【1】柯西不等式(n維離散)

定理1.1 給定兩組實(shí)數(shù)：
a_{1},a_{2},...,a_{n};\space\space\space b_{1},b_{2},...,b_{n}以下不等式成立:
\sum_{k=1}^{n}(a_{k}b_{k})^2\leq (\sum_{k=1}^{n} a_{k}^2)(\sum_{k=1}^{n} b_{k}^2) \tag{1.1}等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使對于任意的k\in \{1,2,...,n\},滿足:
b_{k}=a_{k}x \tag{1.2}

證明
(1).先證明存在a_{k}\neq 0的情況:
構(gòu)造n個(gè)函數(shù):
f_{k}(x)=a_k^2x^2-2a_kb_kx+b_k^2,\space\space\space k=1,2,...,n顯然\forall k\in \{1,2,...,n\}及\forall x\in \mathbb R,有:
f_{k}(x)=a_k^2x^2-2a_kb_kx+b_k^2=(a_kx-b_k)^2\geq0 f顯然是二次函數(shù),所以\forall x\in \mathbb R,有:
f(x)=\sum_{k=1}^nf_k(x)=(\sum_{k=1}^na_k^2)x^2-2(\sum_{k=1}^na_kb_k)x+\sum_{k=1}^nb_k^2\ge0所以,\Delta\le 0,即：
[2(\sum_{k=1}^na_kb_k)]^2-4[(\sum_{k=1}^na_k^2)][(\sum_{k=1}^nb_k^2)]\le0化簡移項(xiàng)證得(1.1).另外,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)\Delta=0，此時(shí)二次方程
f(x)=0有唯一的根.這又等價(jià)于：
\forall k\in\{1,2,...,n\},f_{k}(x)=0有兩個(gè)相同的根，即
\exists x\in\mathbb R,\forall k\in \{1,2,...,n\} a_kx=b_k
(2). 數(shù)列\{a_n\}中所有元素為零，命題顯然成立.
綜上所述，命題成立
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定理1.2 \{x_n\}是實(shí)數(shù)列，\{a_n\}是正數(shù)列，那么：
\frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+...+\frac{x_n^2}{a_n}\ge\frac{(x_1 +x_2+...+x_n)^2}{a_1+a_2+...+a_n} \tag{1.3}等號成立當(dāng)且僅當(dāng)
x_1/a_1=x_2/a_2=...=x_n/a_n \tag{1.4}
證明 根據(jù)定理1.1可以推導(dǎo)如下：
\left(\frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+...+\frac{x_n^2}{a_n}\right)\left(a_1+a_2+...+a_n\right)
=\left((\frac{x_1}{\sqrt{a_1}})^2+(\frac{x_2}{\sqrt{a_2}})^2+...+(\frac{x_n}{\sqrt{a_n}})^2\right)\left((\sqrt{a_1})^2+(\sqrt{a_2})^2+...+(\sqrt{a_n})^2\right)
\ge\left(\frac{x_1}{\sqrt{a_1}}\cdot\sqrt{a_1}+\frac{x_2}{\sqrt{a_2}}\cdot\sqrt{a_2} +...+\frac{x_n}{\sqrt{a_n}}\cdot\sqrt{a_n}\right)^2=\left(x_1+x_2+...+x_n\right)^2
上式變形證得(1.3)，再根據(jù)定理1.1等號成立的條件證得本定理等號成立的條件為(1.4)
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定理1.3 \{a_n\},\{b_n\}為復(fù)數(shù)列，那么
\left | {\sum_{k=1}^n}a_kb_k\right |^2\le\left(\sum_{k=1}^n\left|a_k\right|^2\right)\left(\sum_{k=1}^n\left| b_k\right|^2\right) \tag{1.5}
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正實(shí)數(shù)x，使b_k=a_kx對于所有的k\in{1,2,...,n}成立。
證明 根據(jù)柯西不等式及復(fù)數(shù)的絕對值不等式，可以推導(dǎo)如下：
\left | {\sum_{k=1}^n}a_kb_k\right |^2\le \left(\sum_{k=1}^n\left|{a_kb_k}\right|\right)^2 \le \left(\sum_{k=1}^n\left|a_k\right|^2\right)\left(\sum_{k=1}^n\left| b_k\right|^2\right)
這就證明了(1.5)。另外上式兩個(gè)等號同時(shí)成立的條件為：
(1)對所有的k=1,2,...,n,a_kb_k輻角相同；
(2)存在一個(gè)正實(shí)數(shù)x，對于任意的k=1,2,...,n，有|b_k|=|a_k|x；
以上(1)(2)等價(jià)于，存在非負(fù)實(shí)數(shù)，對所有的k=1,2,...,n滿足b_k=a_kx
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評注1.4 不等式(1.5)與下式是等價(jià)的：
\left | {\sum_{k=1}^n}a_k\overline{b_k}\right |^2\le\left(\sum_{k=1}^n\left|a_k\right|^2\right)\left(\sum_{k=1}^n\left| b_k\right|^2\right) \tag{1.6}

