EE103(5)：使用線性代數(shù)知識進行彈道計算

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仿真

實驗原理

建模

假設(shè)一個物體在二維平面中移動。對位置和速度在\tau=0,h,2h,...上進行采樣。

  • 長度2向量p_t是\tau=0,h,2h,...,(T-1)h時刻的位置向量
  • 長度2向量v_t是\tau=0,h,2h,...,(T-1)h時刻的速度向量
  • 長度2向量f_t是\tau=0,h,2h,...,(T-1)h時刻施加于物體的作用力向量
  • 長度4向量
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    是\tau=0,h,2h,...時刻的物體狀態(tài)

作用力的計算

f_t=mg-\eta(v_t-\omega)

  • \omega為風(fēng)速
  • \eta(v_t-\omega)為阻力

狀態(tài)轉(zhuǎn)移

p_{t+1}=p_t+hv_t，v_{t+1}=v_t+\frac{h}{m}f_t

綜合得v_{t+1}=(1-\frac{h\eta}{m})v_t+(hg+\frac{h\eta\omega}{m})

建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型x_{t+1}=Ax_t+b，下角標(biāo)表示某一維度

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實驗步驟與結(jié)果

仿真參數(shù)：m=5\quad T=100\quad h=0.1\quad \eta=0.05\quad p_0=0

分別選取\theta為30°、45°、80°，v為50、75、100，\omega（[x,y]）為[0,0]、[-10,0]、[-10,-10]，得到結(jié)果如下

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實驗分析

相同v和\omega條件下，不同發(fā)射角度會產(chǎn)生不同發(fā)射距離，\theta=45°時發(fā)射距離最遠(yuǎn)

相同v和\theta條件下，不同發(fā)射速度會產(chǎn)生不同發(fā)射距離，v越大發(fā)射距離越遠(yuǎn)

\omega不同方向上分量大小，會影響不同方向上的運動距離

制導(dǎo)問題

實驗原理

已知初始點p_0和目標(biāo)點p_T，給定h,m,\omega,\eta，尋找合適的v_0

x_T可以表示為

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，其中
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F表示了初始狀態(tài)對最終狀態(tài)的作用，j表示了運動過程中重力與風(fēng)的作用

單看p_T，即x_T的前兩位，則有

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，其中是的左上分塊，是的右上分塊，是長度4向量j的前兩位，使用該式子可以解出

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實驗步驟與結(jié)果

改變\omega，令目標(biāo)點分別為[100,0]、[200,0]、[300,0]，計算所需發(fā)射速度

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實驗分析

目標(biāo)點y軸分量一致且子彈飛行時間一致時，發(fā)射速度y軸分量一致

子彈飛行時間一致時，目標(biāo)點x軸分量越大，發(fā)射速度x軸分量越大

\omega不同方向上分量大小，會影響不同方向上的發(fā)射速度

魯棒的制導(dǎo)問題

實驗原理

對于一組給出的\omega和\eta測量數(shù)據(jù)，通過最小二乘法求取最合適的v_0

目標(biāo)函數(shù)：
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使用共軛梯度下降法對目標(biāo)函數(shù)進行優(yōu)化

實驗步驟與結(jié)果

隨機生成10組\omega和\eta，以[0,0]為起點，[200,0]為目標(biāo)點，生成目標(biāo)函數(shù)，用共軛梯度法優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)解出合適的v_0。以v_0為初速度，在不同\omega和\eta情況下的運動軌跡如圖所示

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實驗分析

使用最小二乘法，將v_0的兩個分量視為兩個自變量，構(gòu)造殘差函數(shù)，可以計算出最適合的v_0，使得在不同外界條件影響下，最終落點盡可能接近目標(biāo)點

三維空間的情況

對于三維空間，只需要將長度2向量擴增為長度3向量即可。相應(yīng)地，A、b、C、d也需要進行擴增。

3D仿真

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3D制導(dǎo)問題

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3D魯棒制導(dǎo)問題

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