（摘自《兒童心理學(xué)手冊(cè)》第六版，第四卷【應(yīng)用兒童心理學(xué)】，第四章【數(shù)學(xué)思維與學(xué)習(xí)】）

個(gè)位數(shù)計(jì)算

毋庸置疑，個(gè)位數(shù)加減法是在數(shù)字認(rèn)知和學(xué)校數(shù)學(xué)中最經(jīng)常被調(diào)查的領(lǐng)域。這一領(lǐng)域的很多工作是依據(jù)認(rèn)知/理性，尤其是信息加工的觀點(diǎn)完成的。很多過(guò)去的和最近的研究對(duì)兒童口算個(gè)位數(shù)加法（比如3+4=____）進(jìn)行了詳盡的描述：從最初使用具體的實(shí)體查數(shù)策略、經(jīng)過(guò)幾種更高級(jí)的，利用某一算術(shù)原理來(lái)縮短和簡(jiǎn)化計(jì)算的查數(shù)策略（比如不使用實(shí)體查數(shù)，從第一個(gè)開(kāi)始查數(shù)，從最大的一個(gè)開(kāi)始，以及事實(shí)導(dǎo)出策略），到“了解事實(shí)”的最終狀態(tài)。

雖然這一發(fā)展順序在某種程度上定義得不是很清楚，但已有研究者描述了類(lèi)似減法的水平。

這些研究及另外一些研究表明，在這一發(fā)展過(guò)程中任何一個(gè)給定的時(shí)間內(nèi)，相同的年齡段在相同的題目上，兒童個(gè)體是如何運(yùn)用各種不同的加法策略的。即使年長(zhǎng)的學(xué)生和成人在“使用已知條件”上也不總是表現(xiàn)出高級(jí)的發(fā)展水平，但是仍然證明即使對(duì)于簡(jiǎn)單加法問(wèn)題也會(huì)存在很多不同的解題過(guò)程。

已經(jīng)達(dá)到這種發(fā)展過(guò)程最終階段的算術(shù)事實(shí)表明，組織是數(shù)字認(rèn)知研究中的特殊領(lǐng)域。這類(lèi)研究的大部分研究對(duì)象是成人而非小學(xué)生。大多數(shù)模型認(rèn)為，在“豐富的事實(shí)檢索數(shù)據(jù)”中，算術(shù)事實(shí)比如2+3=5被記住并從儲(chǔ)存的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)或詞匯表中提取。普遍認(rèn)為，眾所周知的“問(wèn)題大小效應(yīng)”（比如解決個(gè)位數(shù)加法問(wèn)題所需的時(shí)間隨著運(yùn)算數(shù)值增大而稍微增加）以及“等值效應(yīng)”（比如對(duì)等值的反應(yīng)時(shí)間，如2+2隨運(yùn)算數(shù)值變大而保持不變或者只增加一點(diǎn)）反映了記憶檢索的持續(xù)時(shí)間和困難程度。根據(jù)Ashcraft的論述(1995)，兩種效應(yīng)真實(shí)地反映出算術(shù)事實(shí)被個(gè)體需要和練習(xí)的頻率。然而普遍認(rèn)為，不是所有熟練者都是以分開(kāi)且獨(dú)立的單位來(lái)心理表征他們的個(gè)位數(shù)算數(shù)知識(shí)。他們關(guān)于簡(jiǎn)單加法的一部分知識(shí)看上去按規(guī)則存儲(chǔ)（比如N+0=N）而不是孤立的算式（比如1+0=1，2+0=2）。一個(gè)相關(guān)的假設(shè)認(rèn)為，不是所有的問(wèn)題都能被表征。比如，對(duì)于每一對(duì)問(wèn)題（比如3+5和5+3），在記憶網(wǎng)絡(luò)中可能只有一個(gè)表征單元。

眾所周知，從查數(shù)到提取數(shù)的發(fā)展過(guò)程對(duì)所有的兒童來(lái)說(shuō)并不是平穩(wěn)發(fā)展的。許多研究者針對(duì)有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難或有學(xué)習(xí)問(wèn)題兒童的個(gè)位數(shù)算術(shù)進(jìn)行了研究。他們研究表明，有學(xué)習(xí)障礙（learning-disabled）的學(xué)生和其他有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生使用的步驟，與這里描述的程序一樣。更確切地說(shuō)，他們只是比其他人掌握得慢。特別是算術(shù)事實(shí)的掌握的最后一步，對(duì)他們來(lái)說(shuō)似乎非常困難，對(duì)于這些孩子中的一部分來(lái)說(shuō)，這些提取困難反映了一個(gè)長(zhǎng)期持續(xù)的，也許是終生的缺陷而不僅僅是一種暫時(shí)的發(fā)展延遲。

