1. 灰狼算法簡(jiǎn)介

（以下描述，均不是學(xué)術(shù)用語(yǔ)，僅供大家快樂(lè)的閱讀）
　　灰狼算法（Grey Wolf Algorithm）是受灰狼群體捕獵行為啟發(fā)而提出的算法。算法提出于2013年，仍是一個(gè)較新的算法。目前為止（2020）與之相關(guān)的論文也比較多，但多為算法的應(yīng)用，應(yīng)該仍有研究和改進(jìn)的余地。
　　灰狼算法中，每只灰狼的位置代表了解空間中的一個(gè)可行解。群體中，占據(jù)最好位置的三只灰狼為狼王及其左右護(hù)法（衛(wèi)）。在捕獵過(guò)程中這三只狼將帶領(lǐng)著狼群蛇皮走位，抓捕獵物，直至找到獵物（最優(yōu)解）。當(dāng)然狼王不會(huì)一直是狼王，左右護(hù)法也是一樣，每一輪走位后，會(huì)根據(jù)位置的優(yōu)劣重新選出新的狼王和左右護(hù)法。狼群中的每一只灰狼會(huì)向著（也可能背向）這三只位置最優(yōu)的灰狼移動(dòng)一定的距離，來(lái)決定這一步自己將如何走位。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，灰狼個(gè)體會(huì)向則群體中最優(yōu)的三個(gè)個(gè)體移動(dòng)。

2. 算法流程

很明顯該算法的主角就是灰狼了。

　　灰狼群在D維空間內(nèi)有N個(gè)個(gè)體，其位置為

X=(x^1,x^2,...x^D)

，其適應(yīng)度值為F(x) ，每只灰狼并沒(méi)有其他特殊的屬性，行為也較為簡(jiǎn)單。
　　原文描述了灰狼群的很多行為，如包圍獵物（Encircling prey）、搜尋獵物(Search for prey )、攻擊獵物（Attacking prey），但其核心行為只有一個(gè)，就是捕獵(Hunting)。其他的行為都是捕獵行為的組成部分，用來(lái)說(shuō)明捕獵的流程以及參數(shù)對(duì)行為的影響。
　　在這里，為了方便描述，根據(jù)算法的計(jì)算流程將其捕獵行為分為兩個(gè)步驟：
　　1.觀(guān)察，即計(jì)算一只灰狼向著目標(biāo)頭狼（頭狼及其左右）前進(jìn)后的位置。
　　2.行動(dòng)，根據(jù)觀(guān)察所有的頭狼計(jì)算出的下一步的位置并移動(dòng)到那里。

2.1觀(guān)察

設(shè)定目標(biāo)灰狼為
$X_p=(x_p^1,x_p^2,...x_p^D)$ ，當(dāng)前灰狼的為 $X_i=(x_i^1,x_i^2,...x_i^D)$ ，則該灰狼向著目標(biāo)灰狼移動(dòng)后的位置可以由一下公式計(jì)算得出：

　　其中A為取值范圍-a到a的均勻隨機(jī)數(shù)，a為常數(shù)，初始值為2，并隨著算法迭代由2線(xiàn)性遞減至0。C為取值0或2的隨機(jī)數(shù)。
　　從公式可以看出，經(jīng)過(guò)移動(dòng)后，灰狼i將移動(dòng)到目標(biāo)灰狼p的周?chē)?，其方位由自身每一維度的大小及隨機(jī)數(shù)C決定，而其距離目標(biāo)灰狼p的距離將由隨機(jī)數(shù)A決定。由A的定義可知隨著迭代次數(shù)增加，觀(guān)察后的灰狼位置將會(huì)離目標(biāo)灰狼越來(lái)越近。

2.2行動(dòng)

灰狼群體中位置最好的三只灰狼編號(hào)為1,2,3，那么當(dāng)前的灰狼i通過(guò)觀(guān)察灰狼1、灰狼2和灰狼3，根據(jù)公式（1）得出的三個(gè)位置為Ｘi1,Xi2,Xi3。那么灰狼i將要移動(dòng)到的位置可以根據(jù)以下供述計(jì)算得出：

　　可以看出該灰狼的目標(biāo)位置是通過(guò)觀(guān)察三只頭狼得到的三個(gè)目標(biāo)位置的所圍成的區(qū)域的質(zhì)心。（質(zhì)心超出邊界時(shí)，取值為邊界值）。

