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對于圖中的拋物線 $y=1-x^2$ ，如何求出藍(lán)色部分面積？

人工智能通識(shí)-2019年3月專題匯總

幾何級數(shù)Geometric series

幾何級數(shù)就是指以固定比例持續(xù)增加的一組數(shù)字，類似 $1,r,r^2,r^3,r^4,r^5....r^n$ ，后一項(xiàng)總是前一項(xiàng)乘以 $r$ ，所以這樣的數(shù)列就叫做幾何級數(shù),比如 $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}...$ 。

怎么求和？

$\sum_{k=0}^\infty r^k=？$

利用補(bǔ)項(xiàng)相減法計(jì)算過程如下：
$\begin{align} s&=1 + r + r^2 + r^3 + r^4 + r^{n-1} \\ rs&=r + r^2 + r^3 + r^4 + r^{n-1} + r^n\\ s-rs&=1 -r^n\\ s(1-r)&=1-r^n\\ s&=\frac{1-r^n}{1-r}\\ \end{align}$
所以當(dāng) $|r|<1$ ，也就是 $r$ 是絕對值小于1的正分?jǐn)?shù)或負(fù)分?jǐn)?shù)時(shí)候，當(dāng) $n$ 趨近無窮大的時(shí)候， $r^n$ 趨近無窮小接近0，那時(shí)候 $1-r^n$ 就趨近于1，就得到：
$1 + r + r^2 + r^3 + r^4 +...=\frac{1}{1-r} \qquad\qquad ( |r|<1)$

比如：
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}...=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$

三角形的面積

我們都知道三角形的面積是底乘以高除以2，但換一種看法，在下圖中，黃色三角形被中間的豎線NRQP分成左右兩個(gè)小三角形，大黃色三角形面積就可以表示為左側(cè)三角形MNQ和右側(cè)三角形NQK面積之和。

即：
$\begin{align} \triangle MNK&=\triangle MNQ+\triangle NQK\\ &=\frac{1}{2}NQ\times MP+\frac{1}{2}NQ\times MP\\ &=\frac{1}{2}NQ\times (MP+RK)\\ &=\frac{1}{2}NQ\times MT \end{align}$

也就是說，黃色三角形面積等于中間豎線與三角形相交的NQ乘以橫向總寬度MT的一半。

拋物線下的面積

好了，我們回到一開始的問題，藍(lán)色面積怎么求？

如圖，先看左半部分，我們連接AC得到三角形 $\triangle ABC$ ，這是個(gè)直角邊為1的45度直角三角形，面積是 $\frac{1}{2}$ 。

再看綠色部分 $\triangle AEC$ ，根據(jù)上面我們的經(jīng)驗(yàn)，它的面積等于 $\frac{1}{2} \times ED \times AB$ 。這里AB是1可以忽略。ED長度是多少？

注意到 $\triangle ADF$ 和 $\triangle ACB$ 是相似三角形，所以
$\frac{CB}{AB}=\frac{DF}{AF}$
即：
$DF=AB \times \frac{DF}{AF}=1/2$
同時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)橫向是 $-\frac{1}{2}$ ，根據(jù)函數(shù) $y=1-x^2$ 得到E點(diǎn)的高度是 $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ 。所以ED是 $\frac{1}{4}$ ， $\triangle AEC$ 面積是 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times 1=\frac{1}{8}$ 。