還有一些調(diào)查研究通過(guò)發(fā)現(xiàn)哪種知識(shí)的發(fā)展在先，來(lái)弄清陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)之間的關(guān)系。至于上面提到的個(gè)位數(shù)加減法，這個(gè)問(wèn)題集中在兒童對(duì)特定數(shù)學(xué)原則的理解，特別是交換性原則，基于這些數(shù)學(xué)原則，他們掌握了一些更有效的查數(shù)策略的進(jìn)步之間的關(guān)系（比如從較大數(shù)開(kāi)始查的策略，還有最小數(shù)策略）。這一研究指出，陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)是呈正相關(guān)的，但是大多數(shù)兒童在他們產(chǎn)生程序之前已經(jīng)理解了交換性的概念。后面的發(fā)現(xiàn)似乎更受歡迎，至少對(duì)個(gè)位數(shù)加法領(lǐng)域是這樣，“概念第一”居“能力第一”觀點(diǎn)之上。雖然如此，鑒于過(guò)去幾十年關(guān)于陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)之間的關(guān)系的爭(zhēng)論，一直由這兩大陣營(yíng)的支持者支配，現(xiàn)在大多數(shù)研究者堅(jiān)持更中立的觀點(diǎn)。他們?cè)O(shè)想，一方面，陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)之間的關(guān)系比兩種對(duì)立觀點(diǎn)所說(shuō)的更加同時(shí)并且有重疊；另一方面，這一關(guān)系的本質(zhì)或許會(huì)因不同的數(shù)學(xué)（子）領(lǐng)域而不同。

雖然關(guān)于兒童個(gè)位數(shù)的乘除策略的研究比個(gè)位數(shù)加減的研究少，但是這一領(lǐng)域的研究正在逐漸增多?？偠灾瑢?duì)于個(gè)位數(shù)加減法的研究表明，兒童從具體查數(shù)策略（材料、手指或紙張），通過(guò)相關(guān)添加的計(jì)算（重復(fù)相加和加倍）、形式轉(zhuǎn)換（比如乘以9變成乘以10-1）和提取事實(shí)策略（比如以7×7=49提取7×8）進(jìn)步到一個(gè)獲得的乘積。雖然如此，乘除法比起加減法名稱(chēng)和不同類(lèi)別的表示之間缺少連貫性。對(duì)乘除法這兩種運(yùn)算的研究表明，使用策略的多樣性和靈活性是人們作簡(jiǎn)單數(shù)字復(fù)合運(yùn)算的基本特點(diǎn)，年長(zhǎng)兒童和成人都是如此。在這里，關(guān)于乘法事實(shí)存儲(chǔ)的組織和機(jī)能的確切特點(diǎn)的研究是明確的，更確切地說(shuō)，（部分）熟練者的乘法表在什么程度上按規(guī)則存儲(chǔ)（0×N=0，1×N=N，10×N=N0，等等），而不是加強(qiáng)特定的數(shù)學(xué)表達(dá)和正確答案之間結(jié)合的聯(lián)系。基于最近關(guān)于三年級(jí)和五年級(jí)學(xué)生解決較大運(yùn)算數(shù)放在第一位（7×3=____）或者第二位（3×7=____）乘法問(wèn)題的一個(gè)研究，Butterworth等人總結(jié)如下：

兒童學(xué)習(xí)乘法也許并不是被動(dòng)地、簡(jiǎn)單地在表達(dá)式和答案之間建立關(guān)聯(lián)作為練習(xí)的結(jié)果。更確切地說(shuō)，記憶中的組合可能以一種規(guī)則的方式被重組，這種方式考慮到了對(duì)預(yù)算的進(jìn)一步理解，包括交換性規(guī)則和其他乘法的特性。