灰狼算法的論文描述很多，但是其公式和流程都非常簡(jiǎn)單，主要對(duì)其參數(shù)A和C的作用效果進(jìn)行了詳細(xì)描述。
　　C主要決定了新位置相對(duì)于目標(biāo)灰狼的方位，而A則決定新位置向目標(biāo)靠近還是遠(yuǎn)離目標(biāo)灰狼。當(dāng)|A|>=1時(shí)，為遠(yuǎn)離目標(biāo)，表現(xiàn)出更強(qiáng)的全局搜索能力，|A|<1時(shí)靠近目標(biāo)，表現(xiàn)出更強(qiáng)的局部搜索能力。

3. 實(shí)驗(yàn)

適應(yīng)度函數(shù) $f(x_1,x_2)=(x_1-a)^2+(x_2-b)^2,a=b=0$ 。
實(shí)驗(yàn)一：

	值
問(wèn)題維度(維度)	2
總?cè)簲?shù)量(種群數(shù))	20
搜索次數(shù)(最大迭代次數(shù))	100
A	Rand(-a,a),a=2->0
C	Rand{0,2}
取值范圍	（-100，100）
實(shí)驗(yàn)次數(shù)	10

	值
最優(yōu)值	2.6062775921213544E-22
最差值	5.17099440808296E-14
平均值	5.175029931249637E-15

看看這圖像和結(jié)果，效果好極了。每當(dāng)我這么認(rèn)為時(shí)，總會(huì)出現(xiàn)意想不到的轉(zhuǎn)折。
　　修改一下最優(yōu)解位置試一試， $f(x_1,x_2)=(x_1-a)^2+(x_2-b)^2,a=b=90$ 。
實(shí)驗(yàn)二： $f(x_1,x_2)=(x_1-a)^2+(x_2-b)^2,a=b=90$ 。

	值
最優(yōu)值	0.023179729319963736
最差值	0.42578156266405487
平均值	0.18248549905908668

其結(jié)果比上面的實(shí)驗(yàn)差了不少，但我覺(jué)得這才是一個(gè)優(yōu)化算法應(yīng)有的搜索圖像。其結(jié)果看上去較差只是因?yàn)榈螖?shù)較少，收斂不夠迅速，這既是優(yōu)點(diǎn)也是缺點(diǎn)，收斂慢但是搜索更細(xì)致。
　　仔細(xì)分析灰狼算法的流程，它并沒(méi)有向原點(diǎn)靠近的趨勢(shì)，那只能理解為算法群體總體上向著群體的中心移動(dòng)。猜想：當(dāng)初始化群體的中心恰好是正解時(shí)，算法的結(jié)果將會(huì)非常的好。
　　下面使用 $f(x_1,x_2)=(x_1-a)^2+(x_2-b)^2,a=b=0$ ，并將灰狼的初始位置限定在（50,100）的范圍內(nèi)，看看實(shí)驗(yàn)圖像是否和實(shí)驗(yàn)二的圖像一致。

實(shí)驗(yàn)三. $f(x_1,x_2)=(x_1-a)^2+(x_2-b)^2,a=b=0$ ,初始種群取值范圍為（50,100）

	值
最優(yōu)值	2.1606056479627276E-24
最差值	8.28885463444239E-18
平均值	1.5379045385036046E-18

這圖像和結(jié)果跟實(shí)驗(yàn)一的不是一樣的嗎?這說(shuō)明從實(shí)驗(yàn)二中得出的猜想是錯(cuò)誤的。

　　從圖像中可以看出，雖然初始化時(shí)，群體集中在右下角，但隨著算法的迭代，群體將迅速擴(kuò)散到整個(gè)解空間中，在逐漸的收斂到原點(diǎn)且收斂速度很快。故猜想：當(dāng)最優(yōu)解在原點(diǎn)附近時(shí)，灰狼算法將會(huì)得到非常好的結(jié)果。
　　下面將目標(biāo)函數(shù)的解空間搬離原點(diǎn)，看看灰狼算法的效果
實(shí)驗(yàn)四.

f(x1,x2)=(x1-a)^2+(x2-b)^2,a=b=75

,初始種群取值范圍為（50,100），解空間范圍同樣為（50，100）

	值
問(wèn)題維度(維度)	2
總?cè)簲?shù)量(種群數(shù))	20
搜索次數(shù)(最大迭代次數(shù))	100
A	Rand(-a,a),a=2->0
C	Rand{0,2}
取值范圍	（50，100）
實(shí)驗(yàn)次數(shù)	10

