? ? ? ? 上一篇文章《集合的精確平均劃分》，經(jīng)典的例子大可以作進(jìn)一步的引申，繼續(xù)挖掘下去，我們可以提出這樣一個問題：
? ? ? ? 對于哪些正整數(shù)n，只要確定從n個不同的數(shù)中任意選取的兩個數(shù)的和，就可以唯一確定這n個數(shù)？
? ? ? ? 如果沒有具體的例子，題面還真不那么容易理解，好在我們可以拿出上一篇文章里精確劃分的集合，如
或者
? ? ? ? 不難驗證，對于集合X中的任意兩個數(shù)的和，在Y中一定有對應(yīng)的兩個數(shù)的和與之相等。例如X"中的11+13等于Y"中的9+15。也就是說，從n個數(shù)里任取兩個數(shù)求和，即使和值都確定，也可能得到兩個不同的集合，而不是唯一地確定一個n個數(shù)的集合！此時n=2^k。
? ? ? ? 同樣可以用數(shù)學(xué)歸納法給出證明，對于集合X,Y，是｛1，2，…，2^k｝的一個劃分，假設(shè)有：
? ? ? ? xi+xj=yi+yj （1），
? ? ? ? 提升到新的集合：
? ? ? ? 可以總結(jié)出，X'中的兩個數(shù)的和無非是如下三種形式之一：
? ? ? ? 由歸納假設(shè)（1）式，顯然xi+xj=yi+yj，且xi+xj+2^(k+1)=yi+yj+2^(k+1)，而不論X'或Y'，都包含集合X∪Y中的任意一個x與y。所以，X'與Y'中對應(yīng)兩數(shù)的和也是相等的。#
? ? ? ? 我們猜測，也許結(jié)論是這樣的：如果正整數(shù)n不等于2的冪，通過取兩個數(shù)的和才可以唯一確定一個集合。但是，上面僅僅是舉了一個2^k個元素的集合的例子，容易想到，如果所有集合的每個數(shù)都加上一個正整數(shù)m，這個結(jié)論顯然也成立。我們感興趣的是，能不能一般地求出n=2^k？
? ? ? ? 首先要明確一點，為什么題面中強(qiáng)調(diào)是從n個不同的數(shù)中選?。繉τ诩?/p>
? ? ? ? 假如集合X有兩個數(shù)相同，每個數(shù)依次與X中所有其他數(shù)相加，會產(chǎn)生n-1對相同的和值，由（1）式，集合Y兩元素相加，一定也有n-1對相同的和值，可知，Y中也有兩個數(shù)相同。
? ? ? ? 對于集合X,Y相同的兩個數(shù)，由（1）式，顯然xi=xj=yi=yj，即X,Y中有元素是相同的。xi=yi，再由（1）式，對所有的j相加，可得兩集合X,Y是完全相同的。
? ? ? ? 所以，要想通過取兩個數(shù)的和不唯一地確定一個集合，首先要從n個不同數(shù)中選取。
? ? ? ? 下面給出直接求解正整數(shù)n的方案。可以提前告訴大家，這是一個堪稱經(jīng)典的初等證明，把等式變換的魅力體現(xiàn)得淋漓盡致。設(shè)相應(yīng)兩元素之和相等的兩個不同集合：
即對于任何不同的i≠j，xi+xj=yi+yj，設(shè)
? ? ? ? 顯然，p,q兩式的平方的所有交叉項都是相等的，所以有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）
? ? ? ? 由p(1)=q(1)=n，可知方程p(z)-q(z)=0必有一個根是1，不妨設(shè)其重數(shù)為k，可得如下的因式分解形式，再經(jīng)過變換：
? ? ? ? 最后，令z=1，立得2n=2^k，即n是2的冪！
? ? ? ? 凌波微步般精妙的等式變換直抵滿足條件的那些n值，令人擊節(jié)不已，難怪這個題面看起來并不精練的問題會令供職于著名的AT&T實驗室的學(xué)者Nick Reingold念念不忘?；匚兑幌?，（2）式的設(shè)立高屋建瓴，若挈裘領(lǐng)，事實上，這一巧思并不神秘，只不過用到了所謂“母函數(shù)”的思想。
? ? ? ? 何謂母函數(shù)？顧名思義，一定能生成某些東西，所以也叫“生成函數(shù)”。曾經(jīng)是華羅庚的得力助手，在多復(fù)變函數(shù)論領(lǐng)域承華老衣缽的史濟(jì)懷先生也是位杰出的科普作家，他曾經(jīng)借助組合數(shù)來平易自然地引入母函數(shù)的概念。由二項式定理：
? ? ? ? 系數(shù)是一個數(shù)列：
? ? ? ? 這個數(shù)列可以認(rèn)為是由函數(shù)(1+x)^n“產(chǎn)生”的，所以，f(x)=(1+x)^n就是數(shù)列的母函數(shù)。其實，我們早已在不知不覺借助母函數(shù)的方法，例如，由
? ? ? ? 兩邊分別用二項式定理展開，可以輕松得到如下組合恒等式：