Baroody（1993）對(duì)在掌握乘法基本事實(shí)知識(shí)的學(xué)習(xí)中相關(guān)知識(shí)的作用，特別是在學(xué)習(xí)包括2（2×6，2×11，2×5……）的乘法結(jié)合時(shí)關(guān)于數(shù)字疊加知識(shí)的作用研究分析后，得到了類(lèi)似的結(jié)論。

從信息加工的角度來(lái)看，在個(gè)位數(shù)算術(shù)中使用多樣的策略以及將這種發(fā)展模型化，其中最大膽最有影響力的嘗試當(dāng)屬Siegler及其同事開(kāi)發(fā)的，在簡(jiǎn)單加法領(lǐng)域中策略選擇和策略變化的計(jì)算機(jī)模型的各個(gè)版本。我們簡(jiǎn)要地描述策略選擇和發(fā)現(xiàn)模擬的最新版本SCADS（Strategy Choice and Discorery Simulation）。SCADS的核心是一個(gè)關(guān)于問(wèn)題和策略信息的數(shù)據(jù)庫(kù)，它在策略的選擇過(guò)程中起關(guān)鍵作用。第一種信息類(lèi)型，是關(guān)于問(wèn)題的信息，由問(wèn)題-回答關(guān)聯(lián)的列表組成，也就是說(shuō)，個(gè)別問(wèn)題和對(duì)這些問(wèn)題潛在的回答之間的聯(lián)系，這些聯(lián)系的強(qiáng)度是不同的。第二種信息類(lèi)型包括數(shù)據(jù)庫(kù)中每一個(gè)策略整體的、特征的、具體問(wèn)題的、獨(dú)特的可利用的數(shù)據(jù)。無(wú)論何時(shí)呈現(xiàn)給SCADS一個(gè)問(wèn)題，該模型會(huì)根據(jù)它們反映的信息量和它們最近生成的頻率來(lái)權(quán)衡這些數(shù)據(jù)。對(duì)每一種策略權(quán)衡功效和獨(dú)特性的數(shù)據(jù)為逐步回歸分析提供了輸入信息，回歸分析計(jì)算了不同策略對(duì)問(wèn)題的預(yù)測(cè)度，預(yù)測(cè)強(qiáng)度最高的策略被選擇的可能性也最大。如果最早選擇的策略不適用，下一個(gè)稍小預(yù)測(cè)強(qiáng)度的策略就會(huì)被選中，這一個(gè)過(guò)程直到選中一個(gè)符合模型標(biāo)準(zhǔn)的策略為止。SCADS的一個(gè)重要的進(jìn)步（與以前的模型相比），是它發(fā)現(xiàn)了新的策略并且學(xué)習(xí)它們。它通過(guò)把每個(gè)策略表征為算術(shù)符號(hào)的一個(gè)模塊序列(而不僅僅是一個(gè)單元)，并且通過(guò)保持策略執(zhí)行的工作記憶痕跡來(lái)實(shí)現(xiàn)上面的優(yōu)點(diǎn)（而不僅僅是記錄速度和準(zhǔn)確性）?；谛袨槎嘤囗樞虻奶綔y(cè)以及執(zhí)行算術(shù)符號(hào)更有效順序的確認(rèn)，元認(rèn)知系統(tǒng)運(yùn)用策略的表征和記憶痕跡來(lái)表達(dá)新的策略。SCADS評(píng)價(jià)這些建議的策略與“目標(biāo)概述”的一致性，目標(biāo)概述表明了在簡(jiǎn)單加法領(lǐng)域合乎邏輯的策略必須滿足標(biāo)準(zhǔn)。如果建議的策略違反了目標(biāo)概述中詳述的概念限制，它就被舍棄了。如果建議的策略符合概念的限制（通過(guò)的策略），SCADS就會(huì)把它加入策略項(xiàng)目之中。這樣，新發(fā)現(xiàn)的策略就改變了模型的數(shù)據(jù)庫(kù)，因而影響未來(lái)的策略選擇。根據(jù)SCADS的開(kāi)發(fā)者所說(shuō)，它的個(gè)位數(shù)加法以及一個(gè)加數(shù)超過(guò)20的加法與他們?cè)谘芯恐杏^察到的兒童策略選擇和發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象具有高度的一致性。

