一些群論，令外時空局域性(Locality)和量子的幺正性(Unitarity)
這幾天忙于學(xué)習(xí)一下群表示(representation)的理論。在量子力學(xué)的框架下，物理狀態(tài)或者說基本粒子是對稱群的不可約表示。所以通過尋找對稱群的不可約表示，就可以得出系統(tǒng)的所有的可能的物理態(tài)，這個含有所有態(tài)的空間就是希爾伯特空間。學(xué)過量子力學(xué)人都有體會這個方法的強(qiáng)大，如果不用群論的知識，就只能去解薛定諤方程，偏微分方程啊，總是一個噩夢。
目前也遇到了一個類似的問題，需要尋找到正交群SO(N)的不可約表示，找了一圈參考書，最后發(fā)現(xiàn)還是馬中騏老師的“物理學(xué)中的群論”對這個群表示理論介紹的特別全面，還有豐富的例子幫助學(xué)習(xí)掌握。
正交群的不可約表示分為張量和自旋兩類。這里我們只關(guān)注張量表示，因為其可以由向量表示直積得到。但是得到的張量空間并不是可約的，而是可以分解成多個可約表示的直和。每個可約表示都對應(yīng)了一個不變的張量子空間。這樣整個張量空間就可以分解成很多不變張量子空間。所以找到了每個不變張量子空間就能找到對應(yīng)的不可約表示了。正交群和對稱交換群S是對易的，所以他們的不變子空間是相互對應(yīng)的。對稱交換群的不變子空間是用氏矩陣(Young diagram)表示。同樣的，我們就可以用楊氏矩陣來表示所有正交群的張量不可約表示了！
可以這樣說，如果一個系統(tǒng)的對稱群是N維空間的轉(zhuǎn)動不變，那么這個系統(tǒng)的物理態(tài)就由SO(N)的不可約表示來表征，也對應(yīng)了楊氏矩陣。
很喜歡楊氏矩陣這個概念，就像狄拉克的ket 和 bra 符號，現(xiàn)在每一個態(tài)可以用一個楊氏盒子來表示了！
下面總結(jié)一下Nima的報告，上周做的筆記，可能有遺漏。后來發(fā)現(xiàn)他在去年12月份在PSW（華盛頓特區(qū)的哲學(xué)社會？）的時候，就同樣的問題做過一個2個小時的報告，那里他可能有更詳細(xì)的闡釋，而且Motl在他的博客TRF(The reference frame)也寫過評論。網(wǎng)上都可以找得到。
雖然時空或是引力還沒有被完全量子化，不過可以想象，時空本身不應(yīng)該是基本的概念，而是從一個量子系統(tǒng)浮現(xiàn)(emerge)出來，比如弦論。在規(guī)范場/引力場(AdS/CFT)的對偶提出的20年后(真的今年是二十年啊距離Maldacena的文章)，引力等于量子場論這樣的認(rèn)知也越來越廣為接受。在這個范式下，量子力學(xué)原理是要比時空概念更加基本一些。而Nima的想法是，量子力學(xué)和時空概念同等，都是由另外一個更深層次的結(jié)構(gòu)或是概念推導(dǎo)出來。
他舉了兩個例子分別說明，時空和量子力學(xué)不是基本的物理概念。對于時空概念的責(zé)難是，時空點(diǎn)是虛假的，不可觀測的。普遍的時空圖像或是相對論里面的時候是有流形(manifold)結(jié)構(gòu)的，有無數(shù)的點(diǎn)組成。因為不確定性原理，我們想要精確地觀測的距離越短，需要的能量也就越大，最后會創(chuàng)造出一個黑洞，所以可觀測的距離是有極限的，時空不是點(diǎn)狀的。對于量子力學(xué)的發(fā)難是，當(dāng)考慮引力的作用的時候，我們無法做出精確的量子力學(xué)的測量因為測量儀器本身的量子效應(yīng)。儀器或是電器元件本身的量子效應(yīng)就是阻礙我們把電子設(shè)備做下的攔路虎之一。要消除儀器本身的量子效應(yīng)，或者讓儀器無限的重，但是同樣的會創(chuàng)造黑洞。還有就是把儀器放到無限遠(yuǎn)。對于封閉的宇宙，如AdS，我么可以發(fā)送信息到無限遠(yuǎn)并接受回信，但是對于我們現(xiàn)在真實的沒有邊界的宇宙，這一點(diǎn)也是行不通的。