作者: [美] 喬丹?艾倫伯格（Jordan Ellenberg）
出版社: 中信出版集團
副標題: 大數(shù)據(jù)時代，數(shù)學思維的力量
原作名: How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking
譯者: 胡小銳
出版年: 2015-9-5

2017.8.23 我在kindle上逛商店的時候，被一本英文書吸引了，名字是How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking，因為我最近幾年大腦中形成了一個條件反射，一看到“思維方式”，就像看到尚方寶劍一樣興奮。首先思維方式是一個認知層面的技能，比簡單的操作技能要更有價值；其次最近讀完的《費馬大定律》也讓我感覺嚴謹?shù)臄?shù)學思維是個好東西。所以我就決定讀這本書了，看了一點英文書，雖然能看懂，但是有些吃力，有些內容過于專業(yè)，所以決定直接讀中文本，書名被翻譯成土掉渣的“魔鬼數(shù)學——大數(shù)據(jù)時代，數(shù)學思維的力量“（豆瓣鏈接），我就忍了，內容別翻譯爛了就好。
目前讀完了全書大約一半內容，我沒有從頭開始讀，讀完前言后，就直接讀有趣的章節(jié)，然后再把對應的整個部分讀完。目前感覺這本書很有趣，雖然很多數(shù)學故事看起來很簡單，甚至之前在網(wǎng)上讀過，但是放在更系統(tǒng)的知識塊中闡述，令我更有啟發(fā)。
等讀完全書，我會再寫一個匯總版本的讀書筆記，這兒先簡要介紹本書第三部分的觀點，寫本讀書筆記的目的之一是讓我重新理解書中觀點，但是部分內容沒有在這兒展開，尤其是最后一章介紹的投射幾何學，有興趣的讀者還是建議讀全書；摘抄都是從kindle自動導出。
正文開始之前，迫不及待地單獨強調一下第12章中的一句話，大贊，概率之中有平衡思維和智慧，如果你覺得有些不能理解，歡迎去原書找答案。
1982年的諾貝爾經(jīng)濟學獎得主喬治·施蒂格勒（George Stigler）說過：“如果你從來沒有誤過飛機，那只能說明你浪費在機場的時間太多?！?/p>

其次這一部分也展示了跨學科思維，在第13章中，從射影幾何學到彩票選號碼到信息論降低噪音，看起來都是完全獨立的內容，但是從數(shù)學的角度看，居然都是相通的，真是有趣。

第11章 中彩票大獎與期望值理論

以彩票為例，介紹了期望值的概念和應用，從期望值的角度分析合適購買彩票能獲得更大的中獎機會。
期望值是所有中獎概率下的平均值。
是否購買彩票，不僅要看彩票的中獎概率，還要看期望值，大部分時候彩票的期望值都低于其票面價格，假如我們把所有的彩票都買下來，整體上也是輸錢而非贏錢。彩票是政府獲得財政收入的一種手段，所以必然要求彩票的期望值低于其票面價格。
但是馬薩諸塞州設計了一種彩票，在特定的日期，彩票的期望值大于其票面價格，數(shù)學家借助于數(shù)學概念叢中獲得巨額利潤。

到2007年，在每次累積獎金向下分配之后，彩票的銷售量都會達到100萬張甚至更多，而其中大多數(shù)都被這三個博彩團隊買走了。“

數(shù)學家能從這種情況中獲利的依據(jù)，是“期望值的相加性（additivity of expected value）”?！救绻粡堜N售價格為2美元彩票的期望值3美元，購買2萬美元的期望值就是3萬美元。】

期望值的相加性：兩個事物的期望值之和，即第一個事物的期望值加上第二個事物的期望值。

針對“期望值的相加性”，作者介紹了一種賭博游戲及其“復雜版本”。首先介紹最簡單的“franc-carrearu”游戲

只要有一枚硬幣和由方磚鋪成的地板就可以玩“franc-carreau”游戲。人們把硬幣扔到地上，然后押下賭注，猜硬幣是完全落在一塊磚上還是騎在磚縫上。
在論文中，布封提出了一個問題：硬幣完全落在一塊磚上的概率是多少？磚的面積多大時，這個游戲對雙方來說才是公平的？
數(shù)學家布封用簡單的幾何數(shù)學給出了答案（畫正方形和園，根據(jù)相交關系下的占據(jù)的面積計算），答案是當磚的邊長是硬幣半徑的4+2^1.5約7倍時，硬幣完全落在正方形內的概率是1/2，此時游戲對雙方才是公平的。

