生存分析10- 單個時間點(diǎn)的生存率

?? ?? 生存分析中我們用到的log-rank檢驗或者cox回歸，針對的都是整個生存曲線或生存數(shù)據(jù)的對比。這里主要討論針對某指定時間點(diǎn)或指定生存率進(jìn)行統(tǒng)計推斷所需要用到的分析方法。這些方法均基于K-M估計。針對的原假設(shè)為：
?? ?? H_0: S(t^*)=p^*
?? ?? t^*為特定的某個時間點(diǎn)，p^*為該時間點(diǎn)假定需要達(dá)到的生存率。

K-M法生存函數(shù)估計值：

在大樣本的情況下，K-M估計量近似正態(tài)分布（asymptotically normal），均值為S(t)，方差可以通過不同的方法進(jìn)行估計。

方差估計方法：
1. Greenwood's formula

這里的S(t)是K-M的估計值，帶入不同時間點(diǎn)n_j、d_j可以計算出時刻t時生存率對應(yīng)的的方差。
例子：
時刻 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
事件 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |

2. Peto's formula

首先，對不同的觀測事件時間點(diǎn)進(jìn)行排序：
?? ?? * t_{(1)}<t_{(2)}< ... < t_{(k)} < t_{(k+1)} < ....
?? ?? * t 為指定的任意時間點(diǎn)
?? e.g. t_{(1)}=2，t_{(2)}=5，需要計算計算t=3時的方差。
?? 因為時刻t符合t_{(1)}≤t<t_{(2)}，則上述公式中的k=1，將當(dāng)前時刻的K-M生存率估計值S(t)以及n_k代入公式，可以計算出Peto方差。
?? 在[t_{(k)},t_{(k+1)})的時間段內(nèi)，沒有新事件發(fā)生，生存函數(shù)不變，因此此時方差的計算也保持不變。
?? 文獻(xiàn)中建議當(dāng)生存率較高或較低時，可以使用這種方法進(jìn)行計算。

3. Thomas and Grunkemeier

?? 該方法可指定時刻t^*時的生存率p^*，并進(jìn)一步構(gòu)建置信區(qū)間進(jìn)行統(tǒng)計推斷。
?? 首先通過公式（1）構(gòu)建約束統(tǒng)計量（生存函數(shù)等于某一特定生存率），計算出給定t^*和p^*時的λ，使得\tilde{S}(t^*;t^*,p^*)=p^*

公式1
?? 這里0≤t≤t^*。
?? 類似于K-M生存率可以用于構(gòu)建Greenwood方差，這里的\tilde{S}(t;t^*,p^*)=p^*也可以用于構(gòu)建約束估計方差（constrained estimate of variance）。將λ帶入公式（2）中，可以計算出\tilde{S}(t^*;t^*,p^*)的約束估計方差。
公式2
?? 其中\tilde{p_j}=(n_j+λ-d_j)/(n_j+λ), \tilde{q_j}=1-\tilde{p_j}
?? \hat{S}(t-)和\hat{S}(t-;t^*,p^*) 為時刻t前（不包括時刻t）累積的 \hat{S}(t)和\hat{S}(t;t^*,p^*)

該方差可以用于 Thomas and Grunkemeier 似然比檢驗（Thomas and Grunkemeier likelihood ratio test）。
用deepseek給出的一個計算例子：


4. Rothman

方差的構(gòu)建依賴于S(t)的漸近正態(tài)性，對Greenwood方差進(jìn)行了一定的調(diào)整，調(diào)整參數(shù)為p^*(1-p^*)(假設(shè)H0成立時) / \tilde{S}(t^*)(1-\tilde{S}(t^*))(當(dāng)前估計的方差)，當(dāng)p^*=\tilde{S}(t^*)時，Rothman方差=Greenwood方差。

檢驗方法：
1. 正態(tài)近似法（Z檢驗）

當(dāng)n->∞時，基于K-M估計的統(tǒng)計量趨近于正態(tài)近似分布


其中的variance可以是前面提到的3種方差中的任意一種。
通過計算置信區(qū)間S(t^*)是否落在{p^*±z_{α/2}\hat{σ}(t^*)}來進(jìn)行檢驗。

2. 基于正態(tài)近似法的轉(zhuǎn)換

?? Rothman方差(\hat{σ}_R^2(t^*,p^*))和約束估計方差(\hat{σ}_C^2(t^*,p^*))的缺點(diǎn)是數(shù)據(jù)偏離正態(tài)近似時表現(xiàn)較差。
?? 可以考慮對S(t)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使得轉(zhuǎn)換后的變量更接近正態(tài)分布，從而提升檢驗的穩(wěn)健性，可以用的轉(zhuǎn)換包括logit、arscin、probit和log(-log)轉(zhuǎn)換。


文章中推薦使用log(-log)轉(zhuǎn)換，
轉(zhuǎn)換后的方差為\hat{σ}_G^2(t^*)/[\hat{S}(t^*)log{\hat{S}(t^*)}]^2
拒絕原假設(shè)時：

當(dāng)\hat{S}(t^*)=0或1，log(-log)轉(zhuǎn)換不適用。

3. Thomas and Grunkemeier’s likelihood ratio test (似然比檢驗)

通過前面提到的Thomas and Grunkemeier方差構(gòu)建似然比檢驗。
當(dāng)-2R>χ^2_{1,α}時拒絕H0.

總結(jié)

當(dāng)樣本量很小時，基于正態(tài)近似Greenwood's test和Peto's test不適用。文獻(xiàn)中推薦使用Thomas and Grunkemeier似然比檢驗，但當(dāng)樣本量小且刪失數(shù)據(jù)多時不適用。
剩下的其他方法里，基于正態(tài)近似的約束估計方差（constrained variance）及Rothman方法較好。

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