題1.5 \theta\in \mathbb R,a,b\in \mathbb R,證明:
\left|a\cos\theta +b\sin\theta\right|\le \sqrt{a^2+b^2} \tag{1.7}
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a\sin\theta=b\cos\theta。
證明 (1)當(dāng)a,b有一個(gè)為零，命題顯然成立，否則
(2) a,b\ne0
1=\cos^2\theta+\sin^2\theta=a^2\cos^2\theta/a^2+b^2\sin^2\theta/b^2 \ge(a\cos\theta+b\sin\theta)^2/(a^2+b^2)變形得(1.7)，且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a\cos\theta/a^2=b\sin\theta/b^2，即a\sin\theta=b\cos\theta
綜上，命題成立
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評注1.6 不等式(1.7)等價(jià)于
-\sqrt{a^2+b^2}\le a\cos\theta +b\sin\theta\le \sqrt{a^2+b^2} \tag{1.8}也等價(jià)于：
(a\cos\theta +b\sin\theta)^2\le a^2+b^2 \tag{1.8}
如果a\ne0，這等號成立的條件為\tan \theta = \frac{a}.

題1.7 x\in \mathbb R，則y=\frac{sinx}{2-\cos x}的最大值為______

解 原式變?yōu)?br> 2y=y \cos x +\sin x
根據(jù)(1.8)得
4y^2\le y^2+1
解得-\frac{\sqrt3}{3}\le y \le \frac{\sqrt3}{3}
當(dāng)x=\frac{\pi}3時(shí)，代入原式計(jì)算得 y=\frac{\sqrt3}{3}，所以
y_{max}=\frac{\sqrt3}{3}
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評注1.8 題1.7為2020年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽填空第4題，解法眾多，請參見http://www.itdecent.cn/p/c7f7dec3a86d 題4。

題1.9 正實(shí)數(shù)a,b,c滿足等式a+b+c=1，求\frac{1}a+\frac{4}b+\frac{9}c的最小值。
解 \frac{1}a+\frac{4}b+\frac{9}c\ge \frac{(1+2+3)^2}{a+b+c}=36
當(dāng)a=1/6,b=1/3,c=1/2時(shí)等號成立，所以\left(\frac{1}a+\frac{4}b+\frac{9}c\right)_{min}=36
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題1.10 a,b,c\in \mathbb R_+,且a\cos^2x+b\sin^2x<c，求證：
\sqrt{a}\cos^2x+\sqrt\sin^2x<\sqrt{c}
證明 \sqrt{a}\cos^2x+\sqrt\sin^2x=\sqrt{a}\cos x\cdot \cos x+\sqrt\sin x\cdot \sin x
\le [(\sqrt{a}\cos x)^2+(\sqrt\sin x)^2]^\frac{1}{2}[(cos x)^2+(sin x)^2]^\frac{1}{2}<\sqrt c.
所以命題成立。
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