛(ài)，因?yàn)樗o人們提供了一扇不同的窗戶來(lái)觀察世界，從這個(gè)窗戶來(lái)看，很多事情往往變得簡(jiǎn)單多了。但是，別忘了，傅里葉變換有一個(gè)很大局限性，那就是信號(hào)必須滿足狄利赫里條件才行，特別是那個(gè)絕對(duì)可積的條件，一下子就攔截掉了一大批函數(shù)。比如函數(shù)?f(x) = x^2就無(wú)法進(jìn)行傅里葉變換。這點(diǎn)難度當(dāng)然拿不到聰明的數(shù)學(xué)家們，他們想到了一個(gè)絕佳的主意：把不滿足絕對(duì)的可積的函數(shù)乘以一個(gè)快速衰減的函數(shù)，這樣在趨于?∞?時(shí)原函數(shù)也衰減到零了，從而滿足絕對(duì)可積。

我知道大部分人前面的數(shù)學(xué)推導(dǎo)沒(méi)什么興趣，接下來(lái)就是放彩蛋的時(shí)刻了，很多童鞋會(huì)說(shuō)不管傅里葉變換或者拉普拉斯變換是什么細(xì)節(jié)，你能說(shuō)點(diǎn)有意思的，讓人能記憶深刻的信息嗎？

螺旋曲線和衰減函數(shù)的乘積：一個(gè)半徑不斷減小的螺旋曲線。從不同的平面看，就是不斷衰減的正弦或者余弦曲線，從復(fù)平面來(lái)看，是一個(gè)半徑不斷減小的圓。

總結(jié)一下：傅里葉變換是將函數(shù)分解到頻率不同、幅值恒為1的單位圓上；拉普拉斯變換是將函數(shù)分解到頻率幅值都在變化的圓上。因?yàn)槔绽棺儞Q的基有兩個(gè)變量，因此更靈活，適用范圍更廣。

最后的彩蛋：拉普拉斯變換變換和赫維賽德的微積分算子有什么關(guān)系？為什么說(shuō)微分算子是拉普拉斯變換的前身？其實(shí)很簡(jiǎn)單。