函數(shù)的“不可積”問題

函數(shù)的“不可積”問題

這里的“不可積”指的是原函數(shù)不能表示成初等函數(shù)的形式

常見的“不可積”的例子

三角積分類

\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{x^n}\textu0z1t8osx,\;\int\dfrac{\cos x}{x^n}\textu0z1t8osx,\;\int\dfrac{\tan x}{x^n},\;\int x^n\tan x\textu0z1t8osx

\displaystyle\int\left(\dfrac{x}{\sin x}\right)^n\textu0z1t8osx,\;\int\left(\dfrac{x}{\cos x}\right)^n\textu0z1t8osx,\;\int\left(\dfrac{x}{\tan x}\right)^n\textu0z1t8osx

菲涅爾積分類型

\displaystyle\int\sin x^2\textu0z1t8osx,\;\int\cos x^2\textu0z1t8osx,\;\int\tan x^2\textu0z1t8osx

貝塞爾積分

\displaystyle\int\cos(x\sin x)\textu0z1t8osx

Laplace 積分

\displaystyle\int\dfrac{\cos\beta x}{1+x^2}\textu0z1t8osx

高斯積分類

\displaystyle\int e^{ax^2+bx+c}\textu0z1t8osx

\displaystyle\int x^ne^{ax^2+bx+c}\textu0z1t8osx

指數(shù)積分類型

\displaystyle\int\dfrac{e^{ax}}{x}\textu0z1t8osx,\;\int\dfrac{e^{ax}}{a+x^n}\textu0z1t8osx,\;\int\dfrac{x^n}{1\pm e^x}\textu0z1t8osx

對(duì)數(shù)積分類型

\displaystyle\int\dfrac{\textu0z1t8osx}{\ln x},\;\int\dfrac{\ln x\textu0z1t8osx}{1+x^2},\;\int\ln\sin x\textu0z1t8osx,\;\int\ln\cos x\textu0z1t8osx,\;\int\ln\tan x\textu0z1t8osx

\displaystyle\int\ln(a+b\sin x)\textu0z1t8osx,\;\int\ln(a+b\cos x)\textu0z1t8osx,\int\ln(a+b\tan x)\textu0z1t8osx

\displaystyle\int\ln\ln\sin x\textu0z1t8osx,\;\int\ln\ln\cos x\textu0z1t8osx,\;\int\ln\ln\tan x\textu0z1t8osx

橢圓積分類

\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2x}}\textu0z1t8osx,\;\int\sqrt{1-k^2\sin^2x}\textu0z1t8osx

\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1\pm x^n}}\textu0z1t8osx,\;\int\sqrt{1\pm x^n}\textu0z1t8osx\;(n\geqslant3)

常見的特殊函數(shù)

Beta 函數(shù)

\displaystyle\text{B}(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\textu0z1t8osx=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)},\;(p,q>0)

Gamma 函數(shù)

\displaystyle\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\textu0z1t8osx,\;(s>0)

誤差函數(shù)

\displaystyle\text{erf}(x)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-x^2}\textu0z1t8osx

互補(bǔ)誤差函數(shù)

\displaystyle \text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{+\infty}e^{-x^2}\textu0z1t8osx

zeta 函數(shù)

\displaystyle\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^s}

狄拉克雷 eta 函數(shù)

\displaystyle\eta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\dfrac{1}{k^s}=(1-2^{1-s})\zeta(s)

多重對(duì)數(shù)函數(shù) Polylog

\displaystyle\text{Li}_n(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{x^k}{k^n}

果然考試周就是不務(wù)正業(yè)

還有超幾何分布函數(shù)，惠特克函數(shù)，貝塞爾函數(shù)，橢圓函數(shù)

更多的特殊函數(shù)可以參考 特殊函數(shù)概論(王竹溪)

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