但是如果把圓形的硬幣改成針狀物體或者其他形狀，游戲的獲勝概率又是多少呢？比如布封提出的縫衣針問題。

如果扔到空中的不是埃居（硬幣）這樣的圓形物體，而是其他形狀的物體，例如方形的西班牙皮斯托兒金幣，或者一根縫衣針、一根短木棒等，解決這個問題時需要的幾何知識就會多一些?！?br> 硬幣騎縫的概率并不取決于它的朝向。 但是，布封使用的縫衣針卻不同。如果縫衣針的方向與木板條縫的方向近乎平行關系，那么它騎縫的概率會非常低。
我們不僅需要關注縫衣針中心點的位置，還要關注縫衣針的朝向。
只需要運用算術與基礎幾何知識，其中最重要的就是對期望值相加性的應用！

數(shù)學證明，我們可以通過簡化問題解答，也可以把問題復雜化（直接證明一般情況下的一般解）。大部分時候，簡化是好辦法，但是對于使用縫衣針的情況，直接去尋找一般解卻更容易。
一般情況:

假設縫衣針與木板縫相交的概率是P，如果縫衣針的長度正好等于兩塊木板縫的寬度，那么與它相交的木板條縫數(shù)的期望值是多少？（1p+0（1-p）=p）
如果縫衣針的長度為N（我們取木板條的寬度作為度量單位），那么與它相交的木板條縫數(shù)的期望值是NP。
事實上，對于任意正實數(shù)N，無論大小，公式“與長度為N的縫衣針相交的木板條縫數(shù)的期望值是Np”都成立
換言之，對于折彎的縫衣針而言，“與長度為N的縫衣針相交的木板條縫數(shù)的期望值是Np”這一結論也成立。（彎曲的縫衣針可以被盡可能小的分割)
實際上，上述證明過程適用于所有縫衣針，無論它是多邊形還是彎曲的，相交木板條縫數(shù)的期望值都是Lp，其中L是以木板條寬度為計量單位時縫衣針的長度。即使把一人份意大利面扔到地板上，想知道其中一根面條會騎在幾條地板縫上，我也能準確地告訴你它的期望值是多少。這就是布封投針問題的一般形式，數(shù)學家們開玩笑說這是“布封的面條問題”。
對于以上的結論，如果縫衣針正好圍成一個圓形，結果依然成立。（此時N=2πr，與上面的硬幣的答案合并，既可以得到正確的答案）

第12章 效用理論、風險與不確定性

關鍵詞：效應，平衡，

• part 1

1982年的諾貝爾經(jīng)濟學獎得主喬治·施蒂格勒（George Stigler）說過：“如果你從來沒有誤過飛機，那只能說明你浪費在機場的時間太多?！?br> 拉弗曲線：效用與候機時間的關系； 候機時間過短（誤機）和過長，效用都很低；有一個最高點，對應最高的效用值。
施蒂格勒式的論斷適用于各類問題，以政府的浪費行為為例。
我們?yōu)槭裁绰犎芜@類事件持續(xù)發(fā)生呢？答案很簡單：與提前趕到機場一樣，杜絕浪費行為也需要付出代價。履行義務與保持警惕都是有意義的行為，但是杜絕所有浪費行為，與把誤機概率從非常低降到零一樣，其成本超過收益。

因此，我們不應該問“政府為什么要浪費納稅人的錢”，正確的問題是“政府浪費納稅人的錢以多少為宜”。用施蒂格勒的話說：“如果我們的政府沒有浪費行為，那只能說明他們在反浪費方面花了太多的時間?！?/p>

備注1: part1強調效應是一個平衡之下的平均值，就像趕飛機，我們既要兼顧誤機的損失，又要考慮過早帶來的浪費；所以切莫走極端，凡事過猶不及；就像政府打擊腐敗，真的做到零容忍，付出的成本遠高于接受一定程度的腐敗（只不過這樣民意有些不好交代）。

