命題

命題
: 命題是一個(gè)陳述預(yù)計(jì)（即陳述事實(shí)的語句），它或真或假，但不能既真又假。

我們用字母來表示命題變?cè)?/strong>，它是代表命題的變量。習(xí)慣上用字母 $p,\enspace q,\enspace r,\enspace s,\enspace \dots$ 表示命題。如果一個(gè)命題是真命題，它的真值為真，用 $T$ 表示；如果它是假命題，其真值為假，用 $F$ 表示。

涉及命題的邏輯領(lǐng)域稱為命題演算或命題邏輯。許多數(shù)學(xué)陳述都是有一個(gè)或多個(gè)命題組合而來。稱為復(fù)合命題的新命題是由已知命題用邏輯運(yùn)算符組合而來。

命題邏輯中的命題公式(well formed formula 簡記為wff)遞歸地定義為：

單個(gè)命題變項(xiàng) $p,\enspace q,\enspace r,\enspace s,\enspace \dots$ 是命題公式

如果 $A$ 是命題公式，則( $\sim A$ )也是命題公式；

如果 $A$ 和 $B$ 是命題公式，則有邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié) $A$ 和 $B$ 的符號(hào)串也是命題公式，如 $A \land B, ~ A \lor B, ~ A \to B$ 等。

有限次應(yīng)用(1)~(3)構(gòu)成的符號(hào)串才是命題公式。

非
: 令 $\:p\:$ 為一個(gè)命題，則 $\:p\:$ 的否定記作 $\:\lnot p\:$ （也可記作 $\:\overline{p}\:$ ），指“不是 $\:p\:$ 所指的情形”。命題 $\:\lnot p\:$ 讀作“非 $\:p\:$ ”。 $\:p\:$ 的否定 $\:\lnot p\:$ 的真值和 $\:{p}\:$ 的真值相反。

非也可以用符號(hào) $\sim$ 表示， $\sim p$ 與 $\lnot p$ 表示的意思相同。

命題之否定的真值表

$p$ $\lnot p$

$T$ $F$

$F$ $T$

合取(and)
: 令 $\:p\:$ 和 $\:q\:$ 為命題。 $\:p\:$ 、 $\:q\:$ 的合取即命題“ $\:p\:$ 并且 $\:q\:$ ”，記作 $\:p\land{q}\:$ 。當(dāng) $\:p\:$ 和 $\:q\:$ 都是真時(shí) $\:p\land{q}\:$ 命題為真，否則為假

析取(or)
: 令 $\:p\:$ 和 $\:q\:$ 為命題。 $\:p\:$ 、 $\:q\:$ 的析取即命題“ $\:p\:$ 或 $\:q\:$ ”，記作 $\:p\lor{q}\:$ 。當(dāng) $\:p\:$ 和 $\:q\:$ 均為假時(shí)， $\:p\lor{q}\:$ 命題為假，否則為真。

異或
: 令 $\:p\:$ 和 $\:q\:$ 為命題。 $\:p\:$ 、 $\:q\:$ 的異或（記作 $p\oplus q$ ）是這樣一個(gè)命題：當(dāng) $\:p\:$ 和 $\:q\:$ 中恰好只有一個(gè)為真命題時(shí)為真，否則為假。

蘊(yùn)含
: 令 $\:p\:$ 和 $\:q\:$ 為命題條件語句 $p \to q$ 是命題“如果 $p$ ，則 $q$ ”。當(dāng) $p$ 為真而 $q$ 為假時(shí)，條件語句 $p \to q$ 為假，否則為真。在條件語句 $p \to q$ 中， $p$ 稱為假設(shè)（前件、前提）， $q$ 稱為結(jié)論（后件）。

$p$ $q$ $p\land q$ $p\lor q$ $p\oplus q$ $p \to q$

$T$ $T$ $T$ $T$ $F$ $T$

$T$ $F$ $F$ $T$ $T$ $F$

$F$ $T$ $F$ $T$ $T$ $T$

$F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $T$

條件語句

語句 $p \to q$ 稱為條件語句，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=p%20%5Cto%20q" alt="p \to q" mathimg="1">可以斷定在條件 $p$ 成立的時(shí)候 $q$ 為真。條件語句也稱為蘊(yùn)含。 $p \to q$ ，則 $p$ 是 $q$ 的必要條件。

充分條件、必要條件、充分必要條件

充分條件： 如果A能推出B，那么A就是B的充分條件。其中A為B的子集，即屬于A的一定屬于B，而屬于B的不一定屬于A，具體的說若存在元素屬于B的不屬于A，則A為B的真子集；若屬于B的也屬于A，則A與B相等。

