一、說明
相似性度量用以描述兩個向量之間的相似性，是一個值域為一維的二元函數(shù)。一般情況，相似性度量本質(zhì)上指距離度量，只不過數(shù)值指示剛好相反，如果是距離的話，數(shù)值越小，距離越近，而相似度越大；如果是相似度的話，數(shù)值越小，相似度越小，而距離越大。
相似性度量在機器學(xué)習(xí)中是一個非?；A(chǔ)的概念，尤其在聚類、推薦系統(tǒng)等算法中。
在工程應(yīng)用中，也會使用一些不完全滿足距離度量基本性質(zhì)的“非距離度量”[1]。
二、距離度量的基本性質(zhì)：
??????? 非負(fù)性：dist(x,y) >= 0
??????? 同一性：dist(x,x) = 0
??????? 對稱性：dist(x,y) = dist(y,x)
??????? 三角不等式：dist(x,z)+dist(y,z) >= dist(x,y)
三、常用相似性度量
1、閔可夫斯基距離(Minkowski Distance)
2、曼哈頓距離(Manhattan Distance)
p=1時，閔可夫斯基距離就是曼哈頓距離
又稱城市街區(qū)距離，在方正的北京大街打車，行車距離就是曼哈頓距離，如果在山城重慶就不是了。
3、歐氏距離(Euclidean Distance)
p=2時，閔可夫斯基距離就是歐氏距離。
在平面幾何或者立體幾何中的距離，通常就是歐氏距離，所以歐氏距離也最容易理解。
4、切比雪夫距離(Chebyshev Distance)
p等于無窮大時，閔可夫斯基距離就是切比雪夫距離。
若將國際象棋棋盤放在二維直角坐標(biāo)系中，格子的邊長定義為1，座標(biāo)的x軸及y軸和棋盤方格平行，原點恰落在某一格的中心點，則王從一個位置走到其他位置需要的最少步數(shù)恰為二個位置的切比雪夫距離，因此切比雪夫距離也稱為棋盤距離。[2]
5、"加權(quán)(weighted)"閔可夫斯基距離
當(dāng)樣本中不同屬性的重要性不同時，可使用"加權(quán)距離"(weighted distance)[1]。
6、余弦相似度(Cosine Similarity)
余弦相似性取值[-1,1]，值越趨于1，表示兩個向量的相似度越高。余弦相似度與向量的幅值無關(guān)，只與向量的方向相關(guān)，在文檔相似度(TF-IDF)和圖片相似性(histogram)計算上都有它的身影[3]。
7、皮爾遜相關(guān)系數(shù)(Pearson Correlation)
余弦相似度會受到向量的平移影響，怎樣才能實現(xiàn)平移不變性？在余弦相似度的基礎(chǔ)上，每個向量減去這個向量均值組成的向量，也就是皮爾遜相關(guān)系數(shù)，有時候也直接叫相關(guān)系數(shù)。
當(dāng)兩個向量均值都為0時，皮爾遜相對系數(shù)等于余弦相似性。
8、馬氏距離(Mahalanobis Distance)
一個向量的不同維度如果是不同的量綱，更有甚者，維度之間是相關(guān)的，比如身高和體重組成的向量，在閔可夫斯基距離中等同對待，有時，這樣是不恰當(dāng)?shù)?。馬氏距離利用 Cholesky transformation 消除了不同維度之間的相關(guān)性和尺度不同[3]。
其中，S為樣本的協(xié)方差矩陣。當(dāng)S是單位陣的時候，馬氏距離就是歐式距離；當(dāng)S是對角陣的時候，馬氏距離是加權(quán)歐式距離。
很多時候，一個事物的有點也可能會構(gòu)成它的缺點。這里馬氏距離可以消除不同維度之間的不同尺度，就可能放大了變化細(xì)微維度的作用[4]。
我們可以按照連續(xù)性將屬性分為“連續(xù)屬性”和“離散屬性”；也可以按照有序性將屬性分為“有序?qū)傩浴焙汀盁o序?qū)傩浴盵1]。上面的相似性度量都是關(guān)于“連續(xù)”并“有序”屬性的，下面給出幾個關(guān)于“離散屬性”和“無序?qū)傩浴钡南嗨菩远攘俊?/p>
9、漢明距離(Hamming Distance)
兩個等長字符串s1與s2之間的漢明距離定義為將其中一個變?yōu)榱硗庖粋€所需要作的最小替換次數(shù)。
例如:字符串“11110011”與“10010010”之間的漢明距離為3。
漢明距離可以在通信中累計定長二進制字中發(fā)生翻轉(zhuǎn)的錯誤數(shù)據(jù)位，所以它也被稱為信號距離。漢明重量分析在包括信息論、編碼理論、密碼學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用。[5]
如果要比較兩個不同長度的字符串，不僅要進行替換，而且要進行插入與刪除的運算，在這種場合下，通常使用更加復(fù)雜的編輯距離等算法。[5]
10、杰卡德相似系數(shù)(Jaccard Similarity)
杰卡德相似系數(shù)是衡量兩個集合的相似度一種指標(biāo)
杰卡德相似系數(shù)是從相似性度量的角度來表述的，從距離度量的角度，則有杰卡德距離(Jaccard Distance)
杰卡德相似系數(shù)和杰卡德距離本質(zhì)上是一樣的，只是表述角度不同。
在聚類中，杰卡德相似系數(shù)可以作為聚類的性能度量[1]。在推薦系統(tǒng)中，杰卡德相似系數(shù)可以度量兩個購買若干商品的用戶之間的相似性[3]。
11、KL散度(Kullback-Leibler Divergence)
又叫相對熵，表示兩個隨機分布之間的相似性
可以證明，KL散度大于等于0，當(dāng)p=q時等于0；KL散度不滿足對稱性。
12、Hellinger距離(Hellinger Distance)
在七月算法的課程里，還講了一個與KL散度類似的距離，表示隨機分布之間的相似性的Hellinger距離
當(dāng)α=0時
這時，Hellinger距離就是兩個隨機分布取平方根之后的歐式距離，符合距離度量的四個性質(zhì)，是嚴(yán)格的距離度量。
四、參考
1、《機器學(xué)習(xí)》，周志華著
5、漢明距離
