線性代數(shù)的本質(zhì)——筆記1

1.向量是什么？

有三種理解向量的方式，如下：

  • 向量是空間中的一條箭頭，它有長度與方向兩個屬性。
  • 向量是有著一串?dāng)?shù)字的列表
  • 向量可以是任何東西，只要它的加法和乘法有意義。

2.向量是空間中一組基向量的線性組合

以2維空間為例，存在一組基向量\vec{i}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}， \vec{j}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}。這個二維空間中的任意一個向量都可以由這一組基向量表示，那么就說這個二維空間是\vec{i}，\vec{j}這一組基向量所張成的空間。具體表示方式為：

\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}

其中a,b是任意實(shí)數(shù)，也是\vec{u}的值。 \vec{u}=\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}
僅僅通過對基向量進(jìn)行縮放相加的操作就能得到空間中的任何一個向量，這也說明向量加法與數(shù)乘尤為重要。

所以說

看到向量就要想到它是所處空間中一組基向量的線性組合。

自然，這樣的基向量有無數(shù)組， 二維空間中，我們通常選擇上述的\vec {i } ,\vec {j}作為基向量。

3.線性變換

變換其實(shí)等價于函數(shù)，在此場景下，函數(shù)輸入的是向量，輸出的也是向量。

L(\vec{u})=\vec{v}

輸入輸出的向量維度可以不同。

之所以用變換而不是函數(shù)來定義，是因?yàn)?strong>變換更強(qiáng)調(diào)一個運(yùn)動的過程，例如二維空間中我們能想象，向量經(jīng)過一個線性變換從而移動到空間中其他位置。

變換有線性變換和非線性變換2種，本節(jié)講的是線性變換及其與矩陣的關(guān)系。

將向量想象成箭頭，那么線性變換是指起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量在不同空間中的移動，且保持了向量數(shù)乘和加法的不變性。
這個不同空間可以理解為

  1. 空間的維數(shù)不一樣。
  2. 空間的定義的基向量不一樣。

例如一個3維向量經(jīng)過線性變換變成了3維向量。(維數(shù)一致)
或者一個3維向量經(jīng)過線性變換變成了2維向量。(維數(shù)不一致)

上述的1其實(shí)是2的一個特例，如果變換后空間維數(shù)不一樣了，那么空間定義的基向量肯定也發(fā)生了改變。

變換（或映射）T稱為線性變換， 若：
對定義域內(nèi)的一切u，v，T(u+v)=T(u)+T(v)。
對定義域內(nèi)的一切u； 和任何標(biāo)量c，T(cu)=cT(u)。

直觀上，我們可以使用

  • 變換過程中，空間原點(diǎn)的位置不改變。
  • 變換后空間中的直線還是直線，不能彎曲。

2個條件來表示線性變換。

4.怎樣進(jìn)行線性變換?

我們知道線性變換就是將空間中所有的向量移動到一個新的位置。在此過程過程中，向量的起點(diǎn)不變。那么如何追蹤任意一個變換過的向量呢？

由上一節(jié)我們知道了向量其實(shí)是基向量的線性組合，任何向量都可以由基向量來表示。

如果我們只追蹤基向量，空間中任意一個變換后的向量自然就能由變換后的基向量來表示。

怎么知道基向量的變換情況呢？在二維空間中，我們只需觀察\vec{i}= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} ，\vec{j}= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}這組基向量。并且線性變換后的基向量的系數(shù)就是線性變換之前基向量的系數(shù)，也就是線性變換之前 \vec{u}的坐標(biāo)a_1,b_1。

二維空間中的一組基向量

問題如下：

已知
\vec{u}=a_1\vec{i}+b_1\vec{j}

即 \vec{u}=\begin{bmatrix} a_{1}\\b_{1} \end{bmatrix}，\vec{u}經(jīng)過線性變換后變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cvec%7Bv%7D" alt="\vec{v}" mathimg="1">，即L(\vec{u})=\vec{v}，此時\vec{i},\vec{j}相應(yīng)地變換為\vec{i_1}= \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}，\vec{j_1}= \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}，且\vec{v}=a_2\vec{i_1}+b_2\vec{j_1}
證明a_{2}=a_{1},b_{2}=b_{1}。

證明如下：

由上文線性變換的定義可知：
L(\vec{u})=L(a_{1}\vec{i}+b_{1}\vec{j})=a_1L(\vec{i})+b_1L(\vec{j})=a_1\vec{i_1}+b_1\vec{j_1}=\vec{v}
所以a_{2}=a_{1},b_{2}=b_{1}。

所以只要我們知道了變換后的基向量坐標(biāo)，我們就能進(jìn)行線性變換。

5.矩陣是什么？

現(xiàn)在假設(shè)已知線性變換后的基向量\vec{i_1},\vec{j_1}。
借用上述證明中的各已知條件。

\vec{v}=a_1\vec{i_1}+b_1\vec{j_1}
\vec{i_1}= \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}，\vec{j_1}= \begin{bmatrix} c \\ d\end{bmatrix}

那么將\vec{i_1}，\vec{j_1}的坐標(biāo)"包裝"在一個2×2的格子里，我們稱其為矩陣。
\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}

看到這里，大家應(yīng)該明白了原來矩陣是經(jīng)過線性變換后的基向量的拼接。

也就是說，矩陣代表著線性變換，空間的線性變換由變換后的基向量的坐標(biāo)來完全確定。

而日常應(yīng)用中通常會給出矩陣，所以本節(jié)開頭假設(shè)變換后的基向量已知是成立的，它就是矩陣的元素嘛。

 因此，看到矩陣就要想到它代表著空間中的線性變換，它是線性變換后空間中一組基向量的坐標(biāo)。

那么空間中變換后的任意向量就可以由基向量來表示了。

請看下面的例子：

有矩陣 \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}，另有向量\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}，則向量在矩陣的"作用"下，(經(jīng)過一個線性變換)，向量的新坐標(biāo)(移動到一個新的位置)如下：

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =x\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} b\\d \end{bmatrix}

請仔細(xì)看，跟上文中\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}
這一形式類似,此時x,y相當(dāng)于a,b，為基向量的系數(shù)，而\begin{bmatrix} a\\c \end{bmatrix}，\begin{bmatrix} b\\d \end{bmatrix}
則為線性變換后的基向量。

因此矩陣與向量的乘法的直觀解釋如下：

將原向量的坐標(biāo)取出與變換后的基向量對應(yīng)相乘，表示原向量進(jìn)行了一次線性變換。

6. 矩陣乘法如何理解？

既然一個矩陣代表空間的一次線性變換，那么矩陣相乘就表示變換過一次的基向量再進(jìn)行一次線性變換，即對原空間進(jìn)行兩次線性變換。

進(jìn)行兩次變換的效果等價于2個矩陣相乘后得到的1個矩陣一次變換的效果。


矩陣乘法

7.參考

主要內(nèi)容來源于b站up主@3Blue1Brown的線性代數(shù)的本質(zhì)

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