必要條件： 必要條件是數(shù)學(xué)中的一種關(guān)系形式。如果沒有A，則必然沒有B；如果有A而未必有B，則A就是B的必要條件，記作 $B→A$ ，讀作“B含于A”。數(shù)學(xué)上簡單來說就是如果由結(jié)果B能推導(dǎo)出條件A，我們就說A是B的必要條件。

充分必要條件： 也稱充要條件 如果 $\:p\:$ 是 $\:q\:$ 的充要條件，則通過 $\:p\:$ 可以推導(dǎo)出 $\:q\:$ ，通過 $\:q\:$ 也可以推導(dǎo)出 $\:p\:$ ， $p \leftrightarrow q$ 。當(dāng)且僅當(dāng)即指充要條件。

“ $p$ 僅當(dāng) $q$ ”和“ $q$ 除非 $\lnot p$ ”

“ $p$ 僅當(dāng) $q$ ”，表達(dá)了“如果 $p$ ，則 $q$ ”同樣的意思。

“ $q$ 除非 $\lnot p$ ”，與 $p \to q$ 擁有相同的真值?？梢宰鱿罗D(zhuǎn)換， $q$ 除非 $\lnot p$ ”，也就是說“如果非 $\lnot p$ 則 $q$ ”即 $\lnot\lnot p \to q= p \to q$

逆命題、逆否命題與反命題
: 由條件語句 $p \to q$ 可以構(gòu)成一些新的條件語句。特別是三個(gè)常見的相關(guān)條件語句還擁有特殊的名稱。命題 $q\to{p}$ 稱為 $p\to{q}$ 的逆命題，而 $p\to{q}$ 的逆否命題是命題 $\lnot{q} \to \lnot{p}$ 。命題 $\lnot{p} \to \lnot{q}$ 稱為 $p\to{q}$ 的反命題。三個(gè)由 $p \to q$ 衍生出來的條件語句中，只有逆否命題總是和 $p \to q$ 具有相同的真值。

當(dāng)兩個(gè)復(fù)合命題具有相同的真值時(shí)，我們稱它們是等價(jià)的。前提為真，結(jié)論為假時(shí)才為假。

$p$ $q$ $p\to q$ $q\to p$ $\lnot q\to\lnot p$ $\lnot p\to\lnot q$

$T$ $T$ $T$ $T \to T = T$ $\lnot{T} \to \lnot{T} = F \to F = T$ $\lnot{T} \to \lnot{T} = F \to F = T$

$T$ $F$ $F$ $F \to T = T$ $\lnot{F} \to \lnot{T} = T \to F = F$ $\lnot{T} \to \lnot{F} = F \to T = T$

$F$ $T$ $T$ $T \to F = F$ $\lnot{T} \to \lnot{F} = F \to T = T$ $\lnot{F} \to \lnot{T} = T \to F = F$

$F$ $F$ $T$ $F \to F = T$ $\lnot{F} \to \lnot{F} = T \to T = T$ $\lnot{F} \to \lnot{F} = T \to T = T$

雙條件語句
: 令 $\:p\:$ 和 $\:q\:$ 為命題。雙條件語句 $\:p \harr q\:$ 是命題“ $\:p\:$ 當(dāng)且僅當(dāng) $\:q\:$ ”。當(dāng) $\:p\:$ 和 $\:q\:$ 有同樣的真值時(shí)，雙條件語句為真，否則為假（即同為真或同為假）。雙條件語句也稱為雙向蘊(yùn)含。

$p$ $q$ $p\harr q$

$T$ $T$ $T$

$T$ $F$ $F$

$F$ $T$ $F$

$F$ $F$ $T$

$p \leftrightarrow {q}$ 與 $(p\to{q}\land{q}\to{p})$ 有完全相同的真值。

條件的隱式使用

~

復(fù)合命題的真值表

$p$ $q$ $\lnot q$ $p\lor \lnot q$ $p\land q$ $(p\lor \lnot{q})\to(p\land q)$

$T$ $T$ $F$ $T$ $T$ $T$

$T$ $F$ $T$ $T$ $F$ $F$

$F$ $T$ $T$ $F$ $F$ $T$

$F$ $F$ $F$ $T$ $F$ $F$

邏輯運(yùn)算符的優(yōu)先級(jí)

$\lnot,\land,\lor,\to,\leftrightarrow$

運(yùn)算符優(yōu)先級(jí)