簡(jiǎn)單加法已經(jīng)測(cè)試過(guò)了Siegler的策略選擇模型，并且乘法測(cè)試也做過(guò)了，雖然該模型的范圍很小。Siegler和Lemaire（1997）對(duì)法國(guó)二年級(jí)學(xué)生個(gè)位數(shù)乘法能力的獲得進(jìn)行了縱向研究。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)乘法時(shí)，一年中記錄了三次速度、準(zhǔn)確率和策略數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)顯示速度和準(zhǔn)確性的提高，反映出伴隨學(xué)習(xí)策略變化的四個(gè)不同方面：新策略的使用、較頻繁地使用有效策略、有效地執(zhí)行每個(gè)策略，以及更靈活地選擇可利用的策略。他們認(rèn)為這些發(fā)現(xiàn)支持了大量的SCADS模型的預(yù)測(cè)。

一般來(lái)說(shuō)，信息加工范式最強(qiáng)有力的證明是Siegler（2001）的模型，它已經(jīng)影響并且仍在影響著個(gè)位數(shù)算術(shù)領(lǐng)域的很多研究。然而，這一模型還是遭到了一些批評(píng)。首先，雖然SCADS模型包含了很多的策略，但是它直接應(yīng)用的領(lǐng)域很受限制。將來(lái)的模型需要包含更多更廣的策略，比如10的分解策略[如，8+7=（8+2）+（7-2）=15，或者等分策略（如，6+7=（6+6）+1=13；2005）]，還需要從個(gè)位數(shù)加法延伸到多位數(shù)加法。模型也很有必要詳細(xì)地闡述其他算術(shù)符號(hào)。根據(jù)一些學(xué)者的說(shuō)法，這可能只需要多花點(diǎn)時(shí)間；另外一些人對(duì)計(jì)算模型應(yīng)用范圍的容易程度表示出很大的懷疑，如SCADS能否有意義地拓寬到相關(guān)領(lǐng)域。然而更重要的是，其他更新的理論觀點(diǎn)對(duì)模型的批評(píng)。從建構(gòu)主義到社會(huì)學(xué)習(xí)理論框架以及從廣泛的數(shù)據(jù)出發(fā)，Baroody和Tiilikainen針對(duì)Siegler的早期加法模型及其假設(shè)進(jìn)行了批評(píng)。他們質(zhì)疑SCADS的運(yùn)算只是關(guān)于兒童加法策略的發(fā)展和靈活性的幾個(gè)關(guān)鍵偶然的現(xiàn)象。舉個(gè)例子，Baroody和Tiilikainen研究指出，即使那些明顯已經(jīng)構(gòu)建了目標(biāo)概述的兒童有時(shí)也使用沒(méi)有遵照目標(biāo)概述中詳述的有效的加法策略，而SCADS從不執(zhí)行非法策略。對(duì)該模型的另一個(gè)重要的批評(píng)是談及算術(shù)能力的發(fā)展時(shí)，模型幾乎沒(méi)有或者沒(méi)有考慮社會(huì)和教學(xué)的背景。兒童使用某些策略的頻率、效率和靈活性的確依賴(lài)于教學(xué)的性質(zhì)。根據(jù)教學(xué)，我們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)課本中增加了算術(shù)的事實(shí)的頻率，特定項(xiàng)目呈現(xiàn)的次數(shù)，或者兒童對(duì)特定項(xiàng)目接受積極反饋或消極反饋的次數(shù)。舉個(gè)例子，一些研究者針對(duì)日本兒童使用的加法解決方法的發(fā)展路徑進(jìn)行了研究，結(jié)果表明，日本兒童比美國(guó)兒童運(yùn)算得快，他們是從查數(shù)方法直接到提取事實(shí)和已知事實(shí)方法，沒(méi)有經(jīng)過(guò)清楚的更加有效的查數(shù)策略的識(shí)別階段。有趣的是，在利用數(shù)據(jù)線索或把10作為標(biāo)準(zhǔn)在他們的事實(shí)提取策略開(kāi)始計(jì)算總和之前，許多日本兒童用數(shù)字5作為中間標(biāo)準(zhǔn)來(lái)思考數(shù)字及其加減法。根據(jù)這些作者的說(shuō)法，日本兒童的這些發(fā)展特點(diǎn)與許多文化以及教學(xué)的支持和練習(xí)密切相關(guān)，比如在一般的早期算術(shù)教學(xué)以及特定的珠算教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)使用5的組合.相類(lèi)似地，在佛蘭芒語(yǔ)兒童的課堂上，Torbeyns等人(2005)發(fā)現(xiàn)兒童在10以上求和運(yùn)算中頻繁、有效及靈活地使用等分策略。也就是說(shuō)，解決幾乎-等分（almost-tie）數(shù)字總和比如7+8=____，用（7+7）+1=____，而不使用拆解10的策略：（7+3）+5=____。在他們的課堂上，使用了一系列新的教科書(shū)，書(shū)中強(qiáng)調(diào)謹(jǐn)慎地、靈活地使用多種解決策略而不是把拆解成10的策略看成是總和超過(guò)10的題唯一的解決方法。