通過這兩個例子，Nima強(qiáng)調(diào)，當(dāng)同時考慮引力和量子力學(xué)的作用時候，兩者是相互制約的。因為要實現(xiàn)相對論要求的局域性，標(biāo)準(zhǔn)模型是用場論來描述的。但是量子場論在4維時空的數(shù)學(xué)定義并不嚴(yán)格而是在4維空間要嚴(yán)格的定義。4維空間的場論其實等價于經(jīng)典的統(tǒng)計力學(xué)，只有當(dāng)我們從4維空間的場論過渡到4維時空的時候，量子力學(xué)的量子才顯現(xiàn)出來，因為這個過渡會引入虛數(shù)，而虛數(shù)的引入是量子相干疊加的前提(也有人用普通的條件概率來表示相干疊加，不過表述過于繁復(fù)，還沒有形成整套理論)。
接下來Nima要提出他從研究散射振幅得來的一些對物理的洞見了。他最得意的一點(diǎn)就是，散射振幅本身就同時體現(xiàn)了相對論的局域性和量子力學(xué)的幺正性。散射振幅(S matrix)可以理解為一個運(yùn)動學(xué)標(biāo)量的函數(shù)。這個函數(shù)的發(fā)散點(diǎn)包涵了局域性的信息，函數(shù)的滿足一定的泛函方程(S matrix splits)體現(xiàn)的就是量子力學(xué)的幺正性。我們并不需要量子場論所附加的所有，僅僅需要散射振幅這個可觀測量本身，通過研究他的性質(zhì)，就可以得到所有的物理結(jié)果。這和上個世紀(jì)失敗了的S-matrix理論如出一轍，但是新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，還有對散射振幅更深刻的理解，讓這個理論重新燃了起來。這個新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就是正定幾何。
簡單的來講，正定幾何可以理解為多邊形，多面體的推廣，特點(diǎn)就是有低維的邊間。比如一個正方體，就有面，邊和頂角3種不同低維度的邊界。在每一個正定幾何上都可以定義個微分形式(form)。從這個微分形式我們可以得到物理的觀測量。這也是與傳統(tǒng)S-matrix理論最大的區(qū)別，由研究函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯繋缀?。每一個散射振幅都可以由一個正定幾何來表示。在場論的框架下計算散射幾何時候，要對所有費(fèi)曼圖求和，每一個費(fèi)曼圖都代表了一個局域過程。但是往往當(dāng)你把所有的費(fèi)曼圖疊加后，得到的結(jié)果非常簡單。成百上千個費(fèi)曼圖，每一個圖都是可能是一個復(fù)雜的積分，可是當(dāng)你們把他們都加起來的時候，項與項互相抵消，最后只剩下很簡單的表達(dá)式。可以猜想，在費(fèi)曼圖后面有一個更直觀更簡單的計算散射的過程。從目前的研究來看，正定幾何很可能就是！剛才已經(jīng)說過，散射振幅對應(yīng)了一個正定幾何，而把散射振幅分解成費(fèi)曼圖的過程可以理解為把正定幾何分解成小塊，然后計算每一個小塊的微分形式，最后再加在一起。從這個角度我們也可以理解為什么每一個費(fèi)曼圖得到的結(jié)果都有一些發(fā)散地點(diǎn)，但是最后疊加的結(jié)果全是有限的。
很明顯如果我們有了個全局的圖像，我們可以利用更簡單的方法來計算整個微分形式從而達(dá)到散射振幅！
有了正定幾何這個全新的S-matrix理論，我們不再需要時空，不再需要拉式量，action，所有的物理都可以從幾何性質(zhì)推出，我們要做到只是選擇一個動力學(xué)的空間，確定里面的正定結(jié)構(gòu)就可以了。
現(xiàn)在同樣的概念不但在場論里面翻天覆地，還被運(yùn)用在宇宙學(xué)里，可以研究宇宙的波函數(shù)(Nima前年也做過一個了有關(guān)的報告)，在這次ICTS上，還給了幾個lectures.
用Nima的話就是，時空已經(jīng)被終結(jié)了!