$\lnot$ 1

$\land$ 2

$\lor$ 3

$\to$ 4

$\leftrightarrow$ 5

邏輯運(yùn)算和位運(yùn)算

真值位

$T$ 1

$F$ 0

計(jì)算機(jī)的位運(yùn)算對(duì)應(yīng)于邏輯聯(lián)結(jié)詞（ $\land,\lor,\oplus\quad$ 對(duì)應(yīng)與、或、異或）。

$x$ $y$ $x\lor y$ $x\land y$ $x\oplus q$

$0$ $0$ $0$ $0$ $0$

$0$ $1$ $1$ $0$ $1$

$1$ $0$ $1$ $0$ $1$

$1$ $1$ $1$ $1$ $0$

永真式

假設(shè) $A$ 是一個(gè) $n$ 元命題公式，

若其所有 $2^n$ 個(gè)真值指派都是成真指派，則稱 $A$ 為永真式或重言式（rautology），即無論所有命題變?cè)『握嬷?，命題公式的真值都為真。

若其所有 $2^n$ 個(gè)真值指派都是成假指派，則稱 $A$ 為永假式或矛盾式（contradiction），即無論所有命題變?cè)『握嬷?，命題公式的真值都為假。

若至少存在一個(gè)成真指派，則稱 $A$ 為可滿足式（statisfiable formula）

若 $A$ 至少存在一個(gè)成真指派及成假指派，則稱 $A$ 為非重言的可滿足式。

重言式一定是可滿足式

色偷偷精品伊人,欧洲久久精品,欧美综合婷婷骚逼,国产AV主播,国产最新探花在线,九色在线视频一区,伊人大交九欧美,1769亚洲,黄色成人av

命題邏輯

命題邏輯

命題

條件語句

復(fù)合命題的真值表

邏輯運(yùn)算符的優(yōu)先級(jí)

邏輯運(yùn)算和位運(yùn)算

永真式

相關(guān)閱讀更多精彩內(nèi)容

友情鏈接更多精彩內(nèi)容

$p$	$q$	$p\land q$	$p\lor q$	$p\oplus q$	$p \to q$
$T$	$T$	$T$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$	$T$

$p$	$q$	$p\to q$	$q\to p$	$\lnot q\to\lnot p$	$\lnot p\to\lnot q$
$T$	$T$	$T$	$T \to T = T$	$\lnot{T} \to \lnot{T} = F \to F = T$	$\lnot{T} \to \lnot{T} = F \to F = T$
$T$	$F$	$F$	$F \to T = T$	$\lnot{F} \to \lnot{T} = T \to F = F$	$\lnot{T} \to \lnot{F} = F \to T = T$
$F$	$T$	$T$	$T \to F = F$	$\lnot{T} \to \lnot{F} = F \to T = T$	$\lnot{F} \to \lnot{T} = T \to F = F$
$F$	$F$	$T$	$F \to F = T$	$\lnot{F} \to \lnot{F} = T \to T = T$	$\lnot{F} \to \lnot{F} = T \to T = T$

$p$	$q$	$\lnot q$	$p\lor \lnot q$	$p\land q$	$(p\lor \lnot{q})\to(p\land q)$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$

$x$	$y$	$x\lor y$	$x\land y$	$x\oplus q$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$0$

真值	位
$T$	1
$F$	0

$p$	$q$	$p\land q$	$p\lor q$	$p\oplus q$	$p \to q$
$T$	$T$	$T$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$	$T$

$p$	$q$	$\lnot q$	$p\lor \lnot q$	$p\land q$	$(p\lor \lnot{q})\to(p\land q)$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$

$x$	$y$	$x\lor y$	$x\land y$	$x\oplus q$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$0$

色偷偷精品伊人,欧洲久久精品,欧美综合婷婷骚逼,国产AV主播,国产最新探花在线,九色在线视频一区,伊人大交九 欧美,1769亚洲,黄色成人av

命題邏輯

命題

條件語句

復(fù)合命題的真值表

邏輯運(yùn)算符的優(yōu)先級(jí)

邏輯運(yùn)算和位運(yùn)算

永真式

相關(guān)閱讀更多精彩內(nèi)容

友情鏈接更多精彩內(nèi)容

色偷偷精品伊人,欧洲久久精品,欧美综合婷婷骚逼,国产AV主播,国产最新探花在线,九色在线视频一区,伊人大交九欧美,1769亚洲,黄色成人av

$p$	$q$	$p\land q$	$p\lor q$	$p\oplus q$	$p \to q$
$T$	$T$	$T$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$	$T$

$p$	$q$	$\lnot q$	$p\lor \lnot q$	$p\land q$	$(p\lor \lnot{q})\to(p\land q)$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$

$x$	$y$	$x\lor y$	$x\land y$	$x\oplus q$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$0$