《伊索寓言》中有一則有趣的故事"狼與小孩
一個(gè)小孩每天到山上放羊，山里有狼出沒(méi)。有一天，他閑的無(wú)聊在山上喊:"狼來(lái)了!狼來(lái)了!",山下的村民便聞聲去打狼，可是到了山上卻沒(méi)有發(fā)現(xiàn)狼。第二天仍是如此。到了第三天狼真的來(lái)了，可是無(wú)論小孩怎么叫喊，也沒(méi)有人來(lái)救他,因?yàn)榍皟纱嗡麑?duì)村民們說(shuō)了謊，村民們便不再相信他了。
用貝葉斯公示分析一下故事中村民們對(duì)該小孩的可信程度是如何下降的。
首先記A={小孩說(shuō)謊}，B={小孩可信度}
設(shè)村民們過(guò)去對(duì)小孩的印象為P（B）=0.8,P() = 0.2
需要計(jì)算P(B|A),即小孩說(shuō)謊一次后的可信度。需要P(A|B)和P(A|)
P(A|B):表示"村民相信孩子的話"時(shí)孩子說(shuō)謊的概率
P(A|):表示村民“不相信孩子的話”時(shí)孩子說(shuō)謊的概率。
不妨設(shè)：P(A|B)=0.1， P(A|)=0.5
第一次村民們上山打狼，發(fā)現(xiàn)狼沒(méi)來(lái)，即小孩說(shuō)了謊.村民們根據(jù)這個(gè)信息，對(duì)這個(gè)小孩的可信度重新進(jìn)行評(píng)估，改變?yōu)?由貝葉斯公式)
現(xiàn)在用貝葉斯公式來(lái)求：P(B|A) = =
≈0.444
這表明村民們?cè)谏狭艘淮萎?dāng)之后，對(duì)這個(gè)小孩的可信程度由原來(lái)的P(B)=0.8下降到P(B|A)=0.444
即：P(B)=0.444 ,P() = 0.556
在此基礎(chǔ)上，我們?cè)僖淮斡秘惾~斯公式計(jì)算P(B|A) 。即小孩第二次說(shuō)謊后，村民們對(duì)他的可信度改變?yōu)?
P(B|A) = =
≈0.138
這表明村民們?cè)俣紊袭?dāng)之后，對(duì)這個(gè)小孩的可信度由原來(lái)的0.8降到0.444，再次降到0.138，假設(shè)信用度的閾值為0.2，低于0.2便不再相信。所以，村民們?cè)诘谌温牭胶艚袝r(shí)應(yīng)該不會(huì)再上山打狼。
貝葉斯公式解釋了一種直觀的現(xiàn)象:一個(gè)經(jīng)常說(shuō)謊的人真的說(shuō)謊了，人們對(duì)他的可信度便會(huì)降低。
守信后的可信度計(jì)算
反之，如果一個(gè)守信的人，其守信的事件之后，其可信度也會(huì)上升。同樣可以數(shù)學(xué)建模體現(xiàn)出來(lái)。
首先記A={小孩守信}，B={小孩可信度}
設(shè)村民們過(guò)去對(duì)小孩的印象為P（B）=0.8,P() = 0.2
需要計(jì)算P(B|A),即小孩守信一次后的可信度。需要P(A|B)和P(A|)
P(A|B):表示小孩可信度0.8時(shí)孩子守信的概率，村名越相信小孩。
P(A|):表示小孩可信度0.2時(shí)，小孩守信概率。
不妨設(shè)：P(A|B)=0.9， P(A|)=0.5
如果第一次狼來(lái)了時(shí)，小孩呼叫村民，狼果然來(lái)了，此時(shí)小孩可信度的貝葉斯計(jì)算如下：
P(B|A) = =
≈0.878
此時(shí)：P（B）=0.878,P() = 0.122
如果第二次狼來(lái)了，小孩呼叫村名，狼又一次來(lái)了，此時(shí)小孩可信度由貝葉斯計(jì)算如下：
P(B|A) = =
=
≈0.968
由此可見(jiàn)，兩次守信的行為后，可信度提升非?？?，也非常高。當(dāng)然里面的參數(shù)可以調(diào)整更精細(xì)更合理些。但客觀上，貝葉斯概率，為撒謊和守信行為，進(jìn)行了量化計(jì)算，以數(shù)字重新評(píng)估了撒謊和守信對(duì)人的可信度的影響，具備一定的參考意義，也是一種有參考意義的貝葉斯數(shù)學(xué)模型建模。