? ? ? ? 這樣的應(yīng)用顯然不能滿足我們對新概念、新數(shù)學(xué)思想的求知欲，接下來就欣賞一個著名的“替換普通骰子”問題，屬于一類用母函數(shù)來解決的典型問題：能否設(shè)計兩個不同的骰子，使它們擲出某個點數(shù)之和的情況與兩個普通骰子是一樣的？也就是說，擲出的點數(shù)之和是3有2種方法，擲出點數(shù)和是7有6種方法，擲出12有1種方法等等。當(dāng)然，每個骰子必須有6個面，每個面都用一個正整數(shù)標(biāo)記。
? ? ? ? 這個有趣的問題非常著名，甚至它的答案有個專門的名稱：“Sicherman的骰子”，因為答案最早是由美國新澤西州的George Sicherman上校發(fā)現(xiàn)的，兩枚骰子每個面的標(biāo)記分別是｛1,3,4,5,6,8｝和｛1,2,2,3,3,4｝！
? ? ? ? 我們用變量為x的多項式來表示其中的一顆骰子，x^k項的系數(shù)表示骰子上出現(xiàn)標(biāo)記k的次數(shù)，顯然，一顆普通的骰子對應(yīng)的多項式就是：
? ? ? ? 解答問題的關(guān)鍵是，擲兩顆骰子的情況可以用它們對應(yīng)的多項式的乘積來表示。比如，擲兩顆普通骰子，乘積f^2(x)的x^10項的系數(shù)不過是從兩個f(x)中各取一項相乘，使得乘積為x^10的方法數(shù)，擲出點數(shù)之和是10共有三種方法，如下：
? ? ? ? 現(xiàn)在，設(shè)表示我們需要設(shè)計的骰子的多項式分別是g(x)，h(x)，擲出某個點數(shù)之和的情況相同，也就是
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）
? ? ? ? 下面用到的方法并不陌生，無非是多項式的因式分解，f(x)可分解為
? ? ? ? 要滿足（3）式，無非是嘗試一下，f式平方后的8個因式，怎么分配給g(x)，h(x)。限制條件顯然是，g(x)和h(x)里不能出現(xiàn)系數(shù)（方法數(shù)）為負(fù)的項，也不能出現(xiàn)非零的常數(shù)項——這一條表示骰子上不可能有面標(biāo)記“0”，限制因式分解，要求兩個因式x必須給g,h各分配一個。
? ? ? ? 嘗試幾次，滿足條件的只有如下的分配方式：
? ? ? ? 取其系數(shù)，就是設(shè)計的答案｛1,3,4,5,6,8｝和｛1,2,2,3,3,4｝。Sicherman的骰子問題可以作出許多發(fā)散，至今仍然有數(shù)學(xué)工作者對此津津樂道。有興趣的讀者可以用同樣的方法嘗試一下一個新的問題：如果有種正八面體骰子，每個面分別標(biāo)記數(shù)字1到8，能否以一對數(shù)字標(biāo)記不同的八面體骰子作為它們的替代品？
? ? ? ? 通過兩個經(jīng)典的例子，我們對于運用母函數(shù)分析問題的基本思想有了大致的了解。一言以蔽之，母函數(shù)把組合問題中的加法原理和冪級數(shù)的冪次項相加對應(yīng)了起來。本文開篇從n個不同的數(shù)中任意選取兩個數(shù)之和的例子里，離散數(shù)列間的結(jié)合關(guān)系被對應(yīng)到冪級數(shù)間的運算關(guān)系。“取集合X中的任意兩個數(shù)之和，在Y中一定有對應(yīng)的兩個數(shù)之和與之相等”的離散關(guān)系被神奇地轉(zhuǎn)換成我們的“裘領(lǐng)”第（2）式，正因為有了這種對應(yīng)，牧野鷹揚(yáng)一般的數(shù)學(xué)想象力才被賦予了起飛之巢窠，進(jìn)而探驪得珠。而在替換普通骰子的例子里，冪級數(shù)形式來確定離散數(shù)列的構(gòu)造，實乃結(jié)構(gòu)本天成，妙手偶得之。
? ? ? ? 在組合數(shù)學(xué)中，母函數(shù)不僅是一件工具，還是一整套重要的理論。母函數(shù)有很多種類型，包括普通母函數(shù)、指數(shù)母函數(shù)、L級數(shù)、貝爾級數(shù)和狄利克雷級數(shù)等。西方哲學(xué)史上自古就有對所謂共相問題的爭論，從個別具體的例子中抽提共同本質(zhì)形成的抽象概念，反過來成了衡量具體例子的尺度，于是，后世一輪又一輪爭論中雙方的基本主張被不斷賦予換湯不換藥的新名詞。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對于抽象的概念我以為一定要從具體的例子入手，且一例不通，不看下例。著有《發(fā)生函數(shù)（即母函數(shù)）論》一書的Herbert S. Wilf有個絕妙的比喻：母函數(shù)就是一列用來展示一串?dāng)?shù)字的掛衣架。在充滿藝術(shù)氣息的衣架博覽會現(xiàn)場，與其走馬觀花浮光掠影，不如駐足一個細(xì)部，細(xì)玩一兩件精妙而天成的設(shè)計。
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