Baroody和Tiilikaine（2003）對(duì)SCADS進(jìn)行了批判，并提出他們的“基于圖式觀”是一個(gè)更有價(jià)值的選擇，Bisanz(2003)對(duì)此評(píng)論道：雖然SCADS如何工作是非常清楚的，但是沒(méi)有詳細(xì)描述它提到的“概念的、程序的及事實(shí)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)”。他總結(jié)說(shuō)：“當(dāng)解釋數(shù)據(jù)時(shí)，一個(gè)不具體說(shuō)明的模型（如Baroody的模型）總是比一個(gè)具體說(shuō)明的模型更有優(yōu)勢(shì)，因?yàn)楹笳弑凰募?xì)節(jié)限制了?！北M管Baroody和Tiilikaine的模型與SCADS相比缺乏詳細(xì)說(shuō)明，但它指出在個(gè)位數(shù)算術(shù)發(fā)展的過(guò)程中，不同種類(lèi)知識(shí)之間復(fù)雜的相互關(guān)系（陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)），以及更廣闊的社會(huì)文化和教學(xué)背景起到的關(guān)鍵作用。

總之，過(guò)去十年的已有研究表明，要獲得熟練的個(gè)位數(shù)計(jì)算能力只靠死記硬背是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。整個(gè)數(shù)字算術(shù)領(lǐng)域說(shuō)明：

a）算術(shù)能力的不同部分（策略、原則和數(shù)字事實(shí)）是如何相互作用的；

b）兒童如何開(kāi)始理解運(yùn)算的含義以及他們?nèi)绾沃饾u獲得更加有效的方法；

c）他們?nèi)绾胃鶕?jù)包含的數(shù)字在不同的策略中靈活選擇。

研究者在描述這些現(xiàn)象時(shí)已經(jīng)取得了相當(dāng)大的進(jìn)步，而且現(xiàn)在出現(xiàn)了與獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)某些程度上吻合的復(fù)雜的計(jì)算機(jī)模型。但是盡管如此，在這個(gè)領(lǐng)域我們還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有透徹理解專(zhuān)門(mén)知識(shí)。最重要的研究之一就是這些不同部分是如何相互作用，以及一個(gè)組成部分何時(shí)及如何促進(jìn)另一個(gè)部分的發(fā)展的。Siegler和其他研究者談到，在這一觀點(diǎn)上更深入的研究需要運(yùn)用所謂的微觀發(fā)生法，其中包括在兒童整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中重復(fù)測(cè)量的事實(shí)知識(shí)、陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)。

Siegler的計(jì)算機(jī)模擬模型解決了算術(shù)反應(yīng)的練習(xí)和鞏固量之外的另一個(gè)懸而未決的問(wèn)題——關(guān)于文化和教學(xué)因素的影響的爭(zhēng)議。值得注意的是，許多可使用的計(jì)算機(jī)模型都假設(shè)存在一種通用的分類(lèi)法或計(jì)算策略的發(fā)展順序，這些都是基本的、與教學(xué)及更廣泛的文化環(huán)境無(wú)關(guān)。這是有道理的，當(dāng)策略發(fā)展開(kāi)始時(shí)，它的一些元素受一般因素制約，比如數(shù)學(xué)固有的結(jié)構(gòu)在兒童前期沒(méi)有展開(kāi)的某些認(rèn)知能力，而不是教學(xué)和文化背景。雖然如此，其他的發(fā)展方面較少受制約，而且很多依賴(lài)兒童早期在家里或?qū)W校里的數(shù)學(xué)經(jīng)歷，比如很快超越基于查數(shù)的方法的資源——文化支持和練習(xí)，或者鼓勵(lì)及表?yè)P(yáng)靈活性的課堂氛圍及文化的熏陶。