最近看了3brown1blue的視頻，通過集合論的方式來理解歐拉公式。
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歐拉公式的一種形式：
歐拉公式的難點是理解乘方是復數的意義，它并不是和1+1=2一樣讓人覺得理所應當，而是一種約定，如果這樣約定，那么復數在集合論里面就有了很好的“homomorphism”（同態(tài)），實數的性質可以很好的被應用到復數域，而且使用復數可以很好的去解決很多實際工作中的問題。
1.換一種方式來理解加法和乘法
1.1 加法
在實數域里面，加法可以理解成一種位移，-1+10，相當于一個點從-1向右移動了10個單位。在復平面中，加法仍然可以理解為位移，(3+2i)+(1-3i)，可以是一個點在原點，先橫向右移3+1個單位，在縱向下移2-3=1個單位。
復平面的加法=縱向位移+橫向位移
1.2 乘法
乘法在實數軸上相當于對坐標軸的 “拉伸/縮小”，3*10相當于一個點在3不動，坐標軸縮小為10倍，那么在復平面上的乘法呢？
1*(2+i)，相當于1的長度擴展了“根號5”倍，然后再逆時針旋轉了30度，由此可以知道：
復平面的乘法= 拉伸/壓縮+旋轉
2.換一種方式理解乘方
在實數域里面，2的n次方就是指n個2相乘，那么2的0次方、2的-1次方、2的1/2次方呢？我們知道：2n*2m=2^(m+n)，有了這個規(guī)則，2的0次方乘以2的1次方=2，2的0次方就等于1，同理，2的1/2*2的1/2次方=2……所以，0次方、-1次方、1/2次方就有了意義。
把乘方理解為一個函數，他一定有這個性質：F（x+y）=F（x）*F（y）
這個函數可以把加法，映射為乘法，推廣到復平面，這個函數如果仍然成立，那么對于橫向位移的加法，自然是映射為“拉伸/壓縮”。2的2次方*2的2次方，當然等于2的4次方。
那么縱向位移的加法，會被映射成什么？ 2的0次方*2的i次方 == 2的（0+i）次方，這個縱向的加法對應的如果是--旋轉，那多和諧啊。對的歐拉公式的也就是這樣理解的。2的i次方就是一種旋轉！
