矩陣代數(shù)（三）- 可逆矩陣的特征

小結(jié)

  1. 可逆矩陣定理
  2. 可逆線性變換

可逆矩陣定理

定理8（可逆矩陣定理）
設(shè)\boldsymbol{A}為n \times n矩陣，則下列命題是等價(jià)的，即對(duì)某一特定的\boldsymbol{A}，它們同時(shí)為真或同時(shí)為假。
a.\;\boldsymbol{A}是可逆矩陣。
b.\;\boldsymbol{A}行等價(jià)于n \times n單位矩陣。
b.\;\boldsymbol{A}有n個(gè)主元位置。
d.\;方程\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}僅有平凡解。
e.\;\boldsymbol{A}的各列線性無關(guān)。
f.\;線性變換\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{Ax}是一對(duì)一的。
g.\;對(duì)\mathbb{R}^{n}中任意\boldsymbol，方程\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol至少有一個(gè)解。
h.\;\boldsymbol{A}的各列生成\mathbb{R}^{n}。
i.\;線性變換\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{Ax}把\mathbb{R}^{n}映上到\mathbb{R}^{n}。
j.\;存在n \times n矩陣\boldsymbol{C}使\boldsymbol{CA}=\boldsymbol{I}。
k.\;存在n \times n矩陣\boldsymbol{D}使\boldsymbol{AD}=\boldsymbol{I}。
l.\;\boldsymbol{A}^{T}是可逆矩陣。

應(yīng)用可逆矩陣定理來判斷\boldsymbol{A}是否可逆：\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \\ -5 & -1 & 9\end{bmatrix}。
解：\boldsymbol{A}～\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -1\end{bmatrix}～\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}
所以\boldsymbol{A}有3個(gè)主元位置，\boldsymbol{A}是可逆的。

可逆線性變換

線性變換\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}稱為可逆的，若存在變換\boldsymbol{S}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}使得
a.\;對(duì)所有的\mathbb{R}^{n}中的\boldsymbol{x}，\boldsymbol{S}(\boldsymbol{T}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{x}
b.\;對(duì)所有的\mathbb{R}^{n}中的\boldsymbol{x}，\boldsymbol{T}(\boldsymbol{S}(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{x}。
我們稱\boldsymbol{S}是\boldsymbol{T}的逆，把它寫成\boldsymbol{T}^{-1}。

設(shè)\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}為線性變換，\boldsymbol{A}為\boldsymbol{T}的標(biāo)準(zhǔn)矩陣。則\boldsymbol{T}可逆當(dāng)且僅當(dāng)\boldsymbol{A}是可逆矩陣。這時(shí)由\boldsymbol{S}(x)=\boldsymbol{A}^{-1}定義的線性變換S就是\boldsymbol{T}的逆。

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