本文來自昆侖班級(jí)銳同學(xué)。
七下，我們接觸了一個(gè)新的幾何概念——圖形全等。什么意思呢？如果兩個(gè)圖形能夠完全重合，那么這兩個(gè)圖形全等。很顯然，兩個(gè)全等的圖形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。具體到三角形全等，就很好理解了，如下圖所示：如果△ABC≌△DEF，那么AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F。
相反，假如兩個(gè)三角形三組對(duì)應(yīng)邊相等，三組對(duì)應(yīng)角相等，我們會(huì)說這兩個(gè)三角形全等。此時(shí)，有一個(gè)問題擺在我們面前，如果要證明兩個(gè)三角形全等，一定要同時(shí)滿足三邊三角共6個(gè)條件嗎？這也太麻煩了。于是乎，我們開始了三角形全等判定條件的探索之路。
一開始，我們并沒有好的想法，那就按照分類思想，將滿足1-6個(gè)條件的可能情況列個(gè)表格。
根據(jù)表格，探索的思路可以有2個(gè)，一種是從1個(gè)條件開始逐漸增加，另一種是從6個(gè)條件開始逐漸減少，最終我們選擇了第一種，也就是從1個(gè)條件開始。
1個(gè)條件，emmmm，就不用多說了吧，你就算用foot想也能知道不可能證明兩個(gè)三角形全等；
2個(gè)條件，相比1個(gè)條件略微復(fù)雜，尤其是1角1邊，竟然有兩種不同的類型：1角+它的鄰邊，1角+它的對(duì)邊，一開始我都沒注意到。總的來說，2個(gè)條件的情況也沒有很復(fù)雜，稍微想想就能知道不能證明兩個(gè)三角形全等。
3個(gè)條件，有了探索2個(gè)條件的經(jīng)驗(yàn)，我們還需要對(duì)3個(gè)條件里隱藏的更小的分類情況考慮清楚。首先，3角、3邊肯定只有一種情況。而2角1邊有2種情況：2角及其中1角的對(duì)邊，和2角及其夾邊；同樣的2邊1角也有2種情況：2邊及其中1邊的對(duì)角，和2邊及其夾角。這樣一共就有6種情況，我們將其整理為下圖：
我們先看三角對(duì)應(yīng)相等（AAA），放大鏡大家小時(shí)候都玩過，角放大時(shí)度數(shù)不變，我們可以非常容易地通過這個(gè)原理舉出反例來。從下圖我們可以輕易看出，△DMN、△DGH、△DEF三個(gè)三角形的三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，但它們之間并不全等。
結(jié)論：三角對(duì)應(yīng)相等（AAA）不能用來判斷三角形全等。
接下來探索三邊對(duì)應(yīng)相等（SSS），如下圖所示，△ABC是原三角形，要想確保我們所畫的三角形三邊分別與△ABC對(duì)應(yīng)相等，最好的方法就是尺規(guī)作圖。經(jīng)過多次操作，我們發(fā)現(xiàn)，無論畫多少個(gè)，所畫出來的三角形都與原三角形全等。
結(jié)論：三邊對(duì)應(yīng)相等（SSS）的兩個(gè)三角形全等。
至于能不能嚴(yán)格證明這個(gè)結(jié)論，我們思考了半天無從下手，仿佛回到了平行線證明的問題，是不是也可以把這個(gè)結(jié)論稱作“公理”呢？老師說，可以先暫時(shí)把這個(gè)結(jié)論當(dāng)作“公理”，隨著學(xué)習(xí)后面的知識(shí)，我們就能夠嚴(yán)格證明了。
接下來繼續(xù)探索2角+1邊，雖然有2種情況，但與探索3角聯(lián)系起來會(huì)非常的方便。我們都知道三角形的內(nèi)角和是180°，那就意味著，如果兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么第三個(gè)角也必然相等。如下圖所示，2角對(duì)應(yīng)相等，我們可以得到一組“形狀”相似，但大小不一樣的三角形。此時(shí)，再任意增加1條邊對(duì)應(yīng)相等，那么畫出來的三角形就一定與原三角形全等。也就是說，2角+1邊的兩種情況，都可以證明兩個(gè)三角形全等。
結(jié)論：（1）兩角及其夾邊（ASA）分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（2）兩角及其中一角的對(duì)邊（AAS）分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。
一下子就得到了2種判定三角形全等的方法，不過對(duì)于嚴(yán)格證明，我們目前還是沒有辦法解決，那就暫時(shí)當(dāng)作“公理”對(duì)待吧。
接下來是2邊+1角，這個(gè)就不能像2角+1邊那樣一起探索了，我們先分析兩邊及其夾角。如下圖所示，△ABC是原三角形，我們可以先畫一個(gè)∠D =∠A。根據(jù)要求，對(duì)應(yīng)相等的兩條邊就在∠D的兩條邊上，利用尺規(guī)作圖，我們可以很容易得到△ABC≌△DEF。順著這個(gè)思路，即便現(xiàn)在不能嚴(yán)格證明，我們也能堅(jiān)信，這又是一個(gè)可以用來證明三角形全等的方法。
結(jié)論：兩邊及其夾角（SAS）分別相等的兩個(gè)三角形全等。
還剩下最后一種：兩邊及其中一邊的對(duì)角相等。這種情況非常的特別，在最初的學(xué)習(xí)中，我們班里有些同學(xué)畫出的三角形與原三角形全等，但是有些同學(xué)畫出來的三角形與原三角形不全等。這到底是怎么回事呢？如下圖所示，△ABC是原三角形，我們先畫一個(gè)∠D =∠A，然后在∠D的一條邊上截取DE =AB，再以點(diǎn)E為圓心，BC為半徑畫圓，分別交∠D的另一條邊于點(diǎn)F、G，連接EF、EG。此時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，滿足條件的三角形，我們一共畫出兩個(gè)，分別是△DEF和△DEG，其中△DEG與原三角形全等，而△DEF與原三角形不全等。
按照“證偽”的思想，只要我們能夠舉出一個(gè)反例，它就不能作為判斷兩個(gè)三角形全等方法了?？磥恚琒SA要被我們舍棄了。
綜合以上討論，3個(gè)條件對(duì)應(yīng)相等，一共有6種情況，其中有4種（SSS、SAS、AAS、ASA）能夠用來判斷兩個(gè)三角形是否全等，2種情況（AAA、SSA）不能判定，整理如下：
探索完了3個(gè)條件，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，從4個(gè)條件開始就多余了，所以判斷三角形的方法一共就4種。
以上就是我們的探索過程，經(jīng)過這樣的探索，我們不僅很容易地記住4種方法，還能清楚地解釋為什么其它2種方法不行。既知其然，又知其所以然，還鍛煉我們的思維，這樣的學(xué)習(xí)方式是不是很好呢？三角形全等的判定方法不是很難，比較基礎(chǔ)，為我們以后學(xué)習(xí)更難的幾何鋪墊，路還很長，仍需繼續(xù)努力！