	值
最優(yōu)值	0.002612674971178293
最差值	0.5531163122132745
平均值	0.17749064798407285

從圖像和結(jié)果上看，都和實(shí)驗(yàn)二非常相似，當(dāng)解在解空間的中心時(shí)但不在原點(diǎn)時(shí)，算法的結(jié)果將差一些。
　　為什么會(huì)這樣呢？從算法的流程上看，灰狼算法的各個(gè)行為都是關(guān)于頭狼對(duì)稱(chēng)的，當(dāng)最優(yōu)解在原點(diǎn)且頭狼在附近時(shí)，公式（1）將變?yōu)槿缦拢?br>

　　通過(guò)公式（2）計(jì)算其中心在原點(diǎn)附近很大（其數(shù)學(xué)期望為原點(diǎn)）。
　　單獨(dú)看灰狼個(gè)體的移動(dòng)過(guò)程沒(méi)有任何問(wèn)題，但是總體上看則產(chǎn)生了微弱的向原點(diǎn)靠近的趨勢(shì)，所以當(dāng)解在原點(diǎn)時(shí)，算法的結(jié)果會(huì)異常的好。
　　個(gè)人認(rèn)為這并沒(méi)有什么問(wèn)題，只是在做對(duì)比試驗(yàn)時(shí)應(yīng)避免將待求函數(shù)的解放在原點(diǎn)即可。
　　迭代過(guò)程中，由于A(yíng)的值由2線(xiàn)性遞減至0，在算法的前半段A>1,個(gè)體將會(huì)進(jìn)行全局搜索，而在后半段進(jìn)行局部搜索，所以群體會(huì)在一開(kāi)始時(shí)擴(kuò)散到整個(gè)解空間，再慢慢聚攏到群體中心附近。
　　從圖像中可以看出，灰狼算法是一個(gè)沒(méi)有“貪心”的算法，所有的個(gè)體都在不停的移動(dòng)，這樣算法的全局搜索能力會(huì)更強(qiáng)，精度稍差。下面試著為3只頭狼添加“貪心算法”：即這三只頭狼在找到優(yōu)于當(dāng)前的位置時(shí)才進(jìn)行移動(dòng)。

實(shí)驗(yàn)五. $f(x_1,x2)=(x_1-a)^2+(x_2-b)^2,a=b=75$ ,三只頭狼添加貪心算法。

	值
問(wèn)題維度(維度)	2
總?cè)簲?shù)量(種群數(shù))	20
搜索次數(shù)(最大迭代次數(shù))	100
A	Rand(-a,a),a=2->0
C	Rand{0,2}
取值范圍	（50，100）
實(shí)驗(yàn)次數(shù)	10

	值
最優(yōu)值	0.02060156741278336
最差值	0.27945550433647137
平均值	0.10352694023379161

從圖像可以看出中心的三個(gè)點(diǎn)移動(dòng)的頻率要比其他點(diǎn)的移動(dòng)頻率低。從結(jié)果上可以看出其結(jié)果相對(duì)穩(wěn)定了不少，不過(guò)差距非常的小，幾乎可以認(rèn)為是運(yùn)氣好所導(dǎo)致。如果所有的個(gè)體都添加貪心算法呢？顯然，算法的全局搜索能力將進(jìn)一步減弱，并且更容易向群體中心收斂，這并不是一個(gè)好的操作。

實(shí)驗(yàn)六. $f(x_1,x_2)=(x_1-a)^2+(x_2-b)^2,a=b=75$ ,
在實(shí)驗(yàn)五的基礎(chǔ)上為狼群添加一個(gè)統(tǒng)一的步長(zhǎng)，即每只狼每次向著目標(biāo)狼移動(dòng)的距離不能大于其步長(zhǎng)，將其最大步長(zhǎng)設(shè)為1，看看效果。

	值
問(wèn)題維度(維度)	2
總?cè)簲?shù)量(種群數(shù))	20
搜索次數(shù)(最大迭代次數(shù))	100
A	Rand(-a,a),a=2->0
C	Rand{0,2}
StepMax(最大步長(zhǎng))	1
取值范圍	（50，100）
實(shí)驗(yàn)次數(shù)	10

從圖像可以看出，受到步長(zhǎng)的約束每只狼的移動(dòng)距離較小，在結(jié)束時(shí)還沒(méi)有收斂，其搜索能力較強(qiáng)但收斂速度過(guò)慢且極易陷入局部最優(yōu)。現(xiàn)在將最大步長(zhǎng)設(shè)置為10（1/10解空間范圍）使其搜索能力和收斂速度相對(duì)平衡，在看看效果。

