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定義

對于方陣 $A$ 構成的方程 $Ax=\lambda x$ 中，非平凡解 $x$ 被稱為 $A$ 的特征向量， $\lambda$ 被稱為 $A$ 的特征值。其含義在于向量經過矩陣描述的線性變換后，仍然和自身共線。
比較特殊的是零向量，因為不管矩陣如何變換，零向量始終不變，也就是始終和自身共線，因此在特征向量的定義里，特意排除掉了零向量（ $x$ 的平凡解）。但是特征值可以為 0。

示例

我們有這樣兩個矩陣：
$A = \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 3\end{bmatrix}$
我們先求A的特征值和特征向量：
$\begin{aligned} Ax&=\lambda x\\ Ax&=\lambda I x\\ (A-\lambda I)x&= 0 \end{aligned}$
要求得特征值和特征向量，而 $x\neq 0$ ，那么也就是要上述方程有非平凡解，因此 $A-\lambda I$ 必須是一個奇異矩陣，其行列式必為0，于是有：
$\begin{vmatrix}-\lambda & 1\\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
根據(jù)二階行列式的公式： $\lambda ^2 - 1=0$ ，解得 $\lambda=\pm 1$ 。
進一步計算特征向量，由于特征向量都在一條線上，因此有無數(shù)個，我們只隨便取一個，比如令其為 $(1, a)$ ：
$\begin{cases} \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}x=x\\ \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}x=-x\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{bmatrix}a\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\a \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}a\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\ -a \end{bmatrix} \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} x_1=\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix} \\ x_2=\begin{bmatrix}1\\-1 \end{bmatrix} \end{cases}$
同樣的方法對 $B$ 求解，觀察得：
$\begin{aligned} (B-\lambda I)x=0 \Rightarrow (A+3I-\lambda I)x=0\\ (A-(\lambda-3)I)x=0 \end{aligned}$
根據(jù)之前的解： $\lambda-3=\pm 1$ ，因此 $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 4$ 。
可以看到有這樣的規(guī)律，當矩陣 $A$ 與單位矩陣相加得到新的矩陣時 $A+kI$ ，其特征值也相應增加 $k$ 。

假如我們沒能一眼看出這層關系，那么我們用行列式來計算。
$\begin{aligned} (\begin{bmatrix}3 & 1\\1 & 3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\lambda & 0\\0 & \lambda\end{bmatrix})x=0 \\ \begin{vmatrix}3-\lambda & 1\\1 & 3-\lambda\end{vmatrix}=0 \\ (3-\lambda)^2-1=0 \end{aligned}$
對最后一步展開得 $\lambda^2-6\lambda+8$ 。神奇的是B的行列式和跡是： $det(B)=8$ ， $tr(B)=6$ 。跡就是矩陣主對角線（左上到右下）之和。還存在這樣的關系： $tr(B)=\lambda_1+\lambda_2$ 。

進一步計算特征向量：
$\begin{cases} x_1=\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix} \\ x_2=\begin{bmatrix}1\\-1 \end{bmatrix} \end{cases}$

下面證明上述“神奇”的關系，已知 $C=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ ：
$\begin{aligned} \begin{vmatrix}a-\lambda&b\\c&d-\lambda \end{vmatrix} =0\\ (a-\lambda)(d-\lambda)-bc=0\\ \lambda^2-(a+d) \lambda+ad-bc=0 \end{aligned}$
若 $C$ 要能有特征值，那上述二次方程必須有解。根據(jù)高中知識，我們知道二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的兩個解有這樣的關系 $x_1+x_2=-\dfrac{a}$ ，因此，特征值的和恰好等于跡。

結論

$A+kI=B$ ，則 $A,B$ 特征向量不變，而 $B$ 的特征值分別增加 $k$ 。
矩陣的跡的和等于特征值的和。
有的矩陣是沒有特征值的，比如旋轉矩陣，它把整個向量空間進行旋轉，所有向量的方向都改變了，也就沒有特征向量和特征值。比如你可以算一下 $\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 的特征值。會得到一個 $\lambda^2+1=0$ 的無實數(shù)解的方程。