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小結(jié)

$\mathbb{R}^{n}$ 的子空間
矩陣的列空間與零空間
子空間的基

$\mathbb{R}^{n}$ 的子空間

定義 $\;\mathbb{R}^{n}$ 中的一個(gè)子空間是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的集合 $\boldsymbol{H}$ ，具有一下三個(gè)性質(zhì)：
$\begin{aligned}a.\;&零向量屬于\boldsymbol{H} \\ b.\;&對(duì)\boldsymbol{H}中任意的向量\boldsymbol{u}和\boldsymbol{v}，向量\boldsymbol{u+v}屬于\boldsymbol{H} \\ c. \;&對(duì)\boldsymbol{H}中任意的向量\boldsymbol{u}和標(biāo)量c，向量c\boldsymbol{u}屬于\boldsymbol{H} \end{aligned}$
換句話說，子空間對(duì)加法和標(biāo)量乘法運(yùn)算是封閉的。

若 $\boldsymbol{v_1}$ 和 $\boldsymbol{v_2}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的向量， $\boldsymbol{H}= Span \{\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}\}$ ，證明 $\boldsymbol{H}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的子空間。
證明：

$\boldsymbol{0}=0\boldsymbol{v_1} + 0\boldsymbol{v_2}$
任意兩個(gè)向量 $\boldsymbol{u}=s_1\boldsymbol{v_1} + t_1\boldsymbol{v_2}，\boldsymbol{v}=s_2\boldsymbol{v_1} + t_2\boldsymbol{v_2}$ 。
$\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}=(s_1 + s_2)\boldsymbol{v_1} + (t_1 + t_2)\boldsymbol{v_2}$
$\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}$ 也是 $\boldsymbol{v_1}$ 和 $\boldsymbol{v_2}$ 的線性組合，因此屬于 $\boldsymbol{H}$ 。
對(duì)任意數(shù) $c，c\boldsymbol{u}=(cs_1)\boldsymbol{v_1}+(ct_1)\boldsymbol{v_2}$ 。
$c\boldsymbol{u}$ 也是 $\boldsymbol{v_1}$ 和 $\boldsymbol{v_2}$ 的線性組合，因此屬于 $\boldsymbol{H}$ 。

若 $\boldsymbol{v_1}$ 不等零而 $\boldsymbol{v_2}$ 是 $\boldsymbol{v_1}$ 的倍數(shù)，則 $\boldsymbol{v_1}$ 和 $\boldsymbol{v_2}$ 僅生成通過原點(diǎn)的直線。所以通過原點(diǎn)的直線同樣是子空間。不通過原點(diǎn)的一條直線 $\boldsymbol{L}$ 不是子空間，因它不包括原點(diǎn)，且 $\boldsymbol{L}$ 在加法或標(biāo)量乘法下不是封閉的。

設(shè) $\boldsymbol{v_1},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 屬于 $\mathbb{R}^{n}$ ， $\boldsymbol{v_1},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 的所有線性組合是 $\mathbb{R}^{n}$ 的子空間，我們稱 $Span \{\boldsymbol{v_1}, \cdots, \boldsymbol{v_2}\}$ 為由 $\boldsymbol{v_1},\cdots,\boldsymbol{v_p}$ 生成（或張成）的子空間。注意 $\mathbb{R}^{n}$ 是它本身的子空間。另一個(gè)特殊的子空間是僅含零空間的集合，稱為零子空間。

矩陣的列空間與零空間

應(yīng)用中， $\mathbb{R}^{n}$ 的子空間通常出現(xiàn)在一下兩種情況中，它們都與矩陣有關(guān)。
矩陣 $\boldsymbol{A}$ 的列空間是 $\boldsymbol{A}$ 的各列的線性組合的集合，記作 $Col\;\boldsymbol{A}$ 。
若 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_1} & \cdots & \boldsymbol{a_n}\end{bmatrix}$ ，它們各列屬于 $\mathbb{R}^{m}$ ，則 $Col\;\boldsymbol{A}$ 和 $Span \{\boldsymbol{a_1}, \cdots, \boldsymbol{a_n}\}$ 相同。當(dāng) $\boldsymbol{A}$ 的列生成 $\mathbb{R}^{m}$ 時(shí)， $Col\;\boldsymbol{A}$ 等于 $\mathbb{R}^{m}$ 。

設(shè) $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -4 & 6 & -2 \\ -3 & 7 & 6\end{bmatrix},\boldsymbol=\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ -4\end{bmatrix}$ ，確定 $\boldsymbol$ 是否屬于 $\boldsymbol{A}$ 的列空間。
解： $\boldsymbol$ 是否屬于 $\boldsymbol{A}$ 的列空間等同于確定方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol$ 是否有解。把增廣矩陣 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol \end{bmatrix}$ 進(jìn)行行化簡(jiǎn)。
$\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & 3 \\ -4 & 6 & -2 & 3\\ -3 & 7 & 6 & -4\end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & 3 \\ 0 & -6 & -18 & 15\\ 0 & -2 & -6 & 5 \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & 3 \\ 0 & -6 & -18 & 15\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
可知 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol$ 相容，從而 $\boldsymbol$ 屬于 $Col\;\boldsymbol{A}$ 。
當(dāng)線性方程組寫成 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol$ 的形式時(shí)， $\boldsymbol{A}$ 的列空間是所有使方程組有解的向量 $\boldsymbol$ 的集合。

