閱讀《數(shù)字圖像處理（MATLAB版）》筆記

date: 2018-4-3
閱讀《數(shù)字圖像處理（MATLAB版）》，這里作個(gè)筆記，記錄學(xué)過(guò)的東西，方便時(shí)時(shí)復(fù)習(xí)。

序言

這一章介紹了MATLAB的一些基礎(chǔ)語(yǔ)法知識(shí)，像基礎(chǔ)的運(yùn)算、函數(shù)控制語(yǔ)句。其中我個(gè)人覺(jué)得匿名函數(shù)很有意思，以前只是看到有@符號(hào)，但沒(méi)具體用過(guò)，這里作下記錄。

@表示函數(shù)句柄，可以作為函數(shù)別名和匿名函數(shù)，下面是簡(jiǎn)單的例子。

% 函數(shù)別名，f函數(shù)可以當(dāng)成sin函數(shù)使用
f=@sin;
% 匿名函數(shù)，g(x)函數(shù)用來(lái)求x每個(gè)元素的平方
g=@(x) x.^2;

灰度變換與空間濾波

這一章主要是介紹灰度變換和空間濾波，其中，灰度變換有圖像變換（imadjust，圖像反轉(zhuǎn)、簡(jiǎn)單灰度擴(kuò)展）、圖像拉伸（stretchlim，對(duì)數(shù)及對(duì)比度拉伸變換），直方圖匹配（直方圖相關(guān)算法、直方圖均衡histeq），空間濾波有線性和非線性的區(qū)別。線性濾波具體的過(guò)程是由時(shí)域的卷積得來(lái)，主要使用imfilter函數(shù)，需要一個(gè)模板。模板可以使用fspecial函數(shù)產(chǎn)生，也可以自己寫模板。非線性濾波器，書里面講了統(tǒng)計(jì)排序?yàn)V波器ordfilt2，它們的響應(yīng)基于對(duì)圖像鄰域中所包含像素的排序，然后使用排序結(jié)果確定的值替換鄰域中的中心像素值。

頻率域?yàn)V波

在頻率域中濾波操作是將圖片通過(guò)傅里葉變換轉(zhuǎn)化為頻率域之后，用相同大小的數(shù)組直接相乘。其中，進(jìn)行傅里葉變換的圖片需要轉(zhuǎn)化成float格式（im2single函數(shù)），為什么不用double？因?yàn)楦道锶~變換很耗內(nèi)存。相乘后，使用傅里葉逆變換處理后，需要將得到的圖片轉(zhuǎn)化為原來(lái)的格式。頻率是亮度，相位是位置。

其中，頻率域是周期變化的，對(duì)周期函數(shù)進(jìn)行卷積操作會(huì)使相鄰周期的干擾，產(chǎn)生折疊誤差，所以會(huì)填充零來(lái)避免，當(dāng)然，還存在別的填充方式，比如循環(huán)等。

DFT的幾個(gè)步驟：轉(zhuǎn)化成float，獲取填充參數(shù)，使用傅里葉變換，用濾波器乘以變換結(jié)果，逆變換，修剪成原來(lái)的大小，轉(zhuǎn)換成原來(lái)的數(shù)據(jù)格式。

空間濾波器和頻率濾波器的變換

幾種低通濾波器的傳遞函數(shù)：
\begin{aligned} \begin{array}{ccc} \text{標(biāo)準(zhǔn)低通濾波器ILPF}: & & \\ & H(u,v) = \left\{ \begin{array}{cc} 1, & D(u,v) \leq D_0 \\ 0, & D(u,v) > D_0 \end{array} \right. & \\ \text{巴特沃斯低通濾波器BLPF}: & & \\ & H(u,v) = \frac{1}{1+D(u,v) / D_0^{2 n}} & \\ \text{高斯低通濾波器GLPF} : & & \\ & H (u,v) = e^{- D^2 (u,v) / 2 \sigma^2} & \end{array} \end{aligned}

高通濾波器剛好相反，H_{HP}(u,v) = 1-H_{LP}(u,v)，其中巴特沃斯高通濾波器為：
H (u,v) = \frac{1}{[1 + D_{0} / D (u,v)]^{2 n}}

在實(shí)際應(yīng)用中?；旌鲜褂眠@幾種方法。

圖像復(fù)原與重建

圖像復(fù)原

都是以預(yù)先確定的目標(biāo)來(lái)改善圖像，圖像增強(qiáng)主要是主觀處理，讓人看起來(lái)更舒服，圖像重建大部分是客觀處理，利用退化現(xiàn)象的某種先驗(yàn)知識(shí)來(lái)復(fù)原一張退化的圖像。

退化: g(x,y) = Hf(x,y) + \eta (x,y)，f(x,y)表示原圖，g(x,y)表示退化圖像。

圖像退化模型是：
f (x,y) \rightarrow H \rightarrow + \eta (x,y) \rightarrow g(x,y) \rightarrow \hat{f} (x,y)

退化函數(shù)H是頻率域下的變化，如果H是一個(gè)線性的、空間不變的過(guò)程，那么空間域的退化圖像可表示為: g(x,y) = h(x,y) \star f(x,y) + \eta(x,y)。

f(x,y)在頻率域?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=F%20(x%2Cy)" alt="F (x,y)" mathimg="1">，有時(shí)被稱為光傳遞函數(shù)（OTF）, h(x,y)稱為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF）。OTF和PSF是一個(gè)傅里葉變換對(duì)，matlab里有otf2psf和psf2otf用于OTF和PSF間互相轉(zhuǎn)換。