• part 2 帕斯卡的賭注與無窮多的快樂
  帕斯卡從效應的角度分析，我們?yōu)槭裁磻撔叛錾系邸Ｅ了箍ú]有證明上帝存在的概率是100%，而是從期望值和效應的角度分析，即使上帝存在的概率很低，我們依然應該信仰上帝。

如果我們相信上帝存在，并且我們的信仰是正確的，那么回報將是“持久的愉悅”，用經(jīng)濟學家的話說，就是無窮大的效用度。
（假如上帝存在的概率只有1%，）無窮大的愉悅，其1%仍然是無窮大的愉悅，是信仰上帝的有限成本無法比擬
信仰上帝的期望值不僅為正值，而且是一個無窮大的正值。
帕斯卡的目標不是讓我們相信上帝存在，而是讓我們相信信仰上帝會為我們帶來好處，

• part 3圣彼得堡悖論與期望效用理論
  圣彼得堡悖論與伯努利期望理論：

達科特（金錢）的數(shù)量加倍，不能理解為效用加倍。
普適性的效用曲線根本不存在。人們心目中的效用曲線并不一樣。

期望效應理論：損失厭惡心理

備注：part 3部分與《思考，快與慢》中的“風險”一部分的觀點類似，傳統(tǒng)的期望理論認為“效用與金錢數(shù)量成正比”，但伯努利認為并不是成線性關系，隨著金錢的增加，效應的增長變得越來越緩慢； 卡尼曼則進一步強調“損失厭惡”心理，進一步修正了伯努利期望理論。

第13章 祝你下一張彩票中大獎

關鍵詞：透視現(xiàn)象，射影幾何學與選擇彩票號碼，“法諾平面”；信號與噪音，信息論中如何降低噪音

• part1 射影幾何學

平行線也可以相交：立體空間中的平行鐵軌，在我們的視野中，在遠處一個“消失點”匯合，也就是（三維空間中的）平行線可以（在二維的投射平面中）相交。
這就是“透視現(xiàn)象”（phenomenon of perspective）。我們的視野是二維的，如果我們希望在這個二維視野中描繪三維世界，那么有些東西必然會丟失。

最小的射影平面是以其創(chuàng)建者法諾（Gino Fano）的名字命名的，叫作“法諾平面”。
根據(jù)法諾平面，進行Cash WinFall彩票的號碼選擇，從而提高中獎率。（不是購買一張彩票的中獎概率，而是大量購買時）

• part2 信號與噪音
  信息論中如何避免噪音導致信號失真，同時盡可能在信號抗干擾能力和傳輸速度之間取得平衡。

香農(nóng)在他的那篇關于信息論的論文中指出，時至今日，工程師們仍然面臨著一個基礎性難題：信號抗噪聲干擾的能力越強，傳輸這條信息的速度就會越慢，如何在兩者之間取得平衡呢？
幾種錯誤較正碼：(1)將所有比特發(fā)三遍，(2)海明碼，(3)隨機編碼
“海明碼”（Hamming code）是一種把三位數(shù)的代碼塊轉換成7位數(shù)的代碼塊的規(guī)則，實際上，海明碼中的7個非零代碼字正好對應法諾平面上的7條直線。。因此，海明碼（還包括特蘭西瓦尼亞彩票的最佳號碼組合）與法諾平面是完全相同的數(shù)學研究對象，只不過改頭換面了！
但是公理2規(guī)定，兩條直線只能相交于一個點。換言之，由于幾何公理的作用，海明碼具有與“重復三次”相同的校正錯誤的魔力。
這種新方法在傳輸信息時，每3個比特的原始信息僅需花費7個比特的傳輸量，兩者之間的比為1∶2.33，效率更高。

• part3 非理性行為為什么會存在？
  為什么買彩票的中獎概率很低，彩票價格低于彩票的期望價值；為什么還是很多人趨之若鶩？
  答案是，我們并非按照理性的概率和期望值去行動，我們d行為受到其他方面的影響，比如道德觀念，比如行動本身帶來的滿足感。

實現(xiàn)夢想的行為本身，甚至這方面的嘗試，就是一種回報。