矩陣 $\boldsymbol{A}$ 的零空間是齊次方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol$ 的所有解的集合，記為 $Nul \;\boldsymbol{A}$ 。當(dāng) $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 列時(shí)， $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的解屬于 $\mathbb{R}^{n}$ ， $\boldsymbol{A}$ 的零空間是 $\mathbb{R}^{n}$ 的子集。

定理 12 $\;m \times n$ 矩陣 $\boldsymbol{A}$ 的零空間是 $\mathbb{R}^{n}$ 的子空間。等價(jià)地， $n$ 個(gè)未知數(shù)的 $m$ 個(gè)齊次線性方程的方程組 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的所有解的集合是 $\mathbb{R}^{n}$ 的子空間。

子空間的基

因?yàn)樽涌臻g一般含有無窮多個(gè)向量，故子空間的問題最好能夠通過研究生成這個(gè)子空間的一個(gè)小的有限集合來解決，這個(gè)集合越小越好?？梢宰C明，最小可能的生成集合必是線性無關(guān)的。
$\mathbb{R}^{n}$ 中子空間 $\boldsymbol{H}$ 的一組基是 $\boldsymbol{H}$ 中一個(gè)線性無關(guān)集，它生成 $\boldsymbol{H}$ 。

可逆 $n \times n$ 矩陣的各列構(gòu)成 $\mathbb{R}^{n}$ 的一組基，因?yàn)樗鼈兙€性無關(guān)，而且生成 $\mathbb{R}^{n}$ 。一個(gè)這樣的矩陣是 $n \times n$ 單位矩陣，它的各列用 $\boldsymbol{e_1},\cdots,\boldsymbol{e_n}$ 表示：
$\boldsymbol{e_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\boldsymbol{e_2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\cdots,\boldsymbol{e_n}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$ 。 $\{\boldsymbol{e_1},\cdots,\boldsymbol{e_n}\}$ 稱為 $\mathbb{R}^{n}$ 的標(biāo)準(zhǔn)基。

求矩陣 $\boldsymbol{A}= \begin{bmatrix} -3 & 6 & -1 & 1 & -7 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & -4 & 5 & 8 & -4 \end{bmatrix}$ 的零空間的基。
解：首先把方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的解寫成參數(shù)向量形式：
$\begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{0}\end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\begin{cases} x_1=2x_2 + x_4 - 3x_5 \\ x_2為自由變量 \\ x_3 = -2x_4 + 2x_5 \\ x_4為自由變量 \\ x_5為自由變量 \end{cases}$
$\begin{aligned}\boldsymbol{x}&=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2x_2 + x_4 - 3x_5 \\ x_2 \\ -2x_4 + 2x_5 \\ x_4 \\ x_5\end{bmatrix}=x_2\begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}+ x_5\begin{bmatrix}-3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &=x_2\boldsymbol{u} + x_4\boldsymbol{v} + x_5\boldsymbol{w}\end{aligned}$
$\{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\}$ 是 $Nul \boldsymbol{A}$ 的一組基。

求矩陣 $\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ 的列空間的基。
解：用 $\boldsymbol{b_1},\cdots,\boldsymbol{b_5}$ 表示 $\boldsymbol{B}$ 的列，容易得到 $\boldsymbol{b_3}=-3\boldsymbol{b_1} + 2\boldsymbol{b_2},\boldsymbol{b_4}=5\boldsymbol{b_1}-\boldsymbol{b_2}$ 。 $\boldsymbol{b_3},\boldsymbol{b_4}$ 是主元列的組合，這意味著 $\boldsymbol{b_1},\cdots,\boldsymbol{b_5}$ 的任意組合實(shí)際上僅是 $\boldsymbol{b_1},\boldsymbol{b_2},\boldsymbol{b_5}$ 的組合。
若 $\boldsymbol{v}$ 是 $Col \;\boldsymbol{B}$ 的任意向量
$\begin{aligned}\boldsymbol{v}&=c_1\boldsymbol{b_1} + c_2\boldsymbol{b_2} + c_3\boldsymbol{b_3} + c_4\boldsymbol{b_4} + c_5\boldsymbol{b_5} \\ &=c_1\boldsymbol{b_1} + c_2\boldsymbol{b_2} + c_3(\boldsymbol{-3\boldsymbol{b_1} + 2\boldsymbol{b_2}}) + c_4(5\boldsymbol{b_1}-\boldsymbol{b_2}) + c_5\boldsymbol{b_5}\end{aligned}$
所有 $\boldsymbol{B}$ 的主元列構(gòu)成 $Col \;\boldsymbol{B}$ 的基。