使用imnoise函數(shù)添加噪聲，但生成的噪聲有限，如果想生成規(guī)定分布的噪聲的話，需要自己動(dòng)手。

如果退化的只有噪聲的話，可以采用空間濾波來(lái)復(fù)原原圖，書上寫了自適應(yīng)中值濾波，代碼值得一看。

使用頻率域?yàn)V波降低周期噪聲。周期噪聲再頻率域上表現(xiàn)為類似沖擊的脈沖，濾除這些分量的主要方法是使用陷波帶阻濾波器。具有Q個(gè)陷波對(duì)的陷波帶阻濾波器的通式為：
H{NR} (u,v) = \prod_{k = 1}^Q H_k (u，v) H_{- k} (u,v)
式中，H_k (u,v)和H_{- k} (u,v)都是高通濾波器，中心點(diǎn)分別是(u_k, v_k)和(- u_k, - v_k)。

直接逆濾波，即忽略噪聲項(xiàng)，形成如下估計(jì)：

\hat{F} (u,v) = \frac{G (u,v)}{H (u,v)}

取\hat{F} (u, v)的傅立葉反變換就能得到圖像的相應(yīng)估計(jì)。

維納濾波，最早也是最為知名的線性圖像復(fù)原方法，尋找統(tǒng)計(jì)誤差函數(shù)e^2 = E \{ (f-\hat{f})^2 \}。

即，均方誤差的一個(gè)最小估計(jì)。在頻率域上的解是：
\hat{F} (u,v) = \frac{1}{H (u,v)} \frac{|H (u,v) |^2}{|H (u,v) |^2 - S_{\eta} (u,v) / S_f (u,v)} G (u,v)

其中，H (u, v)表示退化函數(shù)，S_{\eta} (u, v) = |N (u, v)|^2表示噪聲功率譜，S_f (u, v) = |F (u, v)|^2表示未退化圖像功率譜。

用常量數(shù)組來(lái)代替S_{\eta} (u, v) / S_f (u,v)就得到了所謂的參數(shù)維納濾波器。即使是用一個(gè)常量數(shù)組的簡(jiǎn)單行為也可以對(duì)直接逆濾波產(chǎn)生重大的改進(jìn)。實(shí)現(xiàn)維納濾波的函數(shù)是deconvwnr函數(shù)。

圖像重建

圖像重建是用一系列一維投影來(lái)重建圖像，在醫(yī)學(xué)圖像重建中的計(jì)算機(jī)斷層（CT）的主要應(yīng)用方法。

主要的技術(shù)是反投影，沿射線射入的方向把吸收剖面投影回去。由一個(gè)吸收剖面波形生成一幅二維圖像，然后使用不同的角度，將生成的二維圖像進(jìn)行疊加，最后形成重建圖片。

后面是數(shù)學(xué)上描述反投影和減少模糊的方法。

數(shù)學(xué)上描述投影的機(jī)制稱為雷登變換。公式為：

g (\rho, \theta) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) \delta (\text{xcos} \theta + \text{ycos} \theta - \rho) \text{dxdy}

離散形式：

g (\rho，\theta) = \sum_{x = 0}^{M - 1} \sum_{y = 0}^{N - 1} f (x, y) \delta (\text{xcos} \theta + \text{ysin} \theta - \rho)

在\theta角度的反投影圖像為：

f_{\theta} (x,y) = g (\rho, \theta) = g (\text{xcos} \theta + \text{ycos} \theta，\theta)

對(duì)上半周進(jìn)行積分，即\theta (0, \pi)，有：

f (x,y) = \int_0^{\pi} f_{\theta} (x,y) d{\theta} = \sum_{\theta = 0}^{\pi} f_{\theta} (x,y)

傅立葉切片定理：

G (\omega,\theta) = \int_{- \infty}^{\infty} g (\rho,\theta) e^{- j 2 {\pi}{\omega}{\rho}} d{\rho}

一個(gè)投影的二維傅立葉變換是得到該投影區(qū)域的二維傅立葉變換的一個(gè)切片。

平行束投影通過(guò)如下步驟得到：

  1. 計(jì)算每個(gè)投影的一維傅里葉變換；

  2. 用濾波函數(shù)| \omega |乘以每個(gè)傅里葉變換；

  3. 得到第二步的每個(gè)傅里葉反變換；

  4. 對(duì)第三步的所有結(jié)果進(jìn)行積分（求和），得到f (x, y)。

因?yàn)槭褂昧艘粋€(gè)濾波器，所以上面的辦法可以稱為由濾波投影重建圖像。

彩色圖像

彩色圖像涉及到彩色圖像的圖像空間變換，濾波操作，閾值處理，即邊緣檢測(cè)，圖像分割。

空間濾波都可以轉(zhuǎn)換成單層的灰度圖像進(jìn)行。而邊緣檢測(cè)不能夠分層進(jìn)行，在(x,y)點(diǎn)的角度為：

\theta (x,y) = \frac{1}{2} \arctan \left[ \frac{2g{xy}}{g_{xx} - g_{xy}} \right]

其中，g_{xy} = u {\cdot}u = u^T u = \left| \frac{\partial R}{\partial x} \right|^2 + \left| \frac{\partial G}{\partial x} \right|^2 + \left| \frac{\partial B}{\partial x} \right|^2

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