	值
最優(yōu)值	1.7013036590205155E-4
最差值	0.21432062721204184
平均值	0.09147526762644856

從圖像可以看出，算法的收斂速度快了不少，但從結(jié)果可知，相較于實(shí)驗(yàn)五，算法的提升并不太大。
　　不過(guò)這個(gè)圖像有一種似曾相識(shí)的感覺(jué)，與螢火蟲(chóng)算法（FireFly Algorithm）差不多，仔細(xì)對(duì)比這兩個(gè)算法可以發(fā)現(xiàn)，灰狼算法相當(dāng)于螢火蟲(chóng)算法的一個(gè)簡(jiǎn)化。實(shí)驗(yàn)六種對(duì)灰狼算法添加步長(zhǎng)的修改，讓其離螢火蟲(chóng)算法更近了一步。

實(shí)驗(yàn)七. $f(x_1,x_2)=(x_1-a)^2+(x_2-b)^2,a=b=75$ ,
在實(shí)驗(yàn)六的基礎(chǔ)上讓最大步長(zhǎng)隨著迭代次數(shù)增加遞減。

	值
問(wèn)題維度(維度)	2
總?cè)簲?shù)量(種群數(shù))	20
搜索次數(shù)(最大迭代次數(shù))	100
A	Rand(-a,a),a=2->0
C	Rand{0,2}
StepMax(最大步長(zhǎng))	20->0
取值范圍	（50，100）
實(shí)驗(yàn)次數(shù)	10

	值
最優(yōu)值	5.15374332251629E-5
最差值	0.13904018569004928
平均值	0.04869044113468185

從實(shí)驗(yàn)七的圖像可以看出，種群的收斂速度好像快了那么一點(diǎn)，結(jié)果也變好了不少。但是和改進(jìn)后的螢火蟲(chóng)算法相比仍然有一定的差距。
　　灰狼算法在全局搜索和局部搜索上的平衡已經(jīng)比較好了，嘗試過(guò)對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，但是修改使搜索能力更強(qiáng)時(shí)，對(duì)于局部最優(yōu)的函數(shù)求解效果很差，反之結(jié)果的精度較低，總體而言修改后的算法與原算法相差無(wú)幾。

灰狼算法是根據(jù)灰狼群體的捕獵行動(dòng)而提出的優(yōu)化算法，其算法流程和步驟非常簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)模型也非常的優(yōu)美?；依撬惴ㄓ捎跊](méi)有貪心算法，使得其有著較強(qiáng)的全局搜索能力同時(shí)參數(shù)A也控制了算法的局部搜索范圍，算法的全局搜索能力和局部搜索能力比較平衡。
從算法的優(yōu)化圖像可以看出，灰狼算法和螢火蟲(chóng)算法非常的相似?？梢哉J(rèn)為，灰狼算法是對(duì)螢火蟲(chóng)算法的一種改進(jìn)。螢火蟲(chóng)算法向著由于自己的個(gè)體飛行，而灰狼算法則的條件更為苛刻，向著群體前三強(qiáng)前進(jìn)，螢火蟲(chóng)算法通過(guò)步長(zhǎng)控制搜索范圍，而灰狼算法則直接定義搜索范圍參數(shù)A，并令A(yù)線(xiàn)性遞減。
灰狼算法的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但也不容易改進(jìn)，數(shù)次改進(jìn)后只是改變了全局搜索能力和局部搜索能力的比例，綜合能力并沒(méi)有太大變化。
由于原點(diǎn)對(duì)于灰狼算法有著隱隱的吸引力，當(dāng)測(cè)試函數(shù)目標(biāo)值在原點(diǎn)時(shí)，其結(jié)果會(huì)異常的好。因此，灰狼算法的實(shí)際效果沒(méi)有論文中的那么好，但也不差，算是一個(gè)中規(guī)中矩的優(yōu)化算法。
參考文獻(xiàn)
Mirjalili S , Mirjalili S M , Lewis A . Grey Wolf Optimizer[J]. Advances in Engineering Software, 2014, 69:46-61. 提取碼：wpff

以下指標(biāo)純屬個(gè)人yy,僅供參考

指標(biāo)	星數(shù)
復(fù)雜度	★★☆☆☆☆☆☆☆☆
收斂速度	★★★★★☆☆☆☆☆
全局搜索	★★★★★☆☆☆☆☆
局部搜索	★★★★★☆☆☆☆
優(yōu)化性能	★★★★★☆☆☆☆☆
跳出局部最優(yōu)	★★★☆☆☆☆☆☆☆
改進(jìn)點(diǎn)	★★☆☆☆☆☆☆☆☆

目錄
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優(yōu)化算法筆記（十八）灰狼算法

優(yōu)化算法筆記（十八）灰狼算法

1. 灰狼算法簡(jiǎn)介

2. 算法流程

2.1觀(guān)察

2.2行動(dòng)

3. 實(shí)驗(yàn)

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