蒙提霍爾悖論又稱三門問題Monty Hall Problem，這個問題出自美國的電視游戲節(jié)目Let's Make a Deal。問題名字來自該節(jié)目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）。在這個秀上有三扇門，其中有一扇門打開后可以獲得一輛汽車，而其余的兩扇門打開后則是山羊。

游戲規(guī)則

游戲的步驟如下：

• 參加游戲的人選定其中的一扇門
• 主持人選擇另外兩扇門中的一扇，且打開后只能是山羊，而不能是汽車
• 給參加游戲的人一個是否交換剩下兩扇門的機會
• 游戲者做出決定，并打開門

這個悖論的關鍵在于：挑戰(zhàn)者是應該選擇交換還是選擇堅持？這兩種做法有沒有區(qū)別？

從理論的角度分析

一般來說，大多數(shù)的挑戰(zhàn)者在選擇后會認為其實換不換無所謂，其概率是相等的。但是實際上，如果交換的話會有更大的機率獲得汽車。現(xiàn)在我們從理論的角度去考慮這個問題：

首先，我們假設有三扇門，分別為門1，門2， 門3，且挑戰(zhàn)者選擇了門1。

很顯然，汽車在每扇門后的概率為：

按照游戲規(guī)則，接下來主持人需要為挑戰(zhàn)者去除一個干擾項：

這一步是由挑戰(zhàn)者確定是否交換，對于不交換的情況，那只有門1是汽車的時候，挑戰(zhàn)者才能拿到汽車的獎勵，此時的概率為1/3，而對于交換的情況，只要不是門1的情況，都可以獲得獎勵，概率為2/3。如下表：

由此可以看出，直覺中換不換概率相等的認識是錯誤的。

程序模擬源碼

前面一節(jié)對蒙提霍爾悖論做了一些簡單的分析，這一部分會用程序來模擬，并得出了相似的結(jié)果。源碼如下：

# monty problem
# code is not optimal, but it can demonstrate the problem

import random
def open_the_door( doors, player_choice ):

  # choose which door should be open
  sample = [0,1,2]

  if doors[player_choice]:
    sample.remove(player_choice)
    open_door = random.choice(sample)
  else:
    for index, value in enumerate(doors):
      if index != player_choice and not value:
        open_door = index

  return open_door

def monty_problem( total_times, exchange = False ):

  bingo = 0

  for i in range(total_times):
    
    doors = [False, False, False]
    doors[random.randint(0,2)] = True
    player_choice = random.randint(0,2)
    open_door = open_the_door(doors, player_choice)

    if exchange:
      difference = set([0, 1, 2]) - set([player_choice, open_door])
      player_choice = list(difference)[0]

    if doors[player_choice]:
      bingo += 1

  print('P(exchange={}) = {}'.format(exchange ,bingo / total_times))

if __name__ == '__main__':
  monty_problem(100000, False)
  monty_problem(100000, True)

運行結(jié)果如下：

P(exchange=False) = 0.33178
P(exchange=True) = 0.66669

從這里可以看出，不交換和交換的概率分別接近在上一部分的推理結(jié)果。這一部分請自行驗證。

總結(jié)

其實這個問題還可以從另外一個角度，憑直覺給出答案。比如說，現(xiàn)在不僅僅是只有3扇門，而是有100扇，甚至是1000扇門，那么在你選擇了其中的一扇門后，打開其余不是汽車的98或998扇門，那么這個時候，你是換還是不換呢？